旋转参考系的 “机械能守恒”

贡献者： addis

预备知识　科里奥利力，机械能守恒（单个质点）

　　在匀速旋转参考系中，如果加入惯性力的修正，则牛顿定律同样适用。那么我们是否同样有某种 “修正版” 的单质点机械能守恒呢？答案是肯定的，在旋转参考系中，我们仍然定义每个质点的动能为 $E_{k} = m v^{2} / 2$ （ $v$ 是相对旋转参考系的速度），假设质点所受的所有非惯性力在旋转参考系中都是保守力，对应的势能函数 $V (r)$ 。那么机械能修正后的守恒量为

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{2} m v^{2} + V (r) - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2} = const, \end{matrix}

其中

ω

是旋转参考系相对于惯性系的角速度。

　　对于质点系，如果质点两两之间的力也是保守力，例如库仑力或者万有引力，那么我们只需要对每个质点计算上式并求和即可得到系统的守恒量。

　　例子：雅可比常量。

1. 推导

　　证明的思路很简单，在 “机械能守恒（单个质点）” 中证明的基础上，我们只需要额外考虑惯性力的做功即可。

　　由于科里奥利力始终与每个质点的运动方向垂直，所以对质点不做功，而离心力却有可能会做功，所以式 1 中的前两项不是守恒量。每个质点所受的离心力只与位置有关，于是我们可以得到一个离心力场

\begin{matrix} (2) & F_{c} (r) = m ω^{2} r . \end{matrix}

这是一个中心力场，所以必定是一个保守场，沿径向积分容易得到对应的等效势能函数为

\begin{matrix} (3) & V_{c} (r) = - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2} . \end{matrix}

现在，离心力做功等于

V_{c} (r)

的减小，所以把这个等效势能加入原来的机械能，就又得到了一个守恒量。