贡献者： JierPeter; addis
预备知识 1 经典力学，量子力学的基本原理（量子力学）
本文中，$\hbar=c=1$。
在量子力学的基本原理（量子力学）的例 2 和例 3 中，我们不加证明地给出了动量、能量（哈密顿）、角动量算符在给定表象下的形式，相当于进行了定义。本文将讨论如何从经典力学中导出这几个算符的定义。
1. 无穷小算符
考虑无穷小算符总是有益的，因为就是微分线性近似，而线性的东西很简单。
如果要求一个算符在自变量（比如时间）趋于 $0$ 的时候趋于恒等算符，即连续性，那么对于无穷小自变量 $\varepsilon$ 后，这个算符总可以写为
\begin{equation}
U(\varepsilon) = 1- \mathrm{i} G\varepsilon~,
\end{equation}
我们称 $G$ 是 $U$ 的生成元。
厄米与幺正
当 $G$ 是一个厄米算符时，有
\begin{equation}
U^{\dagger}(\varepsilon)U(\varepsilon) = (1- \mathrm{i} G\varepsilon)(1+ \mathrm{i} G\varepsilon) = 1+o(\varepsilon)~,
\end{equation}
其中 $o(\varepsilon)$ 表示比 $\varepsilon$ 更高阶的无穷小。
因此，$G$ 是厄米算符 $\implies$ $U(\varepsilon)$ 是幺正算符。
量子态归一化要求可观测量是幺正的，因此可观测量的生成元应该是厄米算符。
由无穷小算符得出任意算符
如果要求算符满足 $U(t_1)U(t_2)=U(t_1+t_2)$，那么可以从无穷小算符得出任意情况的算符：
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(t) &= \lim_{n\to\infty} U(\frac{t}{n})^n\\
&= \lim_{n\to\infty} \left(1- \mathrm{i} G\frac{t}{n} \right) ^n\\
&= \exp \left(- \mathrm{i} G t \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 位置算符
位置算符的本征矢都是位置精确给定的态，本征值即对应的位置，因此位置算符是 $x_0$ 或 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，即空间坐标。
位置表象下，位置算符的表示为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\left\langle x_0 \right\rvert x_0 &= x_0\qquad\text{一维情况}\\
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 \right\rvert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0&= \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\qquad\text{三维情况}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
未完成：动量表象下的位置算符由傅里叶变换给出。
3. 动量算符
由经典力学，动量是平移生成元，式 1 中的 $G$ 应是动量算符。
显然，动量表象下的动量算符就是 $p$ 或 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $，这和位置算符的情况一致。
又由式 2 ，可知位置表象下一维无穷小平移算符为
\begin{equation}
\left\langle x \right\rvert P( \,\mathrm{d}{x} ) = \exp\left(- \,\mathrm{d}{x} \cdot \partial_x\right) = 1- \,\mathrm{d}{x} \partial_x~.
\end{equation}
代回式 1 ，注意 $P( \,\mathrm{d}{x} )$ 相当于 $U(\varepsilon)$，即可得到一维动量算符：
\begin{equation}
p = - \mathrm{i} \partial_x~.
\end{equation}
三维情况类似可得
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} = - \mathrm{i} \nabla~.
\end{equation}
4. 哈密顿算符
哈密顿算符 $H$ 即能量算符，较为特殊，取决于我们希望将量子力学应用在什么背景下。
对于经典量子力学，我们考虑的背景是经典力学，因此用经典的能量关系
\begin{equation}
E=\frac{p^2}{2m}+V~.
\end{equation}
来定义哈密顿算子，此时有
\begin{equation}
\left\langle x \right\rvert H = \left\{\begin{aligned}
&\frac{-\partial_x^2}{2m}+V\qquad\text{一维情况}\\
&\frac{-\nabla^2}{2m}+V\qquad\text{三维情况}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
如果使用狭义相对论的能量关系
\begin{equation}
E^2 = p^2+m^2~,
\end{equation}
那么可以得到哈密顿算子的平方
\begin{equation}
\left\langle x \right\rvert H^2 = \left\{\begin{aligned}
-\partial_x^2&+m^2\qquad\text{一维情况}\\
-\nabla^2&+m^2\qquad\text{三维情况}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
由此可以把薛定谔方程调整为
Klein-Gordon 方程。
Klein-Gordon 方程是平方形式，并不协变，且有负能量和负概率密度的问题1，因此狄拉克（Dirac）想办法把式 11 取了平方根，得到狄拉克方程。
5. 角动量算符
角动量算符和经典力学有所不同。经典力学中的角动量对应的是量子力学中的空间角动量算符，是空间转动的生成元。但量子力学中还有自旋角动量的概念，是自旋态空间中的转动的生成元。自旋为 $1/2$ 的系统使用一个二维态空间，自旋为 $1$ 的系统使用一个三维态空间，诸如此类。
经典力学中的空间，可以视为量子力学中位置态的态空间，因此我们可以把自旋态空间和位置态空间合并（取直积）为一个 “总空间”，以全面描述量子态的角动量。
给定一个空间转动 $R$，规定它与一个总空间中的转动算符相联系2：
\begin{equation}
R\to \mathfrak{D}(R)~,
\end{equation}
并规定这是一个
群同态。
空间角动量算符
空间角动量算符完全依照经典力学的方式来定义，可参见轨道角动量（量子力学）。
无穷小转动与总角动量算符
在总空间中，一个无穷小转动为
\begin{equation}
R( \,\mathrm{d}{\phi} , k) = 1- \mathrm{i} J_k \,\mathrm{d}{\phi} ~.
\end{equation}
其中 $k$ 是所绕的轴，$ \,\mathrm{d}{\phi} $ 是无穷小的转动角度。
更一般地说，空间中绕着单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $、角度为无穷小量 $ \,\mathrm{d}{\phi} $ 的转动被映射为态空间中的算符
\begin{equation}
\mathfrak{D}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} , \,\mathrm{d}{\phi} ) = 1- \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ) \,\mathrm{d}{\phi} ~.
\end{equation}
按照 “角动量是转动生成元” 的思想，$J_k= \boldsymbol{\mathbf{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 应该是关于 $k$ 轴的角动量算符。
6. 时间演化算符
时间演化算符的生成元是哈密顿算符 $H$，因此时间演化算符为
\begin{equation}
\mathcal{U}(t) = \exp \left(- \mathrm{i} H t \right) ~.
\end{equation}
时间演化算符的详细讨论请参见时间演化算符（量子力学），其应用可参见路径积分（量子力学）、传播子（量子力学）等。
1. ^ 一说负概率密度可以解释为粒子的荷，如电荷。
2. ^ 这里 $\mathfrak{D}$ 是沿用了 [1] 的习惯，字母 $D$ 代表德语的 “转动”（Drehung）。
[1] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition