贡献者： JierPeter; _Eden_
预备知识 传播子（量子力学）
，薛定谔绘景和海森堡绘景
1. 概念的引入
为了方便，我们考虑二维时空的情况，即空间只有一维。
在初始时刻 $t=0$ 时，一个粒子处于 $x_0$ 位置，将它的态记为 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $，其在位置空间的波函数为 $\psi_0(x)= \left\langle x \middle| x_0 \right\rangle =\delta(x-x_0)$。
时间过去 $t_1$ 后，我们在 $x_1$ 位置测量，发现粒子的概率振幅为 $ \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle $。因此我们可以说，粒子在时间 $t_1$ 后 “出现” 在1$x_1$ 的概率密度是 $ \left\lvert \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right\rvert ^2$。
同样地，时间过去 $t_2>t_1$ 后，粒子在 $x_2$ 位置的概率振幅为 $ \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle $。
注意到 $\int \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \,\mathrm{d}{x} _1=1$，即恒等变换（其矩阵总是单位矩阵），因此我们可以把这个积分插入到任何位置，比如：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle &= \left\langle x_2 \right\rvert \int \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \,\mathrm{d}{x} _1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle \\
&= \int \left\langle x_2 \middle| x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1\\
&= \int \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
式 1 数学上成立，但它有什么物理意义呢？
每个 $ \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle $ 表达的是，粒子从 $x_0$ 开始，$t_1$ 后出现在 $x_1$ 的振幅，乘以从 $x_1$ 开始，再过 $t_2-t_1$ 后出现在 $x_2$ 的振幅。而式 1 是对这个表达式关于 $x_1$ 遍历全空间求积分。
综上，式 1 表达的是：求粒子从 $x_0$ 出发、经过 $t_2$ 后出现在 $x_2$ 的概率振幅，等于先求出粒子经过 $t_1$ 后传播到 $x_1$ 后再从 $x_1$ 经过 $t_2-t_1$ 后传播到 $x_2$ 的振幅，然后把所有可能的 $x_1$ 遍历一遍，把得到的所有路径的振幅求积分。这个过程如图 1 所示：
图 1：路径积分的示意图。如图，计算粒子从 $x_0$ 经过时间 $t_2$ 后传播到 $x_2$ 的概率振幅，相当于图中各路径的振幅关于 $x_1$ 遍历整个空间求积分。也就是说，$x_1$ 取遍所有可能性，得到类似图中三条路径的所有路径，所有这些路径的振幅积分，即为所求。
同样地，我们可以把时间分成多段，产生更多的路径可能性，则我们所求的振幅 $ \left\langle x_n \right\rvert \mathcal{U}(t) \left\lvert x_1 \right\rangle $ 同样是所有这些可能路径的振幅之积分，如图 2 所示。
图 2：将时间分成多段后，得到更多可能路径。
积分表达式为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle \\
=& \int \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1\\
=& \int\int \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H (t_3-t_2)} \left\lvert x_2 \right\rangle \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\\
=& \cdots\\
=&\int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\
& \left( \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_{n-1} )} \left\lvert x_{n-1} \right\rangle \cdots \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
最后，当我们给时间所分的段数趋于无穷时，能得到所有可能的路径，如图 3 所示。同样地，所有这些路径的振幅之积分就是我们所求的 $ \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle $。
图 3：全体可能的路径。
2. 路径积分的计算
无穷小路径的概率振幅与经典作用量
我们回到图 1 的例子。任取 $t_1$ 时刻一个给定的位置 $x_1$，得到一条给定的折线路径。粒子沿着这条路径演化到 $x_2$ 的概率振幅是2
\begin{equation}
\left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H (t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_1 \right\rangle ~,
\end{equation}
这是两条直线段路径的概率振幅之
积。
由于概率振幅是个数字，即路径的泛函，这让人想到一个重要的泛函，经典作用量：$S=\int_{\text{给定路径}}L \,\mathrm{d}{t} $，其中拉格朗日函数 $L=\frac{m\dot{x}^2}{2}-V(x)$。
折线段的作用量，是各直线段组分的作用量之和；而式 3 中，折线段的概率振幅，是各直线段组分的概率振幅之积。由此猜想，可以取作用量的指数，来对应概率振幅。
对于每条折线段（以图 2 为例），记其 $t_{i-1}$ 和 $t_i$ 之间直线段的作用量为
\begin{equation}
S(t_{i}-t_{i-1})=\int^{t_i}_{t_{i-1}} \,\mathrm{d}{t} L(x, \dot{x})~,
\end{equation}
给定
无穷小段的作用量记为 $S( \,\mathrm{d}{t} )$。
我们猜测
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle &= \left(\frac{1}{\omega( \,\mathrm{d}{t} )} \right) \exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) ~,\\
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\omega$ 是比例和量纲的修正项。下面就讨论该猜想的合理性。
我们对自由粒子应用上述猜想。注意到自由粒子的拉格朗日函数为 $L=mv^2/2$，而无穷小段可以近似于匀速直线运动，故无穷小段的作用量为（时间差 $\Delta t$ 是小量，位置 $x_0$ 到 $x_1=x_0+v \Delta t$）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
S(\Delta t) &= \int^{\Delta t}_0 \,\mathrm{d}{t} \left(\frac{mv^2}{2} \right) \\
&= \frac{mv^2}{2}\Delta t\\
&= \frac{m}{2} \left(\frac{x_1-x_0}{\Delta t} \right) ^2\Delta t~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\exp \left( \mathrm{i} S(\Delta t) \right) &= \exp \left(\frac{ \mathrm{i} m(x_1-x_0)^2}{2\Delta t} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
右边的
指数恰为
自由粒子传播子式 12 的指数部分！
因此，对于一维自由粒子，其无穷小段路径的概率振幅为
\begin{equation}
\left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} }}\exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) ~,
\end{equation}
其中 $S$ 是该路径的经典作用量。
类似地，对于三维自由粒子，其无穷小段路径的概率振幅为
\begin{equation}
\left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle = \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} } \right) ^{3/2}\exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) ~.
\end{equation}
一维自由粒子的路径积分
考虑图 2 中任意给定路径$\Gamma$，其起点与终点分别固定为 $(x_0, t_0)$ 和 $(x_n, t_n)$。
设时间段均匀划分为 $n$ 段，即各 $t_{i+1}-t_i=t_n/n$。当 $n\to\infty$ 时，各 $t_{i+1}-t_i$ 趋于 $0$，则由式 2 、式 6 和式 8 ，粒子沿着这条路径的概率传播的振幅为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle &= \lim_{n\to\infty} \int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\
&\phantom{11} \left( \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_{n-1} )} \left\lvert x_{n-1} \right\rangle \cdots \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right) \\
&= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} } \right) ^{n/2}\int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\
&\phantom{11}\exp \left( \mathrm{i} \frac{nm}{2t_n}\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)^2 \right) \\
&\propto \int \mathcal{D}[x] \exp\left(i\int_0^T \frac{m}{2}\dot x^2\right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\mathcal{D}[x]$ 代表泛函积分测度，这里意味着对所有可能的固定两端 $x(t_0)=x_i,x(t_n)=x_f$ 的路径 $\Gamma$ 作积分。注意到 $S[x,\dot x]=\int_{t_0}^{t_n} \,\mathrm{d}{t} \ m\dot x^2/2$ 为自由粒子沿路径 $\Gamma$ 计算得到的作用量，因此可以将上式简记为
\begin{equation}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle =\mathcal{N}\cdot \int \mathcal{D}[x]|_{x(t_0)=x_i}^{x(t_n)=x_f} \exp\left(i S[x,\dot x]\right) ~.
\end{equation}
$\mathcal{N}$ 是依赖于泛函积分测度定义方式的一个常数因子，例如在上文中我们将 $t_0$ 到 $t_n$ 的时间划分为 $n$ 段，这导致了常数因子 $\mathcal{N}=(\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} })^{n/2}$。
一维势场中粒子的路径积分
对于一维势场 $V(x)$ 中的粒子，其哈密顿量为 $H=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x)$，拉氏量为 $L=\frac{m}{2}\dot x^2-V(x)$。类似于自由粒子的无穷小段路径概率振幅的公式式 8 ，我们同样可以证明
\begin{equation}
\left\langle x_1 \right\rvert e^{-iH \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \,\mathrm{d}{t} }} \exp\left(iS( \,\mathrm{d}{t} )\right) ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\exp\left(iS( \,\mathrm{d}{t} )\right) =\exp\left(i\Delta t\left(\frac{m(x_1-x_0)^2}{2\Delta t^2}-V\left(\frac{x_0+x_1}{2}\right)\right)\right)~.
\end{equation}
通过类似的推导，最终可以得到一维势场中粒子的路径积分公式：
\begin{equation}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle =\mathcal{N}\cdot \int \mathcal{D}[x]|_{x(t_0)=x_i}^{x(t_n)=x_f} \exp\left(i S[x,\dot x]\right) ~,
\end{equation}
其中 $S[x,\dot x]=\int_{t_0}^{t_n} \,\mathrm{d}{t} \ \left(m\dot x^2/2-V(x)\right)$ 为粒子沿这条路径所对应的作用量。
路径积分的经典极限
在上面的推导中我们采取了自然单位制 $\hbar=1$。现在我们复原 $\hbar$，并考察路径积分公式在经典极限下的行为。
\begin{equation}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-i\frac{H}{\hbar}T} \left\lvert x_i \right\rangle =\mathcal{N}\cdot \int \mathcal{D}[x]|_{x(t_0)=x_i}^{x(t_n)=x_f} \exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x,\dot x]\right) ~.
\end{equation}
在经典极限 $\hbar\rightarrow 0$ 下，路径积分公式中 $S[x,\dot x]$ 取极值的路径对结果的贡献最大，而远离极值的路径对应的 $ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x,\dot x]\right) $ 相位角振荡会非常剧烈，以至于在经典极限下这些偏离作用量极值的路径的贡献相抵消。这也就是说，在经典极限 $\hbar\rightarrow 0$ 的情形下，粒子的运动将只由作用量泛函取极值的路径所决定，这样就从量子力学的情况退化到了经典力学体系，与我们所知的
最小作用量原理相符合。
3. 路径积分公式的 Dirac 方法推导
下面我们利用 Dirac 的思路给出一个更简洁的对路径积分公式的证明方法。
定理 1 量子力学路径积分公式
设有相互作用的哈密顿量
\begin{equation}
H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(x)~,
\end{equation}
那么 $ \left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle $ 的路径积分表达式为
\begin{equation}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle =\mathcal{N}\cdot\int \mathcal D[x]|_{x(0)=x_i}^{x(T)=x_f} \exp\left(iS[x,\dot x]\right)~.
\end{equation}
其中 $S[x,\dot x]=\int_0^T d t L(x(t),\dot x(t))=\int_0^T d t \left[\frac{1}{2}m\dot{x}^2(t)-V(x(t))\right]$ 为粒子的作用量。
$\mathcal D[x]$ 为泛函积分测度，当时间划分为 $N$ 个间隔时它可以被定义为 $=d x_1\cdots d x_{N-1}$（$x_i$ 为第 $i$ 个时刻的粒子坐标），
而此时常数 $\mathcal N=\left(\frac{m}{2\pi i a}\right)^{N/2}$（依赖于泛函积分测度的定义）。
将时间 $T$ 划分为 $N$ 段，并在计算的最后取 $N\rightarrow +\infty$ 的极限。设 $T=Na$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle \\
&=\int d x_1\cdots d x_{N-1}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iH a} \left\lvert x_{N-1} \right\rangle \left\langle x_{N-1} \right\rvert e^{-iH a}
\left\lvert x_{N-2} \right\rangle \left\langle x_{N-2} \right\rvert \cdots \left\lvert x_{1} \right\rangle \left\langle x_{1} \right\rvert e^{-iH a} \left\lvert x_i \right\rangle
\\
&=\int d x_1\cdots d x_{N-1}\frac{d p_1}{2\pi} \cdots \frac{d p_N}{2\pi}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iH a} \left\lvert p_N \right\rangle \langle p_N|x_{N-1}\rangle
\\
&\quad \times \left\langle x_{N-1} \right\rvert e^{-iH a}
\left\lvert p_{N-1} \right\rangle \langle p_{N-1}|x_{N-2}\rangle
\cdots \left\langle x_{1} \right\rvert e^{-iH a} \left\lvert p_1 \right\rangle \langle p_1 | x_i\rangle~.
\end{aligned}
\end{equation}
将 $e^{-iH a}= \exp\left[-ia[\hat p^2/2m + V(x)]\right] $ 改写为
\begin{equation}
e^{-iH a}
= \exp\left[-iaV(x)\right] \exp\left[-ia\frac{\hat p^2}{2m}\right]+O(a^2)~.
\end{equation}
当 $N\rightarrow \infty$ 时 $O(a^2)$ 的修正项可以忽略，代入上式可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle \\
&=\int d x_1\cdots d x_{N-1}\int \frac{d p_1}{2\pi} \cdots \frac{d p_N}{2\pi}\\
&\quad\times \exp\left(-iaV(x_f)\right) \exp\left(-iap_N^2/2m\right) \exp\left(ip_Nx_f\right) \exp\left(-ip_N x_{N-1}\right)
\\
&\quad \times \cdots \times
\exp\left(-iaV(x_1)\right) \exp\left(-iap_1^2/2m\right) \exp\left(ip_1x_1\right) \exp\left(-ip_1 x_{i}\right)
\\
&=\int d x_1\cdots d x_{N-1}\int \frac{d p_1}{2\pi} \cdots \frac{d p_N}{2\pi}
\exp\left(ia\sum_{i=1}^N\left(p_i\frac{x_i-x_{i-1}}{a}-H(p_N,x_N) \right)\right)\\
&\quad(x_0\equiv x_i,x_N\equiv x_f)~.
\end{aligned}
\end{equation}
为了使得关于 $p_i$ 的高斯积分收敛，我们可以手动的将 $p^2$ 视作 $p^2(1-i\epsilon)$，这样高动量处积分的贡献就被指数压低了
Gell-Mann-Low 定理将说明这样做是合理的。}。
利用高斯积分公式 $\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-x^2/A}=\sqrt{A\pi}$，可以将上面积分公式中的动量积分部分全部约去。最终可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-i\hat HT} \left\lvert x_i \right\rangle &=
\left(\frac{m}{2\pi i a}\right)^{N/2}
\int d x_1\cdots d x_{N-1}
\exp\left( ia\sum_{i=1}^N \left( \frac{1}{2}m \left(\frac{x_i-x_{i-1}}{a}\right)^2 - V(x_i) \right) \right)
\\
&=\mathcal{N} \cdot
\int d x_1\cdots d x_{N-1} \exp\left(iS[x,\dot x]\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 我们也可以说 “传播” 到。
2. ^ 你可以理解为，在 $t_1$ 时刻整个宇宙盖上了吸收粒子的材料，只有 $x_1$ 处例外，然后立刻把材料取走，那么在 $t_2$ 时刻在 $x_2$ 找到粒子的概率振幅就是式 3 。这可以和单缝衍射作类比。
