贡献者： JierPeter
本节采用自然单位制，$\hbar=1$。
1. 传播子的概念
考虑一个 $t=0$ 时刻的初始量子态，记为 $ \left\lvert s \right\rangle $。设有哈密顿算符 $H$，则时间演化算符是 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}$。设 $H$ 的本征态为 $ \left\lvert a \right\rangle $，对应本征值为 $E_a$。
用 $H$的本征态来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $，得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle $，则有
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}~.
\end{equation}
用位置本征态$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $，得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\int\mathrm{d}^3 x \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle $，则有
\begin{equation}
\left\langle a \middle| s \right\rangle = \int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle ~.
\end{equation}
将式 2 代入式 1 ，设 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rangle $ 是位置本征态，$\psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$ 是 $ \left\lvert s \right\rangle $ 在时刻 $t$ 的波函数，则有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \\
&=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\\
&=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle \\
&=\int\mathrm{d}^3x\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle ~,
\end{aligned}
\end{equation}
则定义 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 为 $\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。根据式 3 ，这意味着
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t) = \int\mathrm{d}^3x K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)\psi( \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0)~,
\end{equation}
称 $K$ 为
传播子（propagator）。
注意，传播子也可以写成
\begin{equation}
\begin{aligned}
K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(\sum_a \left\lvert a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle
\\&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\
&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
实际计算中，$ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 可能难以算出，因此也常插入 $H$ 的本征态构造的恒等算符 $\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 或 $\int \,\mathrm{d}{a} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 来方便计算。
2. 传播子的性质
对传播子 $K$ 关于时间求偏导，得到：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathrm{i} \partial_t K &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{i} \partial_t \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\
&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\
&= HK~,
\end{aligned}
\end{equation}
即 $K$
满足薛定谔方程。
另外，注意到
\begin{equation}
\begin{aligned}
K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} )~,
\end{aligned}
\end{equation}
即 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0)$ 可以看成是 $t=0$ 时位置本征态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , 0)$。
由于量子态的演化遵循薛定谔方程，因此综上所述，$K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 可以视为一个自然演化的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$，其初态为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。
例 1 一维自由粒子
考虑一个一维自由粒子，显然 $[H, p]=0$。具体地，$p=- \mathrm{i} \hbar\partial_x$，$H=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$。
设 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 是 $p$ 与 $H$ 的共同本征态，其中下标 $a$ 取值范围为整个实数集，且 $p \left\lvert p_a \right\rangle =a$，这还意味着 $H \left\lvert p_a \right\rangle =a^2/2m$。
再注意到 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的位置表象波函数为
未完成：引用关于 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的波函数归一化讨论的文章。
\begin{equation}
\psi_a(x) = \left\langle x \middle| p_a \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( \mathrm{i} ax\right) ~.
\end{equation}
于是能计算出传播子
\begin{equation}
\begin{aligned}
K(y, x, t) &= \left\langle y \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\int \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\
&= \left\langle y \right\rvert \left(\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\
&= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\langle y \middle| p_a \right\rangle \left\langle p_a \middle| x \right\rangle \,\mathrm{d}{a} \\
&= \frac{1}{2\pi}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
以下是式 9 积分的计算。
令 $A=t/2m$，$B=x-y$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(Aa^2+Ba \right) } \,\mathrm{d}{a} \\
&= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(\sqrt{A}a+\frac{B}{2\sqrt{A}} \right) ^2} \,\mathrm{d}{a} \\
&= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
根据
高斯积分式 6 ，或者如果你对高斯积分向复数的拓展有疑虑的话，根据
留数定理例 3 ，知 $\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} = \sqrt{\frac{\pi}{ \mathrm{i} }} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )$。代入
式 10 得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \frac{1}{2\pi}\cdot \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )\\
&= \frac{1}{2\pi}\exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{\pi m}{t}}(1- \mathrm{i} )\\
&= \exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{4\pi t}}(1- \mathrm{i} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
也可以写为
\begin{equation}
\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} = \exp \left(\frac{ \mathrm{i} m \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} }}~.
\end{equation}
习题 1 三维自由粒子
你已经学会了计算一维自由粒子的传播子（例 1 ），现在请仿照算出三维自由粒子的传播子。
答案是
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \left(\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} } \right) ^{3/2}\exp \left(\frac{ \mathrm{i} m( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )^2}{2t} \right) ~.
\end{equation}
3. 传播振幅
给定测量算符 $X$，$X$ 的本征值为 $x_a$ 的本征矢记为 $ \left\lvert a \right\rangle $。
给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $，一段时间 $t$ 后它会变成 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $。此时若我们对它进行 $X$ 测量，则得到 $x_a$ 的概率为
\begin{equation}
\left\lvert \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \right\rvert ^2~.
\end{equation}
这可以理解为，时间 $t$ 后，$ \left\lvert s \right\rangle $ 演化为 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的概率。
据以上结论，我们定义传播振幅，用于描述一个系统一段时间后演化为另一个系统的概率：
定义 1 传播振幅
给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 和 $ \left\lvert a \right\rangle $，定义从 $ \left\lvert s \right\rangle $，经过时间 $t$ 后到 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的传播振幅为 $ \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $。
传播振幅的模方，式 14 ，即为传播的概率。
由定义 1 可见，传播子可以理解为一种跃迁振幅，即初始处于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 位置的粒子，在时间 $t$ 后出现在 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的概率振幅。
4. 经典量子力学的局限性
根据传播振幅的概念，式 12 和式 13 意味着对于任意给定的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，自由粒子总能在任意短的时间 $t$ 内从一处传播到另一处（传播振幅的模方不为零），意即粒子允许瞬间移动。这是不符合相对论要求的因果性的。
直接将哈密顿量 $H$ 改为相对论形式 $H=\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2}$ 也无济于事（An Introduction to Quantum Field Theory [1]，2.1 节）。
对于该问题的讨论，请参见
未完成：写了相关文章后引用
[1] ^ Peskin. An introduction To Quantum Field Theory