贡献者： JierPeter; addis
未完成：预备知识需要薛定谔量子力学的相关内容，但现在该部分还未整理好，不宜引用。
预备知识 1 自然单位制、普朗克单位制
，爱因斯坦求和约定
Klein-Gordon 方程（以下简称 “K-G 方程”）的命名源自两位物理学家 Oskar Klein 和 Walter Gordon，他们于 1926 年指出该方程能够描述狭义相对论中的电子。虽说实际上，电子这样有自旋的费米子应该用 Dirac 方程来描述，但 K-G 方程依然成功地描述了相对论性的无自旋复合粒子。
1. 问题的引入
Schrödinger 方程（以下以通译称 “薛定谔方程”）在量子力学中的地位，就像牛顿三定律在经典力学中的地位一样，是描述理论结构的 “公理”。因此，如果要了解量子力学的局限性，可以从研究薛定谔方程本身入手。
质能关系问题
回顾单粒子薛定谔方程的表达（注意这里使用了自然单位制）：
\begin{equation}
\left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi = \mathrm{i} \partial_t \psi~.
\end{equation}
由于量子力学假设 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }=- \mathrm{i} \nabla$ 和 $\hat{E}= \mathrm{i} \partial_t$ 分别是动量、能量算子，故式 1 左边体现的是经典力学中的哈密顿量：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{H}=-\frac{\nabla^2}{2m}+V &= \frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V ~,\\
&\updownarrow\\
H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}+V~.
\end{aligned}
\end{equation}
式 2 上下两部分含义完全不同1，但其描述的能量-动量-质量关系是一致的。因此薛定谔方程本质上是经典力学的推广，与经典时空观契合，但与相对论时空观矛盾。
粒子数守恒问题
回顾量子力学的概率守恒。取薛定谔方程的复共轭，得
\begin{equation}
\left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi^* = - \mathrm{i} \partial_t \psi^*~.
\end{equation}
在式 1 上乘以 $\psi^*$，再减去式 3 乘以 $\psi$，得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^* \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi - \psi \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi^* &= \mathrm{i} \left(\psi^*\partial_t\psi + \psi\partial_t\psi^* \right) \\
-\psi^*\frac{\nabla^2}{2m}\psi + \psi\frac{\nabla^2}{2m}\psi^* &= \mathrm{i} \partial_t \left(\psi\psi^* \right) \\
\partial_t \left( \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \right) + \frac{- \mathrm{i} \nabla}{2m} \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) &= 0\\
\partial_t \rho + \frac{\nabla}{2m} \left(\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi + (\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi)^* \right) &= 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\rho= \left\lvert \psi \right\rvert ^2$ 可以理解为粒子的空间位置分布，即粒子数密度。
对于动量本征态容易验证，式 4 相当于
\begin{equation}
\partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = 0~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} /m=\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi/m$ 是粒子的速度。对于非本征态也有类似的阐释，因为任何量子态都是动量本征态的叠加。
式 5 意味着任意空间区域内粒子随时间增加的速率，恰为粒子从外部进入该区域的速率，即整个宇宙中粒子数守恒。于是，薛定谔方程无法描述粒子数变化的现象，如质子和电子结合成中子的过程中，质子和电子的数目减少，中子的数目增多。
特别要注意的是，在推导式 4 的过程中，我们假设 $V$ 是实数。如果 $V$ 可以取复数，那么实际上能导出粒子数消失或产生的结果，这可以唯象地解释粒子数不守恒的情况，如对核反应的描述。
2. Klein-Gordon 方程
相对论的成功以及自然界广泛存在的粒子数改变的现象，都表明我们必须改变薛定谔方程的形式，才能扩展量子理论的适用范围。Klein-Gordon 方程即是一个良好的扩展。
方程的导出
我们考虑从质能关系切入。相对论中的质能关系为
\begin{equation}
E^2= \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2~.
\end{equation}
用它代替经典力学的 $E=p^2/2m+V$，代入量子力学的算符假设 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }=- \mathrm{i} \nabla$ 和 $\hat{E}= \mathrm{i} \partial_t$，得到一个方程：
\begin{equation}
\left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi = -\partial_t^2 \psi~.
\end{equation}
如果使用抽象指标来表示，取 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag}(-1, 1, 1, 1)$，则式 7 也表达为
\begin{equation}
\partial_\mu\partial^\mu \psi = m^2\psi~.
\end{equation}
如果取 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$，则式 7 应表达为
\begin{equation}
\partial_\mu\partial^\mu \psi = -m^2\psi~.
\end{equation}
这仅仅是
号差选择的习惯问题。
式 7 及其抽象指标表达式式 8 和式 9 被称为闵可夫斯基时空中的Klein-Gordon 方程。
我们也可以用达朗贝尔算子（d'Alembert operator）表示 K-G 方程。达朗贝尔算子是拉普拉斯算子 $\nabla^2$ 在闵可夫斯基时空中的推广，其定义为
\begin{equation}
\square = \partial_t^2-\nabla^2~,
\end{equation}
于是式 7 又可以表示为
\begin{equation}
\square \psi + m^2\psi = 0~.
\end{equation}
注：使用正
四边形是为了表示这是在
四维时空中。以上是自然单位制的表述，回归国际单位制后应有
\begin{equation}
\square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2~,
\end{equation}
此外，由于质量项的算符量纲应为长度平方的倒数，所以回归国际单位制后为
\begin{equation}
m\rightarrow \frac{mc}{\hbar}~.
\end{equation}
达朗贝尔算子又称 “波算子（wave operator）”，因为 $\square \psi=0$ 正是经典的线性机械波方程。从这个视角看自然会发现 $m^2\psi$ 是 “多出来” 的一项，可以认为是一种 “势”$V(\psi)$，这样我们就可以把 K-G 方程拓展为更一般的形式
\begin{equation}
\square\psi + V(\psi) = 0~.
\end{equation}
除了 $m^2\psi$ 以外，实标量场 $\psi$ 在相互作用理论里也有一种常见的势：$V(\psi)=\frac{1}{2}m^2\psi^2+\lambda\psi^4$。
连续性方程
类似处理薛定谔方程的方法，我们给 K-G 方程左乘一个 $\psi^*$，再取结果的复共轭，相减：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^* \left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi-\psi \left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi^* &= -\psi^*\partial_t^2 \psi+\psi\partial_t^2 \psi^*\\
-\psi^*\nabla^2\psi+\psi\nabla^2\psi^* &= -\psi^*\partial_t^2\psi+\psi\partial_t^2\psi^*\\
\nabla\cdot \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) &= \partial_t \left(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^* \right) \\
\partial_\mu \left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^* \right) & =0~,
\end{aligned}
\end{equation}
式 15 的最后一步与 $\eta_{\mu\nu}$ 的号差选择无关。
记 $\rho=\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^* \right) $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} =-\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) $，则式 15 还可以写成
\begin{equation}
\partial_t\rho+\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0~,
\end{equation}
这意味着 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是 $\rho$ 的流。
K-G 方程关于变量 $t$ 是二阶的，因此 $\psi$ 和 $\partial_t\psi$ 是相互独立的初值，因此可以自由选择 $\rho$ 作为位置的函数是正值还是负值。因负值的存在，把 $\rho$ 诠释为概率密度显然是不妥当的。
我们也可以用更统一的形式来表述式 16 。令 $J^\mu=\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^* \right) $，则式 16 写为
\begin{equation}
\partial_\mu J^\mu = 0~.
\end{equation}
自由解
无外力作用下的自由 K-G 方程有两个线性无关的特解：
\begin{equation}
\psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} Et- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }~,
\end{equation}
其中 $E=\pm\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2}$。
拉格朗日形式
K-G 方程描述了场的运动（变化）规律，采用了微分语言进行描述，但也可以借助拉格朗日函数或者说拉格朗日作用量来描述。
一个质量为 $M$ 的复标量场 $\psi$ 的 Klein-Gordon 作用量为
\begin{equation}
\int { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \frac{1}{2} \left(\partial^\mu\psi\partial_\mu\psi^*-M^2\psi\psi^* \right) ~.
\end{equation}
$\psi$ 的能动张量可以由拉格朗日密度算出：
\begin{equation}
T^{\mu\nu} = 2\partial^\mu\psi^*\partial^\nu\psi-\eta^{\mu\nu} \left(\partial^\rho\psi^*\partial_\rho\psi-M^2\psi^*\psi \right) ~.
\end{equation}
未完成：缺乏预备知识：如何用拉格朗日密度算出能动张量。考虑在《能动张量》中讲。
弯曲时空上的 K-G 方程
式 8 和式 9 在形式上可以直接推广到任意时空流形上：
\begin{equation}
\nabla_\mu\nabla^\mu=m^2\psi~
\end{equation}
和
\begin{equation}
\nabla_\mu\nabla^\mu=-m^2\psi~.
\end{equation}
其中 $\nabla_\mu$ 是该时空中的联络，$\nabla^\mu=g^{\mu\nu}\nabla_\nu$
3. Klein-Gordon 场
本小节讨论一些满足 K-G 方程的场，即 Klein-Gordon 场。
1. ^ 上面一行各项是算符，它们作为量子态之间线性变换的本征值才是能量、动量等可观测量；下面一行各项就是实数，本身即为能量、动量等可观测量。