贡献者： addis
度量空间与一般集合的最大区别就是元素之间有了距离的概念。利用距离函数我们可以定义许多度量空间特有的基本概念。
定义 1 邻域
给定一个半径 $r > 0$，度量空间 $X$ 中的一点 $x$ 周围所有满足 $d(x, y) < r$ 的点 $y \in X$（包括 $x$ 自己）就是 $x$ 在 $X$ 中的一个邻域（neighborhood） $N_r$。如果将邻域去掉 $x$ 本身，就叫做去心邻域（deleted/punctured neighbourhood）。
注意邻域取决于所讨论的度量空间，例如即使当 $x$ 和 $r$ 不变，当 $X$ 分别取有理数集和实数集时，邻域 $N_r$ 也是不同的。如果 $x$ 同时属于两个不同空间 $A, B$，那么我们应该区分 $x$ 在 $A$ 中的邻域和 $x$ 在 $B$ 中的邻域：前者是 $A$ 的子集，而后者是 $B$ 的子集。以下许多概念也与讨论的空间有关，所以在讨论时我们需要明确使用哪个空间。
邻域至少包含一个点，而去心邻域可以是空集。
定义 2 内点
给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$。如果某点 $x\in A$ 在 $X$ 中的某邻域是 $A$ 的子集，那么 $x$ 就是集合 $A$ 的内点（interior point）。
换言之：给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$ 以及 $x \in A$，如果存在 $r > 0$ 使所有 $X$ 中所有与 $x$ 距离小于 $r$ 的点都属于 $A$，那么 $x$ 就是 $A$ 的内点。
例 1
一个点是否是集合 $A$ 的内点取决于 $X$ 的定义。例如令 $A$ 为 $(-1, 1)$ 中的有理数，$X$ 为有理数集，则 $A$ 中的任意点都是内点。但如果令 $X$ 为实数集，那么 $A$ 中的任意点都不是内点，因为可以证明任意两个有理数之间都存在实数。若令 $X = A$，那么所有点都是内点。
定义 3 极限点，离散点
给定度量空间 $X$ 中的一点 $x$，如果 $x$（在 $X$ 中）1的任意去心邻域都不为空，那么 $x$ 就是集合 $X$ 的一个极限点（limit point）。如果一个点不是极限点，它就是离散点（discrete point）。
例 2
有理数集或实数集（$\mathbb R$）构成的度量空间中任意一点都是极限点（证明显然）。
定义 4
如果讨论度量空间 $X$ 和它的子空间 $A$，那么如果存在一点 $x \in X$（但未必 $x \in A$），使得 $x$ 在 $A$ 中的所有去心邻域都不为空，那么就说 $x$ 是 $A$ 在 $X$ 中的极限点。
根据定义 3 ，$A$ 在 $X$ 的极限点都是 $X$ 的极限点。当 $x \in A$ 时可以直接说 $x$ 是 $A$ 的极限点，但 $x \notin A$ 时则不能。
例如有理数（作为 $\mathbb R$ 的一个子集）的（在 $\mathbb R$ 中的）极限点却不一定是有理数，例如 $\sqrt{2}$ 的任意邻域中都有无穷个有理数，所以是有理数集的一个极限点，但 $\sqrt{2}$ 却是无理数。
推论 1
度量空间 $X$ 中的点 $x$ 是极限点的充分必要条件是，$x$ 的任意去心邻域都有无穷多个点。
证明：使用反证法。如果 $x$ 的某个去心领域只有有限个点，那么必定能找到离 $x$ 最近的一点 $y$，那么对于任意的 $r < d(x, y)$，$x$ 的去心邻域为空，与定义矛盾。证毕。
定义 5 序列的极限
给定度量空间 $X$ 中的无穷个点组成的序列（sequence） $x_1, x_2, \dots$ 以及一点 $x$，若对任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时就有 $d(x_n, x) < \epsilon$，那么 $x$ 就是该序列的极限（limit）。
需要注意：
- 度量空间中序列的极限未必是极限点，例如整数集 $\mathbb Z$ 中的序列 $1, 2, 3, 3, 3, \dots$ 的极限是 $3$，但 $\mathbb Z$ 中任意一点都不是（$\mathbb Z$ 的）极限点。
- 序列的极限是否存在可能与 $X$ 有关。例如令 $X$ 为正实数集，则序列 $1, 1/2, 1/3, \dots$ 不存在极限，但若 $X$ 改为实数集，那么该序列就存在极限。若问题中存在两个集合 $A \subsetneq X$ 时，我们需要指定哪个集合中的极限。
推论 3
给定度量空间 $X$ 的任意极限点 $x$，都可以构建一个 $X$ 中的序列使其极限为 $x$。
给定 $A \subsetneq X$ 的在 $X$ 中的任意极限点 $y \in X, y \notin A$，都可以构建一个 $A$ 中的序列使其在 $X$ 中的极限点为 $y$。
证明显然。
1. 开集和闭集
我们初高中所学的开区间就是实数集 $\mathbb R$ 的开集。任意开区间的并和有限开区间的交也是 $\mathbb R$ 的开集。下面我们对任意度量空间通过距离的概念给出开集的定义。
定义 6 度量空间的开集
若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 中的任意一点都是内点（定义 2 ），那么 $A$ 就是一个开集（open set）。
换言之：给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$，若对于任意 $x \in A$ 都存在 $r > 0$ 使得 $X$ 中与 $x$ 距离小于 $r$ 的所有点都属于 $A$，那么 $A$ 就是一个开集。
如果 $A$ 不是开集，就说它是非开的（not open）。
由于 $A$ 中的点是否为内点取决于 $X$，所以 $A$ 是否为开集也是相对于 $X$ 而言的。例 1 中的三种情况下 $A$ 分别是开集、非开集、开集。
定义 7 度量空间的闭集
若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是开集，那么 $A$ 关于 $X$ 的补集就是闭集（closed set）。
根据这个定义，显然闭集的补集都是开集。显然 $A$ 是否是闭集同样取决于 $X$ 的选取。
定理 1
度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是闭集的充分必要条件是：$A$ 在 $X$ 中的所有极限点（定义 4 ）都属于 $A$。
注意 “开集” 和 “闭集” 并不是反义词，一个集合如果看作它本身的子集（$A = X$），则它既开又闭。例如将例 1 中的开区间改为闭区间，则三种情况下 $A$ 分别是 “非开但闭”，“非开非闭”，“又开又闭”。
拓展
即使讨论的不是度量空间（没有距离的概念），我们也可以通过更广义的方式定义开集，见 “拓扑空间”。度量空间是拓扑空间的一种，可以证明上述定义的开集同样满足拓扑空间中对开集的要求，即 “有限交任意并” 也都是开集。
1. ^ 在定理中，我们一般假设只存在提到的集合，所以这里的 “（在 $X$ 中）” 可以省略。