流形

贡献者： JierPeter; int256; addis; DTSIo; Giacomo

预备知识　拓扑空间，（Hausdorff）分离性

1. 拓扑流形

　　 （实）拓扑流形（real topological manifold） 是一种拓扑空间，其每个点都有一邻域与欧几里得空间中的开集同胚（homeomorphic）。如果这些欧几里得空间是 $n$ 维的，那么就叫做 $n$ 维流形。因此，一个拓扑流形可以看成是我们熟知的欧几里得空间 “拼接” 而成的。

定义 1　图和图册

　　设 $N$ 是一个拓扑空间，满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性¹。如果存在开集 $U \in T_{N}$ 和一个正整数 $n$ ，使得 $U$ 同胚于 $R^{n}$ ，同胚映射为 $φ : U \to R^{n}$ ，那么称 $(U, φ)$ 是 $N$ 上的一张图（chart）。如果图的一个集合 $A = {(U_{α}, φ_{α})}$ 覆盖了 $N$ ，即 $⋃ {U_{α}} = N$ ，那么称这个集合 $A$ 是一个图册（atlas）。

　　图 $(U, φ)$ 可以看成是给 $U$ 中各点 $x$ 赋予了一个坐标值 $φ (x)$ 。

定义 2　实拓扑流形

　　设 $N$ 是一个拓扑空间，满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性，且有一个图册 $A$ ，则称 $(N, A)$ 是一个实拓扑流形（real topological manifold），简称拓扑流形（topological manifold）。

　　需要注意，定义里不要求 $N$ 是道路连通的，但有的作者会要求。需要注意甄别。

　　从这些定义可看到，流形是 “局部地” 和欧几里得空间同胚的数学对象。低维欧几里得空间可以很方便地用我们的几何直觉来理解，大大方便了建立对于流形的直觉。

　　要注意的是，以上定义只要求了流形的每个点附近都有领域，使之局部地同胚于欧几里得空间，这样的流形被称为拓扑流形，但并不是我们将在微分几何中讨论的重点；我们将来讨论的重点概念是 “光滑流形”。

例 1　 $S^{n}$ 流形

　　 $n$ 维球面 $S^{n}$ 都是实流形。

记 $S^{1} = {(\cos 2 π t, \sin 2 π t) \in R^{2} | t \in [0, 1]}$ ，那么我们可以通过挖去一个点后使用正切函数来构造图： $U = S^{1} - {(1, 0)} = {(\cos 2 π t, \sin 2 π t) \in R^{2} | t \in (0, 1)}$ 可以同胚于 $R$ ，同胚映射为 $φ (\cos 2 π t, \sin 2 π t) = \tan π t - π / 2$ ；类似地， $V = S^{1} - {(- 1, 0)} = {(\cos 2 π t, \sin 2 π t) \in R^{2} | t \in (- 1 / 2, 1 / 2)}$ 也可以同胚于 $R$ ，同胚映射为 $ϕ (\cos 2 π t, \sin 2 π t) = \tan π t$ 。这样一来， ${(U, φ), (V, ϕ)}$ 就是 $S^{1}$ 的两个图的集合，并且覆盖 $S^{1}$ ，因此这个集合是一个图册，从而得出 $S^{1}$ 是一个实拓扑流形。
类似地，从 $S^{n}$ 中分别挖去两个不同的点所得到的 $U$ 和 $V$ 都可以同胚于 $R^{n}$ ，从而得到图册。

例 2　莫比乌斯带

　　将莫比乌斯带表示为矩形纸带两边扭转后粘合，我们可以将其用如图所示的 $5$ 个开集 $U_{i}$ 覆盖，每个开集都同胚于 $R^{2}$ ，因此我们可以利用它们来构建一个含有 $5$ 个图的图册。

图 1：莫比乌斯带和覆盖它的五个开集。注意

U 1

（红色）和

U 2

（绿色）在图示中有“两块”区域，当然它们实际上是相连的。

2. 光滑流形

　　考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, φ)$ 和 $(V, ϕ)$ 。如果 $U \cap V \neq \emptyset$ ，那么在 $U \cap V$ 中的每个点就有两套坐标；当然，也可以把 $φ \circ ϕ^{- 1} : ϕ (V) \to φ (U)$ 和 $ϕ \circ φ^{- 1} : φ (U) \to ϕ (V)$ 看成 $R^{n}$ 的开子集上的多元向量值函数。只要这个函数是可以任意进行微分的，就能方便我们研究。

定义 3　光滑函数

　　设 $f : R^{n} \to R$ 是一个 $n$ 元函数，如果 $\frac{\partial^{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n}}}{\partial^{k_{1}} x^{1} \partial^{k_{2}} x^{2} \dots \partial^{k_{n}} x^{n}} f$ 在一点 $x \in R^{n}$ 处对于任意非负整数 $k_{i}$ 成立，即 $f$ 的任意阶偏导数存在，那么称 $f$ 在 $x$ 处光滑；如果 $f$ 处处光滑，也称它是一个光滑函数（smooth function），记为 $C^{\infty}$ 的函数。如果向量值函数的各分量函数都是光滑函数，那么也称这个向量值函数是一个光滑映射（smooth map）。

　　当一个函数的 $m$ 阶偏导数存在并且连续时，我们说它是 $C^{m}$ 的，因此任意阶偏导数存在时自然被记为 $C^{\infty}$ 。今后我们将 “光滑” 和 $C^{\infty}$ 视为同义词，不加区分。

　　需要注意的是，光滑和解析不是等价的概念。解析函数一定光滑，但光滑函数不一定解析，一个典型例子是例 1 。可参考幂级数.

定义 4　相容

　　考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, φ)$ 和 $(V, ϕ)$ 。如果 $U \cap V \neq \emptyset$ ，且 $φ \circ ϕ^{- 1} : ϕ (V) \to φ (U)$ 和 $ϕ \circ φ^{- 1} : φ (U) \to ϕ (V)$ 都是光滑映射，那么我们称这两个图是相容的（compatible）。

　　从拓扑流形例子可以看出，同一个拓扑空间 $N$ 可以有不同的图册，对应的虽然是同一空间，但按照定义却是不同流形。这意味着流形不仅仅是指空间 $N$ 本身，还指它的局部坐标系结构。这样把拓扑流形分类通常是无意义的，实际上我们需要一个更为统一的研究对象，那就是光滑流形。我们接连使用以下两个定义来定义光滑流形。

定义 5　极大图册

　　设 $(N, A)$ 是一个拓扑流形。如果 $N$ 的任何一个图，满足 “只要它和 $A$ 中所有图都相容，它就一定在 $A$ 中”，那么就称 $A$ 是一个极大图册。

定义 6　光滑流形（又称微分流形）

　　拥有极大图册的拓扑流形，被称为一个光滑流形（smooth manifold），又称微分流形（differentiable manifold）。光滑流形的图册，被称为该流形上的一个微分结构（differential structure）。

　　这就是我们将来讨论的主要对象了。今后如无特别说明，小时百科中 “流形” 一词都特指 “光滑流形”。

　　通常，为了方便，我们也会将流形 $(N, A)$ 简单记为 $N$ 。

1. ^ 拓扑空间如果有一个可数拓扑基（即一个拓扑基，包含最多 $ℵ_{0}$ 个基本开集），则称之为第二可数的。

流形

1. 拓扑流形

定义 1 图和图册

定义 2 实拓扑流形

例 1 Sn 流形

例 2 莫比乌斯带

2. 光滑流形

定义 3 光滑函数

定义 4 相容

定义 5 极大图册

定义 6 光滑流形（又称微分流形）