光滑映射（简明微积分）
贡献者： JierPeter; Giacomo
预备知识 线性映射
，矢量的导数
，偏导数（简明微积分）
本节讨论欧几里得空间间一类可以无穷次求（偏）导的线性映射，称为光滑映射。
1. 光滑函数
为了讨论光滑映射，我们首先引入光滑函数的概念。
定义 1 实数集上的光滑函数
给定函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，如果在某一点 $x_0\in\mathbb{R}$，对于任意的 $k\in\mathbb{Z}^+$，存在 $f$ 的 $k$ 阶导数 $f^{(k)}(x_0)$，则称 $f$ 是在点 $x_0$ 处任意阶可导的，或 $C^\infty$ 的，或光滑的（smooth）。今后，我们将术语 $C^{\infty}$ 和光滑看成完全等价的。如果 $f$ 处处光滑，则称其本身是一个光滑函数。
光滑函数的概念可以通过偏导数来推广到多自变量的情况。
定义 2 多元光滑函数
给定函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$，如果在某一点 $(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n) \in\mathbb{R}^n$，对于任意的 $k\in\mathbb{Z}^+$，存在 $f$ 的 $k$ 阶偏导数$$\frac{\partial^k}{\partial x^{i_1}\partial x^{i_2}\cdots\partial x^{i_k}}f(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n)~.$$其中各 $i_j$ 都是 $1$ 到 $n$ 的任意整数，可以有重复；则称 $f$ 在 $(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n)$ 处光滑。如果 $f$ 处处光滑，则简称 $f$ 光滑。
2. 光滑映射
两个欧几里得空间之间的线性映射 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$，可以看成是 $m$ 个自变量的 $n$ 维向量值函数；进一步，也可以把向量看成 $n$ 个标量，也就是说把这个线性映射看成 $n$ 个线性函数组合在一起。
定义 3 光滑映射
设 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$ 是欧几里得空间之间的线性映射。对于 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x_0}} \in \mathbb{R}^m$，记 $f( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} )=(f_1( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ), f_2( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ),\cdots, f_n( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ))$。如果每一个 $f_i$ 都是光滑函数，则称 $f$ 是一个光滑映射（smooth map）。
3. 光滑函数和解析函数的比较
解析函数是一种性质良好的函数，它可以表示成幂级数的形式。如果一个函数解析，那么我们总可以在任何点处对它进行泰勒展开，展开结果就是其幂级数表达。能进行泰勒展开固然需要可以无穷求导，也就是说解析函数必然是光滑的；但反过来却不成立，有的光滑函数就不解析。
例 1
考虑函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，其中当 $x>0$ 时 $f(x)=\exp{(-1/x)}$，当 $x\leq 0$ 时 $f(x)=0$。可以验证，$f$ 处处光滑，但是它在 $x=0$ 处的泰勒展开是常数 $0$，而它显然不是一个常函数，因此 $f$ 在 $x=0$ 处不解析。