直纹面（古典微分几何）

贡献者： JierPeter

预备知识　高斯曲率和平均曲率

　　直纹面可以说是直线和曲面的完美结合体，作为一个曲面，即使高斯曲率不为零，也能在任何一个点处找到一条直线，这条直线是曲面的子集。直纹面可以通过让一条直线在空间中扫过来构造，不过我们在这儿肯定是要给出准确的数学描述，以方便深入研究。

定义 1　直纹面

　　空间中的一条直线可以由两个向量组成，一个位置向量 $\alpha(t)$ 和一个方向向量 $\omega(t)$。不同的 $t$ 对应不同的直线，而每个 $t$ 对应的直线可以表示为 $\{\alpha(t)+v\omega(t)|v\in\mathbb{R}\}$。随着参数 $t$ 变化，直线的位置和方向都连续变化，也就是说，$\alpha$ 和 $\omega$ 随着 $t$ 连续变化。由此容易想到，可以使用两个参数来描述一个直纹面，将其局部坐标系写成如下形式：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, v)=\alpha(t)+\omega(t)v~. \end{equation}

　　这里的两个参数确定直纹面上一个点的过程，可以理解为 $t$ 确定了是在哪一条直线上，而 $v$ 确定了是在直线上的哪个位置。

　　不失一般性地，为了方便，我们不妨设方向向量 $\omega(t)$ 恒为单位向量。这样的设置能保证 $\omega(t)\cdot\omega'(t)=0$ 恒成立。当 $\omega'(t)$ 为零的时候，得到的直纹面就被称为柱形面（cylindrical surface）；当 $\omega'(t)$ 不为零的时候，意味着方向必然在变，得到的就是非柱形面（noncylindrical surface）。

　　直纹面上的任意一条曲线 $\beta(t)$，都可以用一个标量函数$u(t)$ 来唯一表示：

\begin{equation} \beta(t)=\alpha(t)+\omega(t)u(t)~. \end{equation}

　　直纹面上每个点处都可以画出一条直线，作为曲率为零的曲率曲线。我们现在关心的是曲率不为零的曲率曲线怎么求。

　　设这个曲线是 $\beta(t)=\alpha(t)+\omega(t)u(t)$。由于形状算子是切空间中的线性映射，而主曲率可以视为形状算子的特征值，不属于同一特征值的向量彼此垂直，因此 $\beta(t)$ 的切向量必然处处和直线部分垂直。也就是说，我们要求有

\begin{equation} \beta'(t)\cdot\omega'(t)=0~ \end{equation}

恒成立。

　　代入计算并注意到 $\omega(t)\cdot\omega'(t)=0$，可得 $u$ 的表达式

\begin{equation} u=-\frac{\alpha'\cdot\omega'}{\omega'^2}~, \end{equation}

由此唯一确定了 $\beta$ 的表达式。

　　值得一提的是，虽然 $u$ 的表达式里出现了位置向量 $\alpha$，而同一个直纹面可以由不同的位置向量移动过程来构造，但位置向量的选择并不会影响 $u$ 的表达式。

直纹面（古典微分几何）

定义 1 直纹面

定义 1　直纹面