可微映射的导数

贡献者：零穹

预备知识　常微分方程的几何图像

　　可微映射（定义 1 ） $f : U \to V$ 将 $R^{n}$ 空间的区域 $U$ 映射到 $R^{m}$ 空间区域 $V$ ，于是就将 $U$ 上的曲线（子节 2 ） $φ$ 映射到 $V$ 上的曲线 $f (φ)$ ，可微性意味着这一对应是一一的。而切向量是曲线的等价类（定义 8 ），于是曲线 $φ, f (φ)$ 各自对应一切向量 $\frac{d φ}{d t}, \frac{d f (φ)}{d t}$ 。这就是说在可微映射 $f$ 作用下， $U$ 中的切向量 $\frac{d φ}{d t}$ 和 $V$ 中的切向量 $\frac{d f (φ)}{d t}$ 对应，这一对应是一一的，因为若 $\frac{d φ_{1}}{d t} = \frac{d φ_{2}}{d t}$ ，则

\begin{matrix} (1) & \frac{d f (φ_{1} (t))}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{d φ_{1}^{i}}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{d φ_{2}^{i}}{d t} = \frac{d f (φ_{2} (t))}{d t} . \end{matrix}

描述由可微映射

f

导致的

U

中的切向量和

V

中的切向量的这一对应关系的双射称为

f

的导数，记为

f_{*}

。由于

\frac{d φ}{d t} \in T U_{φ (t)}, \frac{d f (φ)}{d t} \in T V_{f (φ (t))}

（定义 9 ），所以

T U_{φ (t)}

和

T V_{f (φ (t))}

就是

f

的导数在点

φ (t)

的定义域和值域。

定义 1　可微映射的导数

　　设 $f : U \to V$ 是可微映射，称映射 $f_{*} |_{x} : T U_{x} \to T U_{f (x)}$ 为映射 $f$ 在点 $x$ 的导数，若 $f_{*} |_{x}$ 把过点 $x$ 的任意曲线 $φ$ （ $φ (0) = x$ ）的速度向量（定义 6 ）映到过点 $f (x)$ 的曲线 $f \circ φ$ 的速度向量，即

\begin{matrix} (2) & f_{*} |_{x} (\frac{d φ}{d t} |_{t = 0}) = \frac{d}{d t} |_{t = 0} (f \circ φ) . \end{matrix}

定理 1　导数是线性映射

　　可微映射的导数是线性映射。

　　 证明：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} f_{*} |_{x} (a \frac{d φ_{1}}{d t} |_{t = 0} + b \frac{d φ_{2}}{d t} |_{t = 0}) \\ = \frac{d}{d t} |_{t = 0} (f \circ (a φ_{1} + b φ_{2})) \\ = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial y^{i}} |_{x} (a \frac{d φ_{1}^{i}}{d t} |_{t = 0} + b \frac{d φ_{2}^{i}}{d t} |_{t = 0}) \\ = a \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial y^{i}} |_{x} \frac{d φ_{1}^{i}}{d t} |_{t = 0} + b \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial y^{i}} |_{x} \frac{d φ_{2}^{i}}{d t} |_{t = 0} \\ = a \frac{d}{d t} |_{t = 0} (f \circ φ_{1}) + b \frac{d}{d t} |_{t = 0} (f \circ φ_{2}) \\ = a f_{*} |_{x} (\frac{d φ_{1}}{d t} |_{t = 0}) + b f_{*} |_{x} (\frac{d φ_{2}}{d t} |_{t = 0}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

可微映射的导数

定义 1 可微映射的导数

定理 1 导数是线性映射

定义 1　可微映射的导数

定理 1　导数是线性映射