可微映射的导数
贡献者： 零穹
可微映射（定义 1 ）$f:U\rightarrow V$ 将 $\mathbb R^n$ 空间的区域 $U$ 映射到 $\mathbb R^m$ 空间区域 $V$，于是就将 $U$ 上的曲线（子节 2 ）$\varphi$ 映射到 $V$ 上的曲线 $f(\varphi)$，可微性意味着这一对应是一一的。而切向量是曲线的等价类（定义 8 ），于是曲线 $\varphi,f(\varphi)$ 各自对应一切向量 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} , \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} $。这就是说在可微映射 $f$ 作用下，$U$ 中的切向量 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} $ 和 $V$ 中的切向量 $ \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} $ 对应，这一对应是一一的，因为若 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} $，则
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{f(\varphi_1(t))}}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{f(\varphi_2(t))}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
描述由可微映射 $f$ 导致的 $U$ 中的切向量和 $V$ 中的切向量的这一对应关系的双射称为 $f$ 的导数，记为 $f_*$。由于 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} \in TU_{\varphi(t)} , \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} \in TV_{f(\varphi(t))}$（
定义 9 ），所以 $TU_{\varphi(t)}$ 和 $TV_{f(\varphi(t))}$ 就是 $f$ 的导数在点 $\varphi(t)$ 的定义域和值域。
定义 1 可微映射的导数
设 $f:U\rightarrow V$ 是可微映射，称映射 $f_*|_x:TU_x\rightarrow TU_{f(x)}$ 为映射 $f$ 在点 $x$ 的导数，若 $f_*|_x$ 把过点 $x$ 的任意曲线 $\varphi$（$\varphi(0)=x$）的速度向量（定义 6 ）映到过点 $f(x)$ 的曲线 $f\circ\varphi$ 的速度向量，即
\begin{equation}
f_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi)~.
\end{equation}
定理 1 导数是线性映射
可微映射的导数是线性映射。
证明：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f_*|_x(a \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0}+b \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})\\
&= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ(a\varphi_1+b\varphi_2))\\
&=\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \left(a \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}+b \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0} \right) \\
&=a\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}+b\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}\\
&=a \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi_1)+b \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi_2)\\
&=af_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})+bf_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕！