贡献者： 零穹
这里，将从几何上来理解常微分方程。这需要先引入一些概念。
1. 微分同胚
以下新名词的理解只需掌握函数可微性的知识。
定义 1 可微函数
设 $U$ 是矢量空间 $\mathbb R^n$ 上的区域，其上坐标为 $x_1,\cdots,x_n$，称函数
\begin{equation}
f:U\rightarrow\mathbb R~.
\end{equation}
是 $U$ 上的
可微函数，若 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $r$ 次连续可微的，此处，$1\leq r\leq\infty$。通常人们都不关心 $r$ 的具体值，因此并不指明。若有需要将指出 “$r$ 次可微” 或函数类 $C^r$.
定义 2 可微映射
设 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中区域，$V$ 是 $\mathbb R^m$ 中区域，其中 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $U$ 中的坐标，$y_1,\cdots,y_m$ 是 $V$ 中的坐标，称映射
\begin{equation}
f:U\rightarrow V,\quad f(x_1,\cdots,x_n)=(y_1,\cdots,y_m)~.
\end{equation}
为
可微映射，若 $y_i=f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 是可微函数。其中 $1\leq i\leq m$。
定义 3 微分同胚
若映射 $f:U\rightarrow V$ 是个双射，且 $f$ 和其逆 $f^{-1}$ 都是可微映射，则称 $f$ 为微分同胚。
定义 4 单参数微分同胚群
设 $M$ 是一流形（可认为是欧氏空间中一区域），若映射
\begin{equation}
g:\mathbb R\times M\rightarrow M,\quad g(t,x) =g^t x~.
\end{equation}
满足：1.$g$ 是可微映射；2.族 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是 $M$ 的单参数变换群（
定义 1 ）。则称 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是 $M$ 的
单参数微分同胚群。
定理 1
若 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是单参数微分同胚群，则对每一 $t$，映射 $g^t$ 是微分同胚。
证明：因为 $g$ 是可微映射，且
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{g^tx}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\partial g(t,x)}{\partial x} ~,
\end{equation}
所以 $g^t$ 对 $x$ 可微。又 $\{g^t\}$ 是单参数变换群，所以对每一 $t$，$g^t$ 是
双射，这意味着 $ \frac{\mathrm{d}{g^t x}}{\mathrm{d}{x}} \neq 0$（因为否则 $g^t(x+ \,\mathrm{d}{x} )=g^t(x)$,这违反了 $g^t$ 的单射性）。所以
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{{g^{t}}^{-1}}}{\mathrm{d}{x}} =\frac{1}{ \frac{\mathrm{d}{g^t x}}{\mathrm{d}{x}} }~,
\end{equation}
可微。
证毕！
2. 向量场
常微分方程研究的过程是可微过程，即要求相空间 $M$ 是微分流形，状态随时间的变化由可微函数描述。由于状态 x 经过 t 时间后变为 $g^tx$，要这个有可微函数描述的映射就是 $g(t,x)=g^tx$，由定义 4 ，$\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 就是 $M$ 的单参数微分同胚群。因此，以后提到相流 $\{M,\{g^t\}\}$，都有将 $\{g^t\}$ 理解成单参数微分同胚群。
掌握了以上概念，下面的概念是容易理解的。
定义 5 相速度
称
\begin{equation}
v(x):=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=\tau} g^tx~,
\end{equation}
为相流 $g^t$ 在点 $x\in M$ 的
相速度。
由于 $M$ 可看成欧几里得空间中的区域，所以其中的点就有坐标，因此 $ \,\mathrm{d}{g} ^t x$ 有定义，上面的 $v(x)$ 也就有定义。
两曲线的相切
同样令 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中一区域，其坐标为 $x_1,\cdots,x_n$，每个 $x_i$ 其实都相当于将 $U$ 映射到 $\mathbb R$ 的映射
\begin{equation}
x_i:U\rightarrow\mathbb R~.
\end{equation}
$U$ 上的曲线就是 $t$ 轴上一区间 $I$ 到 $U$ 的连续映射 $\varphi$，通常我们设它连续可微。
定义 6 速度相量
设 $\varphi$ 是 $U$ 的曲线且 $\varphi(0)=x$，则
\begin{equation}
v=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}(x\circ\varphi)~
\end{equation}
称为曲线在点 $x$ 处的
速度向量。其分量为 $v_i=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}(x_i\circ\varphi)~.$
定义 7 曲线的相切
若两曲线 $\varphi_1,\varphi_2$ 经过同一点 $x=\varphi_1(0)=\varphi_2(0)$。如果对 $t\rightarrow0$ 时，点 $\varphi_1(t),\varphi_2(t)$ 之间距离是比 $t$ 高阶的无穷小 $o(t)$，则称它们在点 $x$ 相切。
定理 2
两曲线 $\varphi_1,\varphi_2$ 在点 $x$ 处相切，当且仅当它们的速度向量相同。
证明：将 $x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t)$ 在 $t=0$ 处展开：
\begin{equation}
x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t)=\sum_{i=1}\frac{1}{i!} \left(\left. \frac{\mathrm{d}^{i}{}}{\mathrm{d}{t}^{i}} \right|_{t=0} \left(x\circ\varphi_1-x\circ\varphi_2 \right) \right) t^i~.
\end{equation}
要使 $ \left\lvert x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t) \right\rvert =o(t)$ 上式就不能含 $t$ 的一次项，于是只能
\begin{equation}
\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}x\circ\varphi_1=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}x\circ\varphi_2~.
\end{equation}
证毕！
这一定理意味着相切的曲线对应同一速度向量，而在一点 $x_0$ 处都有一速度矢量与任一矢量 $v$ 对应，只需这样定义曲线 $\varphi$（注意下面 $x(x_0)$ 代表 $x_0$ 的坐标）。
\begin{equation}
x\circ\varphi(t)=\int_0^t v \,\mathrm{d}{t} +x(x_0)~.
\end{equation}
也就是说在
点 $x$ 的速度矢量 $v$ 相当于过 $x$ 点的曲线的等价类，该等价类中的任一曲线在点 $x$ 的速度矢量都是 $v$。所以有下面的定义
定义 8 切向量
称过点 $x\in U$ 的曲线的等价类为点 $x$ 的切向量。
由于 $n$ 维空间中的区域 $U$ 上的一点处所有的速度矢量构成一 $n$ 维的矢量空间，所以在 $x$ 点的所有切向量构成的几何就是一个 $n$ 维的矢量空间。
定义 9 切空间
在点 $x\in U$ 处的所有切向量构成的集合称为 $U$ 在 $x$ 的切空间，记作 $TU_x$
我们说过，$n$ 维流形 $M$ 相当于 $\mathbb R^n$ 中一区域，那么在它上面任一点 $x$ 都有一切空间 $TM_x$。
定义 10 切丛
流形 $M$ 上所有点的切空间构成的集合
\begin{equation}
TM=\bigcup_{x\in U}TM_x~,
\end{equation}
称为流形 $M$ 的
切丛。
流形 $M$ 的向量场就是说对 $M$ 上的每一点都有一向量与之对应，每一点处的向量显然是该点的切向量，它是在 该点的切空间 $TM_x$ 中的，而另一点的向量又在另一点的切空间中的，那么向量场就相当于一个映射 $v$，它把 $x\in M$ 映到 $v(x)\in TM_x$，由于向量场 $v$ 定义域在 $M$，它的像要 $v$ 取遍 $M$，那么像所在的集合就是
$\bigcup_{x\in M} TM_x$。这就是说 $M$ 的向量场相当于是流形 $M$ 到其切丛 $TM$ 的映射。一般情况，我们还要求它是可微映射。
定义 11 向量场
设 $M$ 是一 $n$ 维流形（$\mathbb R^n$ 中的一区域），映射
\begin{equation}
v:M\rightarrow\mathbb TM~
\end{equation}
是可微映射，则称 $v$ 是 $M$ 的一个
向量场。它由 $n$ 个可微函数 $v_i:M\rightarrow \mathbb R$ 所指定。
定义 12 奇点
设 $v$ 是 $M$ 的向量场，且 $v(x)=0$，则称点 $x$ 为向量场 $v$ 的奇点。
3. 微分方程
有了上述诸概念，微分方程的几何意义就是显然的了。
定义 13 微分方程
设 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中一区域，$v$ 是 $U$ 上的向量场，则称方程
\begin{equation}
\dot x=v(x),\quad x\in U~
\end{equation}
是由向量场 $v$ 确定的
微分方程。$U$ 称为该微分方程的
相空间。
定义 14 微分方程的解
若从 $t$ 轴的区间 $I$ 到相空间 $U$ 的可微映射 $\varphi$ 满足：
\begin{equation}
\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=\tau}\varphi(t)=v(\varphi(\tau)),\quad\forall\tau\in I~,
\end{equation}
则称 $\varphi$ 为微分方程
式 14 的解。
定义 15 相曲线
设 $\varphi$ 是微分方程式 14 的解，则 $\varphi$ 的像称为该微分方程的相曲线。
观察式 6 和式 15 ，可以发现：若 $x=\varphi(t_0)$, 那么若求得了微分方程满足条件 $x=\varphi(t_0)$ 的解 $\varphi(t)$，那么 $\varphi(t)$ 就是相流 $\{g^t\}$ 在点 $x$ 处的运动，而向量场 $v$ 对应相流 $\{g^t\}$ 的相速度。