无穷小、无穷大和阶数(极简微积分)

                     

贡献者: addis

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1. 无穷小、无穷大

   首先,我们要严格区分一个给定的实数和无穷大或无穷小之间的区别。一个给定的实数是指一个具体的值,例如 $3.2 \times 10^{-100} $ 或者 $1.6 \times 10^{1000} $。无论一个确定的实数多么大或多么小,都不能说它是无穷。

   无穷小是一个过程,具体来在求函数 $f(x)$ 的极限时,如果

\begin{equation} \lim_{x\to \square} f(x) = 0~, \end{equation}
$f(x)$ 就可以叫做无穷小。这里的 $\square$ 代表一个实数或者 $\pm\infty$。如果我们说一个符号或者函数是无穷小,那么就暗含者我们在讨论某个式 1 这样的极限。

   反之,如果(定义见式 10

\begin{equation} \lim_{x\to \square} f(x) = \pm\infty~, \end{equation}
就说 $f(x)$ 是无穷大。

习题 1 

   说明以下极限中的表达式是无穷小(即极限等于 0)

  • $\lim\limits_{x\to 0} x$
  • $\lim\limits_{x\to 0} x^n$ 其中 $n$ 是一个正整数
  • $\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{x}$
  • $\lim\limits_{x\to 0} \sin x$
  • $\lim\limits_{x\to \infty} 1/x$

   如果把以上的 $\lim\limits_{x\to 0}$ 和 $\lim\limits_{x\to \infty}$ 互换,哪些会变为无穷大?

2. 高阶无穷小、高阶无穷大

   在某个极限 $\lim\limits_{x\to \square}$ 的语境下,如果 $f(x)$ 是无穷小,我们可以定义它的阶数。

  

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