函数的极限（极简微积分）

贡献者： addis; ACertainUser; Giacomo

预备知识　数列的极限（极简微积分），充分必要条件，函数（高中）

1. 引入

　　我们先通过简单的例子初步了解函数的极限。

例 1　

图 1：

f (x) = \frac{\sin (x)}{x}

的图像

　　思考一下 $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ 这一经典函数在原点附近的值。

　　众所周知，当 $x = 0$ 时，由于分母为 $0$ ，该分数没有意义；但当 $x$ 趋近于 $0$ ，如分别令 $x = 0.1, x = 0.01, . . .$ 而不等于 $0$ 时，有趣的事情发生了：如图 1 和表 1 所示，此时分数的值似乎趋于一个确定的值 $1$ .

表1：x 与 f(x)

$x$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$f (x)$	$0.9983$	$0.99998$	$0.9999998$

　　看起来，尽管我们不能定义 $f (x)$ 在零点处的值，但是我们知道，当 $x$ 趋近于 $0$ 时， $f (x)$ 趋近于 $1$ . 因此，我们说 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$

例 2　

图 2：

f (x) = 1 / x

的图像 (x>0)

　　然后，我们再看看 $f (x) = 1 / x$ 另一经典函数的图像。我们还是知道，两个正数相除始终大于零；但当 $x$ 足够大时， $1 / x$ 会足够小以至趋于 $0$ . 因此，我们说 $lim_{x \to + \infty} 1 / x = 0$ 。

2. 自变量趋于无穷的极限

　　实函数 $f (x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$ 。类比数列的极限，我们也可以定义函数趋于正无穷的极限。

定义 1　函数趋于正无穷的极限

　　考虑实函数 $f (x)$ 。若无论要求 $f (x)$ 和一确定实数 $A$ 的距离 $ϵ$ 有多小（但 $ϵ > 0$ ），都存在实数 $X$ ，使得所有 $x > X$ 都满足 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么我们说 $A$ 是函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限，记为

\begin{matrix} (1) & lim_{x \to + \infty} f (x) = A . \end{matrix}

　　可以看到该定义和数列极限的定义（定义 1 ）非常相似，只是简单做了替换。不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况。数列的编号只能朝着一个方向增大，但函数的自变量 $x$ 既可以趋近正无穷也可以奔向负无穷，

图 3：对于任意一个

ϵ

，都存在对应的

X

。仿自 [1]

习题 1　

　　请仿照定义 1 给出函数趋于负无穷时极限的定义

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to - \infty} f (x) = A . \end{matrix}

　　注意 $lim_{x \to \infty} f (x) = A$ 仅表示正无穷的极限而不是两个方向的极限都是 $A$ 。

3. 自变量趋于一点的的极限

　　另外，由于 $x$ 是连续取值的，也可以考察自变量 $x$ 不断趋近某一点 $x_{0}$ 的极限，即 $x \to x_{0}$ 。如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_{0}$ ” 呢？只需要取自变量 $x$ 使得二者间的距离 $| x - x_{0} |$ 越来越接近 $0$ 即可。

定义 2　函数在某点的极限

　　考虑实函数 $f (x)$ 。若无论要求 $f (x)$ 和确定实数 $A$ 的距离 $ϵ > 0$ 有多小，都存在一个自变量的取值半径 $δ > 0$ ，使得对任意满足 $| x - x_{0} | < δ$ 的实数 $x$ ，都有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么我们说 $A$ 是函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋于 $x_{0}$ 时的极限，记为

\begin{matrix} (3) & lim_{x \to x_{0}} f (x) = A . \end{matrix}

图 4：对于任意一个

ϵ

，都存在对应的

δ

.仿自 [1]

例 3　简单技巧

　　求一些简单的函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算（如果存在的话），如

\begin{matrix} (4) & lim_{x \to 1} 2 x + 1 = 3, lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} . \end{matrix}

　　当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如

\begin{matrix} (5) & lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{2 x + 2} = lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

　　我们可以换个角度计算上面的极限，

\begin{matrix} (6) & lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{2 x + 2} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 + 1 / x}{2 + 2 / x} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

1 / x

和

2 / x

是 “无穷小”，因此可以忽略。

　　这个技巧来源于一个事实：那些 “简单函数” 通常都是 “连续” 的，或者说，至少在所需求极限的那个点附近是 “连续” 的：它们的图像在自变量所趋向的值附近是一条连续不断的曲线。有关这点，更详细的信息请参考专门的词条。

　　如果你想要处理更复杂的极限问题，那你可以参考求极限的一些方法。不过，其中部分方法已经超出了初学者的（以及 “极简微积分” 的）知识范围。

左、右极限

　　我们还可以区分函数在某点的左极限（left limit）和右极限（right limit）。简而言之就是 $x$ 分别从左边和右边两个方向趋近 $x_{0}$ 时的极限，具体定义留做思考。左右极限记为

\begin{matrix} (7) & lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A_{-}, lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A_{+} . \end{matrix}

定理 1　

　　函数在某点存在极限的充分必要条件是它左右极限都存在并相等。 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A .$

　　也就是说，若左（或右）极限不存在，或者左右极限存在但不相等，那此处的极限就不存在。

例 4　

图 5：函数

θ (x)

的图像

　　函数

\begin{matrix} (8) & θ (x) = {\begin{array}{r} 0 (x < 0) \\ 1 (x \geq 0) \end{array} . \end{matrix}

　　计算左极限 $lim_{x \to x_{0}^{-}} θ (x)$ 时，假定 x 从左侧不断接近 $0$ （ $x = - 0.1, x = - 0.01, . . .$ ），但从不超过（也不等于） $0$ 。此时总有 $x < 0$ ，因此 $lim_{x \to x_{0}^{-}} θ (x) = 0$ .

　　同理， $lim_{x \to x_{0}^{+}} θ (x) = 1 .$

　　由于左右极限不相同，因此 $θ (x)$ 在 $x = 0$ 处的极限不存在。

某点处函数的极限值与函数值

　　新手最常犯的错误莫过于过度纠结某处的函数极限值 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 与函数值 $f (x_{0})$ 的联系。事实上，这两者之间没有必要的关联¹。 $f (x_{0})$ 可以不等于 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ ， $f (x)$ 甚至可以在 $x_{0}$ 处没有定义。总之，某处的函数极限值并不依赖于该点处的函数值。

　　这是因为定义中只考虑 $x$ 慢慢接近 $x_{0}$ 的过程，而不考虑 $x = x_{0}$ 的情况。即使我们把这点从函数定义域中挖去，极限是否存在，以及极限值是多少都不会被改变。例如在例 1 与在 “小角极限” 中会看到，虽然 $\sin x / x$ 在 $x = 0$ 处没有定义，但其极限却等于 $1$ 。

例 5　可去间断点

图 6：函数 f(x)的图像

　　函数

\begin{matrix} (9) & f (x) = {\begin{array}{r} x (x \neq 1) \\ 1.5 (x = 1) \end{array} . \end{matrix}

计算

lim_{x \to 1} f (x)

时，由于只考虑

x = 1

附近的情况、而不考虑

x = 1

本身的情况，因此

lim_{x \to 1} f (x)

的结果与

f (1)

的值无关。在本例中，

lim_{x \to 1} f (x) = 1

, 而

f (1) = 1.5

。

4. 极限不存在

　　和数列的极限一样，如果一个函数 $f (x)$ 的某种极限不存在，就说该极限不收敛。但不收敛的情况也有不同的细分。

　　如果在一个极限中，函数值趋于正无穷或负无穷²，则记为

\begin{matrix} (10) & lim_{x \to ◻} f (x) = \pm \infty . \end{matrix}

其中

+ \infty

可以简记为

\infty

。注意术语上不能说该极限存在且等于无穷，因为该极限是不存在的，存在就意味着等号右边是一具体的数。

例 6　

　　式 10 并不是极限不存在的唯一一种情况，例如 $lim_{x \to \pm \infty} \sin x$ 和 $lim_{x \to 0} \sin (1 / x)$ 的极限同样不存在，但不满足式 10 。

1. ^ 对于连续函数，才有 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 。然而，大多数常见的函数都是连续函数，这使得这个问题更具迷惑性
2. ^ 如果要严格定义式 10 ，就用 $δ$ - $ϵ$ 语言，例如：对任意给定的 $A > 0$ 总存在……，当……就有 $f (x) > A$ 。

[1] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed

函数的极限（极简微积分）

1. 引入

例 1

例 2

2. 自变量趋于无穷的极限

定义 1 函数趋于正无穷的极限

习题 1

3. 自变量趋于一点的的极限

定义 2 函数在某点的极限

例 3 简单技巧

左、右极限

定理 1

例 4

某点处函数的极限值与函数值

例 5 可去间断点

4. 极限不存在

例 6

例 1　

例 2　

定义 1　函数趋于正无穷的极限

习题 1　

定义 2　函数在某点的极限

例 3　简单技巧

定理 1　

例 4　

例 5　可去间断点

例 6　