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预备知识 数列的极限（简明微积分）
，充分必要条件
，函数（高中）
1. 引入
我们先看一些简单的例子，以初步了解 “极限” 的概念。
例 1
图 1：$f(x)=\frac{ \sin\left(x\right) }{x}$ 的图像
思考一下 $f(x)=\frac{ \sin\left(x\right) }{x}$ 这一经典函数在原点附近的值。
众所周知，当 $x=0$ 时，由于分母为 $0$，该分数没有意义；但当 $x$ 趋近于 $0$($x=0.1,x=0.01,...$)而不等于 $0$ 时，有趣的事情发生了：如图 1 所示，此时分数的值似乎趋于一个确定的值 $1$.
表1：x 与 f(x)
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$x$ | $0.1$ | $0.01$ | $0.001$
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$f(x)$ | $0.9983$ | $0.99998$ | $0.9999998$
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看起来，尽管我们不能定义 $f(x)$ 在零点处的值，但是我们知道，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$f(x)$ 趋近于 $1$. 因此，我们说 $\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=1$
例 2
图 2：$f(x)=\frac{1}{x}$ 的图像 (x>0)
然后，我们再看看 $f(x)=\frac{1}{x}$ 另一经典函数的图像。我们还是知道，两个正数的商始终大于零；但当 $x$足够大时，$\frac{1}{x}$ 会足够小以至趋于 $0$. 因此，我们说 $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$。
2. 自变量趋于无穷的极限
实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$。类比数列的极限，我们也可以定义函数趋于正无穷的极限。
定义 1 函数趋于正无穷的极限
考虑实函数 $f(x)$。若无论要求 $f(x)$ 和一确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon$ 有多小（但 $\epsilon>0$），都存在 实数 $X$，使得所有 $x>X$ 都满足 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert <\epsilon$，那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限，记为
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A~.
\end{equation}
可以看到该定义和数列极限的定义（定义 1 ）非常相似，只是简单做了替换。不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况。数列的编号只能朝着一个方向增大，但函数的自变量 $x$ 既可以趋近正无穷也可以奔向负无穷，
图 3：对于任意一个 $\epsilon$，都存在对应的 $X$。仿自
[1]
习题 1
请仿照定义 1 给出函数趋于负无穷时极限的定义
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = A~.
\end{equation}
3. 自变量趋于一点的的极限
另外，由于 $x$ 是连续取值的，也可以考察自变量 $x$ 不断趋近某一点 $x_0$ 的极限，即 $x\to x_0$。如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢？只需要取自变量 $x$ 使得二者间的距离 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越来越接近 $0$ 即可。
定义 2 函数在某点的极限
考虑实函数 $f(x)$。若无论要求 $f(x)$ 和确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon>0$ 有多小，都存在一个自变量的取值半径 $\delta>0$，使得对任意满足 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < \delta$ 的实数 $x$，都有 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert <\epsilon$，
那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_0$ 时的极限，记为
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A~.
\end{equation}
图 4：对于任意一个 $\epsilon$，都存在对应的 $\delta$.仿自
[1]
例 3 简单技巧
求一些简单的函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算（如果存在的话），如
\begin{equation}
\lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 ~,\qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34~.
\end{equation}
当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12~.
\end{equation}
如果你想要处理更复杂的极限问题，那你可以参考求极限的一些方法。不过，其中部分方法已经超出了初学者的（以及 “简明微积分” 所意图介绍的）知识范围。
左、右极限
我们还可以区分函数在某点的左极限（left limit）和右极限（right limit）。简而言之就是 $x$ 分别从左边和右边两个方向趋近 $x_0$ 时的极限，具体定义留做思考。左右极限记为
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0^-} f(x) = A_- ~,\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A_+~.
\end{equation}
定理 1
函数在某点存在极限的充分必要条件是它左右极限都存在并相等。
$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A ~.$$
也就是说，若左（或右）极限不存在，或者左右极限存在但不相等，那此处的极限就不存在。
例 4
图 5：函数 $\theta(x)$ 的图像
函数
\begin{equation}
\theta(x) = \left\{\begin{aligned}
0 \qquad (x < 0)\\
1 \qquad (x \ge 0)
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
计算左极限 $\lim_{x\to x_0^-} \theta(x)$ 时，假定 x 从左侧不断接近 $0$($x=-0.1,x=-0.01,...$)，但从不超过（也不等于）$0$。此时总有 $x<0$，因此 $\lim_{x\to x_0^-} \theta(x) = 0$.
同理，$\lim_{x\to x_0^+} \theta(x) = 1~.$
由于左右极限不相同，因此 $\theta(x)$ 在 $x=0$ 处的极限不存在。
某点处函数的极限值与函数值
新手最常犯的错误莫过于过度纠结某处的函数极限值 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 与函数值 $f(x_0)$ 的联系。事实上，这两者之间没有必要的关联1。$f(x_0)$ 可以不等于 $\lim_{x\to x_0} f(x)$，$f(x)$ 甚至可以在 $x_0$ 处没有定义。总之，某处的函数极限值并不依赖于该点处的函数值。
这是因为定义中只考虑 $x$ 慢慢接近 $x_0$ 的过程，而不考虑 $x = x_0$ 的情况。即使我们把这点从函数定义域中挖去，极限是否存在，以及极限值是多少都不会被改变。例如在例 1 与在 “小角极限” 中会看到，虽然 $\sin x/ x$ 在 $x = 0$ 处没有定义，但其极限却等于 $1$。
例 5 可去间断点
图 6：函数 f(x)的图像
函数
\begin{equation}
f(x) = \left\{\begin{aligned}
x \qquad (x \ne 1)\\
1.5 \qquad (x = 1)
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
计算 $\lim_{x\to 1} f(x)$ 时，由于只考虑 $x=1$ 附近的情况、而不考虑 $x=1$ 本身的情况，因此 $\lim_{x\to 1} f(x)$ 的结果与 $f(1)$ 的值无关。在本例中，$\lim_{x\to 1} f(x)=1$, 而 $f(1)=1.5$。
4. 极限的基本性质与运算法则
下面列出一些函数极限的定理，从直觉上来看它们是显然的，证明略，感兴趣的读者可以尝试自己证。
定理 2 极限的四则运算
若两个函数分别存在极限 $\lim_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim_{x\to a} g(x)$（$a$ 可取 $\pm \infty$），那么有
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0)~.
\end{equation}
注意，可以四则运算的前提是参与运算的各个极限均存在。
定理 3 局部保号性、保序性
局部保号性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0\Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x)>0~.
\end{equation}
局部保序性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x)>A/2~.
\end{equation}
$\mathring{U} (x_0)$ 指 $x_0$ 附近的一个小区间，但不包括 $x_0$ 自身，也称去心区间。2
这是一组简单的、但却有点难以理解的结论。在处理一些刁钻的问题时，局部保号、保序性偶尔会派上用场。通俗地说，这意味着若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $x$ 在 $x_0$ 附近时，$f(x)$ 的函数值也会收缩到 $A$ 附近。
图 7：在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 区间内，$f(x)>0$. 仿自
[1]
局部保号性的一个幼稚 “证明”：如图 7 所示（其实就是图 4 ），我们总能取一个 $\varepsilon_1 \in (0,A)$，极限的定义保证了我们总能找到对应的 $\delta_1$。显然，在 $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$ 这个小去心区间3(即 $\mathring{U} ({x_0})$)内，有 $f(x)>0$。
同理，将选取 $\varepsilon$ 的区间改为 $(0,A/2)$，我们就能找到相应的、使 $f(x)>A/2$ 的区间，即说明了局部保序性。原则上，由此可导出更广义的局部保序性，即总存在 $f(x)>A/3,A/4,A/5,...$ 的区间。
1. ^ 对于连续函数，才有 $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$。然而，大多数常见的函数都是连续函数，这使得这个问题更具迷惑性
2. ^ “去心” 这个词让我想到 “比干挖心” 的传说故事
3. ^ 严格来说，或许应该写为 $(x_0-\delta_1,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta_1)$，不过在正文中这么写实在太繁琐了，也不利于把握重点
[1] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed
