自然对数底（极简微积分）

贡献者： addis; Giacomo; 零穹

预备知识　函数的极限，对数函数

　　微积分中有一个重要的极限，叫做自然对数底，或者自然常数，记为¹ $e$ ，它是一个和圆周率 $π$ 类似的无理数，也就是无限不循环小数

\begin{matrix} (1) & e \equiv lim_{n \to \pm \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 2.7182818284590452 \dots \end{matrix}

注意这里的

\pm \infty

表示，

n

既可以趋于正无穷也可以趋于负无穷。该定义我们在极简微积分中不做证明，但可以数值验证一下，见子节 1 。

　　若令 $x = 1 / n$ ，并取连续值，那么该式的一个推论是

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{1 / x} = e \end{matrix}

这么做的好处是考虑

0

点²而不是

+ \infty

处的定义，而且可以定义在整个实数轴上（

x \neq - 1

），方便作图；坏处是用到了 “开

x

次方” 这种较为复杂运算。

　　我们把以 $e$ 为底的对数函数 $\log_{e} x$ 叫做自然对数函数，记为 $\ln x$ 或者直接用 $\log x$ 。

　　为什么说自然对数底是 “自然” 的呢？我们来看一些例子：

例 1　银行复利

　　如果一笔数量为 $x$ 的钱存入某银行后，银行的年利率是 $λ$ ，那么一年后取出来连本带利共得 $(1 + λ) x$ 。假设银行规定，在 $t$ 年时（ $t$ 取任意正实数）取出来，则利率按照 $λ t$ 来计算。例如半年取出共得 $(1 + λ / 2) x$ ，若取出立刻存入，再过半年连本带利为

\begin{matrix} (3) & (1 + λ / 2)^{2} x = (1 + λ + λ^{2} / 4) x > (1 + λ) x . \end{matrix}

比直接存一年要多。可以证明，存取越频繁，一年的总利息就越多，简单来说这是因为充分地进行了 “利滚利”，也就是复利。

　　如果不停地存取，且每次存取间隔时间取极限 $Δ t \to 0$ ，那么 $t$ 年后连本带利的极限是多少呢（ $t$ 取 $Δ t$ 的整数倍）？首先 $t$ 年后存取的次数为 $t / Δ t$ ，利用式 6 得

\begin{matrix} (4) & x_{t} = lim_{Δ t \to 0} (1 + λ Δ t)^{t / Δ t} x = {[lim_{Δ t \to 0} (1 + λ Δ t)^{1 / (λ Δ t)}]}^{λ t} x = e^{λ t} x, \end{matrix}

这样自然对数底就 “自然” 地出现了。

　　现实中，活期利息几乎都是按照 $e^{λ t}$ 来计算的，这就可以避免不必要的存取。注意这时的实际年利率（ $t = 1$ ）就是 $e^{λ} - 1$ 而不是 $λ$ 。

　　 拓展知识：以后在泰勒展开中会看到

\begin{matrix} (5) & e^{λ} = 1 + λ + \frac{λ^{2}}{2!} + \frac{λ^{3}}{3!} + \dots \end{matrix}

且当

λ \to 0

时，

e^{λ} - 1 \approx λ

。

　　另一个彩票的例子见例 1 。

1. 数值验证

　　这里可以用数值的方法验证式 2 ，首先我们可以画出 $(1 + x)^{1 / x}$ 在原点附近的函数图，注意当 $x = - 1$ 时，该函数无定义，但这并不妨碍极限的存在。可以看到，无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点（即左极限和右极限），结果都相等。

图 1：

(1 + x)^{1 / x}

的函数图

　　也可以用表 1 数值计算验证式 1 中的 $n \to + \infty$ 极限。

表1：极限

e

数值验证（保留 6 位有效数字）

$n$	$10^{1}$	$10^{2}$	$10^{3}$	$10^{4}$	$10^{5}$	$10^{6}$
$(1 + 1 / n)^{n}$	$2.59374$	$2.70481$	$2.71692$	$2.71815$	$2.71827$	$2.71828$

2. 一些推论

　　令 $k$ 为任意自然数，可以把式 1 拓展得

\begin{matrix} (6) & lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{k}{n})}^{\frac{n}{k}} = e ⟹ lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{k}{n})}^{n} = e^{k} . \end{matrix}

当

k = - 1

时得

\begin{matrix} (7) & lim_{n \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n} = \frac{1}{e} = 0.36787944117144232 \dots \end{matrix}

3. 拓展

　　 $e$ 也可以用无穷级数定义为（式中感叹号表示阶乘，例如 $3! = 1 \times 2 \times 3$ ）。

\begin{matrix} (8) & e \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots, \end{matrix}

1. ^ 为了与其他变量区分，小时百科使用正体字母表示自然对数底。
2. ^ 注意这里没有指定 $x \to 0$ 的方向，实际上无论 $x$ 正数或负数该式都成立。

自然对数底（极简微积分）

例 1 银行复利

1. 数值验证

2. 一些推论

3. 拓展

例 1　银行复利