贡献者： 叶月2_; JierPeter
未完成：需要证明 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\to T_I\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})\to\operatorname{Lie}(\operatorname{GL}(n,\mathbb{R}))$ 给出同构关系
1. 光滑向量场
未完成：这个话题应该移动到更相关的位置；需新增覆叠映射词条
我们先回顾光滑向量场的两条性质。
引理 1 提升映射与向量场的交换性
设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}(M)$ 和光滑向量场 $X\in\mathfrak{X}(M)$，都有：
\begin{equation}
(Xf)\circ F^{-1}=F_*(X)(f\circ F^{-1})~,
\end{equation}
其中 $F_*:TM\to TN$ 是 $F$ 的微分，或称为切映射，前推映射。
引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出。
未完成：引用流形上的李括号的定义
引理 2 微分和李括号的交换性
设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$，有 $F_*([X, Y])=[F_*(X), F_*(Y)]$。
证明：
我们只需要证明 $F_*(XY)(f\circ F^{-1})=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})$ 对于任意 $f\in C^{\infty}(M)$ 成立即可。
由引理 1 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_*(XY)(f\circ F^{-1})&=(XYf)\circ F^{-1}\\
&=F_*(X)(Yf\circ F^{-1})\\
&=F_*(X)(F_*(Y)(f\circ F^{-1}))\\
&=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
2. 李群上的左不变向量场
定义 1 左不变向量场
给定李群 $G$，对于任意 $g\in G$，定义映射 $l_g:G\to G$ 为左平移映射，即对于任意 $p\in G$，都有 $l_g(p)=gp$。
根据李群的定义，$l_g$ 是一个光滑映射，因此可以求其微分 $l_{g*}:TG\to TG$，该微分把一个 $p\in G$ 处的切向量映射为 $gp$ 处的切向量。
如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$1，使得对于任意$g\in G$，都有 $l_{g*}(X_p)=X_{gp}$；换句话说，就是 $l_{g*}(X)=X$，那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场（left-invariant tangent vector field）。
定义 1 已经直白地说明了，一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_e$ 决定的，即 $X_p=l_{p*}(X_e)$。同时，任意给定 $X_e$，都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$。这样，左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定，单位元就好像存储了全息信息一样，局部就可以描述整体。
证明：
思路是证明 $X$ 在任意图中都是光滑的。考虑左不变场的性质，只需要证明在某一个图中的情况即可，其它图中可以进行类比2。证明的核心是李群中群运算导出光滑映射。
考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$。由式 1 ，$X$ 完全由 $X_p$ 决定。设在某图 $\phi: G\to\mathbb{R}^n$ 中，$\phi^*(X)_{\phi(e)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(c(t))$，其中 $c(t)$ 是 $I\to G$ 的光滑映射，且 $c(0)=e$，则
\begin{equation}
\phi^*(X)_{\phi(p)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(p\cdot c(t))~.
\end{equation}
由李群的定义，$p\cdot c(t)$ 是 $G\times I\to G$ 的光滑映射3。不过这一条不重要。
这个才是重要的：把自变量改为 $\phi(p)$ 和 $t$，令 $g(x, y)=x\cdot y$ 为 $G\times G\to G$ 的光滑映射，则4
\begin{equation}
\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))=g\circ(\phi^{-1}\times c)~
\end{equation}
为 $\mathbb{R}^n\times I\to G$ 的光滑映射。
因此，$\phi(p\cdot c(t))=\phi[\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))]$ 是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。
因此式 3 是光滑映射的导函数，故是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。即，$\phi^*(X)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场。
故 $X$ 是 $\phi^{-1}(\mathbb{R}^n)$ 上的光滑向量场，进而 $X$ 是 $G$ 上的光滑向量场。
证毕。
接下来这条性质是引入李代数的关键。
习题 1
如果 $X, Y$ 是左不变切向量场，那么 $[X, Y]=XY-YX$ 也是。
利用引理 2 ，取左平移映射为所用的微分同胚，证明这一点。
3. 李群的李代数
前两节的结论让我们知道了如下事实：李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合，$L(G)$，构成了光滑向量场 $\mathfrak{X}(G)$ 的一个子线性空间。同时，由于左不变切向量场可以被局部描述，我们可以通过单位元上的切空间 $T_eG$ 来描述 $L(G)$；换句话说，$T_eG$ 和 $L(G)$ 是同构的。
定义 2 李群的李代数
令 $X, Y\in L(G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场，任取 $p\in G$。定义 $X_p, Y_p\in T_pG$ 的李括号为
\begin{equation}
[X_p, Y_p]=[X, Y]_p~.
\end{equation}
可以代入切场计算得证，这样定义的李括号具有双线性和 Jacobi 结合性。由习题 1 可知，李括号运算对左不变切场是封闭的，因此 $T_p G$ 是一个李代数，即
李群的李代数。由于左不变切场同构于切空间，且 $l_p^*(X_q)=X_{pq}$，因此无论 $p$ 点取何值，都不改变左不变切场之间的李代数关系。一般我们用 $ \operatorname {Lie}(G)$ 表示李群上全体左不变切场构成的李代数。
定理 2 复李群的复李代数
复李群定义 3 的李代数是复李代数。
例 1 矩阵李群的李代数
设 $M(n,\mathbb R)$ 是一个 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶矩阵李群，同时也可视作一个李代数，李括号由矩阵乘法导出。可以证明其李代数 $\mathfrak gl(n,R)$ 同构于 $ \operatorname {Lie}GL(n,\mathbb R)$。
\begin{equation}
\mathfrak gl(n,\mathbb R) = \{ \mathcal{X} \mid \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}\in GL(n,\mathbb R), \forall t\in\mathbb{R} \}~.
\end{equation}
这个李代数可以直接理解为单位元 $e$ 处的切空间。
事实上，$ \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}$ 可对应由切向量 $\mathcal{X}\in \operatorname {T}_e GL(n,\mathbb R)$ 生成的左不变切向量场的积分曲线。
常见李群的李代数
在物理上，除了一般线性群 $GL(n,\mathbb R)$，我们还经常用到特殊正交群 $SO(n)$ 及特殊酉群 $SU(n)$。下面简单推导它们的李代数。
由于 $SO(n)$ 是 $GL(n,\mathbb R)$ 的子流形，因此把李代数视作单位元的切空间时，前者的李代数 $\mathfrak {so}(n,\mathbb R)$5亦是后者 $\mathfrak gl(n,\mathbb R)$ 的子集。设任意 $X\in \mathfrak {so}(n,\mathbb R)$，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \mathrm{e} ^{X})^T&= \mathrm{e} ^{X^T}=( \mathrm{e} ^{X})^{-1}= \mathrm{e} ^{-X}\\
~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $\mathfrak {so}(n,\mathbb R)$ 由
n 阶实反对称矩阵构成。对于三维实正交矩阵，常约定李代数的基为
\begin{equation}J_1= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix} ,\quad J_2= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix} ,\quad J_3= \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} ~,\end{equation}
读者可验证，上述基的线性组合确实能导出所有的 n 阶实反对称矩阵。$\{c_i(t)= \mathrm{e} ^{tX_i}\mid t\in \mathbb R\}$ 为 $SO(n)$ 的光滑曲线，分别代表绕 $x,y,z$ 轴的旋转，$t$ 为对应的旋转角，这可以通过指数函数的级数展开来验证。比如验证
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} J_3}= \begin{pmatrix}\cos t&-\sin t&0\\\sin t&\cos t&0\\0&0&1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
于是，我们可以得到基的李括号关系：
\begin{equation}
[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k~.
\end{equation}
同样地，我们利用指数映射来观察 $\mathfrak {su}(n,\mathbb R)$ 的结构。首先设任意 $Y\in \mathfrak {su}(n,\mathbb R)$，利用 $SU(n,\mathbb R)$ 的定义得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \mathrm{e} ^Y)^{\dagger}&= \mathrm{e} ^{Y^{\dagger}}= \mathrm{e} ^{-Y}\\
\operatorname {det} \mathrm{e} ^{Y}&= \mathrm{e} ^{ \operatorname {Tr}Y}=1\\
~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是 $n$ 阶
无迹反厄米矩阵构成 $\mathfrak {su}(n,\mathbb R)$。以二维为例，无迹反厄米矩阵的一般形式为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a \mathrm{i} &b+c \mathrm{i} \\-b+c \mathrm{i} &-a \mathrm{i} \end{pmatrix} ,\quad\forall a,b,c\in \mathbb R~.
\end{equation}
因此，$\mathfrak su(2,\mathbb R)$ 的基为
\begin{equation}
J'_1= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} ,\quad J'_2= \begin{pmatrix}0& \mathrm{i} \\ \mathrm{i} &0\end{pmatrix} ,\quad J'_3= \begin{pmatrix} \mathrm{i} &0\\0&- \mathrm{i} \end{pmatrix} ~.
\end{equation}
相应的，我们可以得到李括号关系为
\begin{equation}
[J'_i,J'_j]=2\epsilon_{ijk} J'_k~.
\end{equation}
为了表示起来更加简洁，重定义李代数的基，使得 $S_i=1/2J'_i$，可以得到与
式 10 相同的李括号关系。
\begin{equation}
[S_i,S_j]=\epsilon_{ijk} S_k~.
\end{equation}
可见，$SU(2)$ 与 $SO(3)$ 有同构的李代数。
在物理上，为了让以上李代数的基有物理意义，通常乘以 $- \mathrm{i} $，使得结果为厄米矩阵，比如此时式 13 便变为泡利矩阵。同时指数映射为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t X}$。
4. 诱导的李代数同态
如果 $G,H$ 都是李群，且有李群同态关系 $f:G\to H$，那么 $f_*$ 可以诱导李群上的李代数同态。
定理 3
设 $ \operatorname {Lie}G=\mathfrak g, \operatorname {Lie}H=\mathfrak h$，且 $f:G\to H$ 是李群同态。对于任意 $X\in \mathfrak g$，都有唯一 $Y\in \mathfrak h$ 与之 $f-$ 关联。进而 $f_*:\mathfrak g\to h$ 是李代数同态。
证明：
对于任意 $X_e$，我们有 $Y_e=f_*X_e$。利用左平移映射的切映射，延拓 $Y_e$ 为左不变切向量场，即定义里的 $Y_p=l_{p*}Y_e$。接下来我们只需证明 $Y$ 确实与 $X$ 有 $f$ 关联即可。
由李群同态关系得
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(g_1g_2)&=f(g_1)f(g_2)\\
f\circ l_{g_1}(g_2)&=l_{f(g_1)}\circ f(g_2)~,
\end{aligned}
\end{equation}
则 $f_*\circ l_{g*}=l_{f(g)*}\circ f_*$。
又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_*X_p&=f_*\circ l_{p*}X_e\\
&=l_{f(p)*}\circ f_*X_e\\
&=Y_{f(p)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以 $Y$ 与 $X$ 有 $f-$ 关联。定理的第一部分得证。
接下来证明，若任意 $Y_i,Y_j\in \mathfrak{X}(H)$ 与任意 $X_i,X_j\in \mathfrak{X}(G)$ 分别有 $f$ 关联，即 $f_*X_i=Y_i$，则对应李括号也有 $f$ 关联，满足 $f_*[X_i,X_j]=[f_*X_i,f_*X_j]=[Y_i,Y_j]$。
设 $h\in C^{\infty} (H)$，由定理 1 得，
\begin{equation}
\begin{aligned}
(f_*[X_1,X_2])h&=[X_1,X_2](h\circ f)\\
&=(X_1X_2-X_2X_1)(h\circ f)\\
&=X_1(Y_2h)\circ f-X_2(Y_1h)\circ f\\
&=([Y_1,Y_2]h)\circ f~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，$[X_i,X_j]$ 与 $[Y_i,Y_j]$ 有 $f-$ 关联。代入我们定理中的情况，便是李代数同态关系。定理第二部分得证。
推论 1
设 $G,H$ 都是李群，且存在覆叠同态：$F:G\to H$，那么 $F_*: \operatorname {Lie}G\to \operatorname {Lie}H$ 是同构。
例 2
$\mathfrak {su}(2)\oplus \mathfrak {su}(2)\cong \mathfrak{so}(4)$
由推论 1 和定理 2 可证。
1. ^ 注意，只要求是切向量场，没有要求连续性，更没有要求光滑性。但是稍后我们会看到，所谓的左不变向量场必然是光滑的。
2. ^ 这是因为如果 $pq=s$，那么 $l_{s}=l_pl_q$。这样一来，左不变场的性质可以由任何一点 $p$ 处的值完全确定，从而任何一个图中的情况都可以类比到其它图中。
3. ^ $c$ 是 $I\to G$ 的光滑映射，因此可以构造 $G\times I\to G\times G$ 的光滑映射 $f(x, t)=(x, c(t))$。由李群的定义，$g(x, y)=x\cdot y$ 是 $G\times G\to G$ 的光滑映射。这样一来，$p\cdot c(t)=g(f(p, t))=g\circ f$ 就是光滑映射的复合，因而也光滑。
4. ^ 映射的乘积定义参见定义 8
5. ^ $\mathbb R$ 表示基的线性组合是实系数，以区别复化的李代数。