贡献者： 叶月2_; addis
1. 对向量场作用
区别于仿射联络，李导数（Lie derivative）$\mathcal{L}:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$ 是对向量场微分的另一种思路。
定义 1
设 $V,W$ 为 $M$ 上的任意光滑向量场，令 $\theta_t:M_t\rightarrow M$ 为 $V$ 的流，定义 $W$ 关于 $V$ 的李导数为
\begin{equation}(\mathcal{L}_VW)_p=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\theta_{-t})_*W_{\theta_t(p)}=\lim_{t\to0}\frac{(\theta_{-t})_*W_{\theta_t(p)}-W_p}{t}~.\end{equation}
由前推定义可知，$\theta_{t*}W_q\in T_{\theta_t(q)}M$，因而 $(\theta_{-t})_*W_{\theta_t(p)}\in T_p M$，所以该定义是合理的，我们利用前推得到了同一切空间的两个向量并进行微分。
其次，我们可以证明 $(\mathcal{L}_VW)_p=[V,W]_p$，因李括号将两个光滑切场映射为光滑切场，从而可知李导数亦然如此，即 $p\mapsto(\mathcal{L}_VW)_p$ 是光滑切场。结合李括号和前推的性质，我们有：
定理 1
- $\mathcal{L}_VW=-\mathcal{L}_WV.$
- 如果 $F:M\rightarrow N$ 是微分同胚，则 $F_*(\mathcal{L}_VW)=\mathcal{L}_{F_*V}F_*W.$
在这里，我们只证明最后一条，即 $F_*[V,W]_{p}=[F_*V,F_*W]|_{F(p)}$。
由于 $F$ 是微分同胚，那么对于任意 $X\in \mathcal J(M)$，我们都可以在 $N$ 上找到唯一的向量场与之关联。因此我们可以设 $Y_i=F_*X_i\in \mathcal J(N),f\in C^{\infty}N$，那么我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_*[X_1,X_2]f&=[X_1,X_2](f\circ F)\\
&=(X_1X_2-X_2X_1)f\circ F~,
\end{aligned}
\end{equation}
又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
(X_1X_2)(f\circ F)&=X_1[(Y_2f)\circ F]\\
&=(Y_1Y_2f)\circ F~,
\end{aligned}
\end{equation}
同理可得：$(X_2X_1)(f\circ F)=(Y_2Y_1f)\circ F$。
代入
式 2 便得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_*[X_1,X_2]f&=(Y_1Y_2f-Y_2Y_1f)\circ F\\
&=([Y_1,Y_2]f)\circ F=([Y_1,Y_2]f)|_{F(p)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
定理得证。
2. 对张量场作用
同样设 $\theta$ 是光滑切场 $X$ 的流，对于任意 $p\in M$，$\theta_t$ 是 $p$ 点附近一邻域与 $\theta_t(p)$ 附近一邻域的微分同胚——这意味着前推和拉回都是有意义的。于是根据拉回对张量场的定义可知，若设 $\tau$ 是 $k$ 阶张量场，则 $(\theta_t^*\tau)_p=\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}$，依然得到 $p$ 点上的一个 $k$ 阶张量场。因此我们可以定义 $\tau$ 关于 $X$ 的李导数为：
\begin{equation}
\left(\mathcal{L}_X \tau\right)_p=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}\left(\theta_t^* \tau\right)_p=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\theta_t^* \tau_{\theta_t(p)}-\tau_p}{t}~.
\end{equation}
可以证明，李导数对光滑张量场作用，依然得到光滑张量场。
接下来，我们罗列一些李导数的常见性质。
定理 2
在光滑流形 $M$ 上讨论。设 $\sigma,\tau$ 为协变张量场，$f$ 为光滑函数，$\omega,\eta$ 为微分形式，$X,Y_i$ 是光滑向量场。
- $\mathcal{L}_X f=X f$.
- $\mathcal{L}_X(f \sigma)=\left(\mathcal{L}_X f\right) \sigma+f \mathcal{L}_X \sigma$.
- $\mathcal{L}_X(\sigma \otimes \tau)=\left(\mathcal{L}_X \sigma\right) \otimes \tau+\sigma \otimes \mathcal{L}_X \tau$.
- $\mathcal{L}_X(\omega \wedge \eta)=\mathcal{L}_X \omega \wedge \eta+\omega \wedge \mathcal{L}_X \eta$.
- $\left.\left.\left.\mathcal{L}_X(Y\lrcorner \omega\right)=\left(\mathcal{L}_X Y\right)\right\lrcorner \eta+Y\right\lrcorner \mathcal{L}_X \omega$.
- 设 $Y_1, \ldots, Y_k$ 是光滑向量场，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L}_X\left(\sigma \left(Y_1, \ldots,\right.\right. & \left.\left.Y_k\right)\right)=\left(\mathcal{L}_X \sigma\right)\left(Y_1, \ldots, Y_k\right) \\
& +\sigma\left(\mathcal{L}_X Y_1, \ldots, Y_k\right)+\cdots+\sigma\left(Y_1, \ldots, \mathcal{L}_X Y_k\right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
证明：
$f$ 可看作 $0$ 阶张量场，因此其李导数亦可使用本节定义，
\begin{equation}
\left(\mathcal{L}_X f\right)_p=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}\left(\theta_t^* f\right)_p=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}(f\circ\theta_t(p))=X_pf~.
\end{equation}
最后一个等号来自于 $X$ 是 $\theta$ 最小生成元的定义。
$3-5$ 条可视作李导数的莱布尼兹律，在这里只证第三条，，其余同理可得。
\begin{equation}\begin{aligned}
(\mathcal{L}_X(\sigma\otimes\tau))_p& =\lim_{t\to0}\frac{\theta_t^*(\sigma\otimes\tau)_{\theta_t(p)}-(\sigma\otimes\tau)_p}t \\
&=\lim_{t\to0}\frac{\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}\otimes\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}-\sigma_p\otimes\tau_p}t \\
&=\lim_{t\to0}\frac{\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}\otimes\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}-\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}\otimes\tau_p}t \\
&+\lim_{t\to0}\frac{\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}\otimes\tau_p-\sigma_p\otimes\tau_p}t \\
&=\lim_{t\to0}\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}\otimes\frac{\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}-\tau_p}t+\lim_{t\to0}\frac{\theta_t^*\sigma_{\theta_t(p)}-\sigma_p}t\otimes\tau_p \\
&=\sigma_{p}\otimes(\mathcal{L}_{X}\tau)_{p}+(\mathcal{L}_{X}\sigma)_{p}\otimes\tau_{p}~.
\end{aligned}\end{equation}
定理 3
设 $f \in C^{\infty}(M)$，则 $ \mathcal{L}_X( \,\mathrm{d}{f} )= \,\mathrm{d}\left(\mathcal{L} _X f \right) $
$ \,\mathrm{d}{f} $ 是一阶张量场，因此我们可以利用定理 2 第六条。两边作用在任意光滑向量场 $Y$ 上，得
\begin{equation}
\mathcal (L_X \,\mathrm{d}{f} )(Y)=X( \,\mathrm{d}{f} (Y))- \,\mathrm{d}{f} ([X,Y])~.
\end{equation}
并利用余切场的定义，即 $ \,\mathrm{d}{f} (X)\equiv Xf$，代入上式得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
X( \,\mathrm{d}{f} (Y))- \,\mathrm{d}{f} ([X,Y])&=XYf-(XY-YX)f\\
&=YXf= \,\mathrm{d}\left(Xf \right) (Y)\\
&= \,\mathrm{d}\left(\mathcal L_Xf \right) (Y)~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此得证。
3. 对微分形式作用
尽管我们可以利用式 6 第六条来得到李导数对微分形式的作用结果，然而其成本是不可忽视的。对于任意 $p\in M$，我们需要引入定义在该点邻域的数个向量场 $(Y_1,Y_2...Y_k)$，还要算得微分形式的作用结果。为了避免这样的麻烦，本节介绍一个便携的计算方法。
定理 4
设 $X$ 为流形 $M$ 上的任意矢量场，$\omega$ 是 $k$ 微分形式。那么我们有
\begin{equation}
\mathcal L_X\omega=i_X( \,\mathrm{d}{\omega} )+ \,\mathrm{d}\left(i_X\omega \right) ~.
\end{equation}
证明：
利用数学归纳法可以证明该结论。假设 $\omega$ 为 $n$ 形式。
当 $n=0$，设 $\omega=f$，$f$ 为光滑函数。根据缩并定义可知，$i_X(df)=Xf$。所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
i_X( \,\mathrm{d}{\omega} )+ \,\mathrm{d}\left(i_X\omega \right) &=Xf+ \,\mathrm{d}\left(i_Xf \right) \\
&=Xf=\mathcal L_Xf~.
\end{aligned}
\end{equation}
当 $n=1$ 时，$\omega=\sum_i u_i \,\mathrm{d}{v} _i$，其中 $u,v$ 为任意函数。由于算符 $ \,\mathrm{d}{,} \mathcal L_X,i_X$ 都是线性映射，因此只要证明对任意 $u \,\mathrm{d}{v} $ 成立即可。
分别计算后，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
i_X( \,\mathrm{d}{\omega} )&=i_X( \,\mathrm{d}\left(u \,\mathrm{d}{v} \right) )=i_X( \,\mathrm{d}{u} \wedge \,\mathrm{d}{v} )\\
&=i_X( \,\mathrm{d}{u} )\wedge \,\mathrm{d}{v} - \,\mathrm{d}{u} i_X( \,\mathrm{d}{v} )\\
&=(Xu) \,\mathrm{d}{v} -(Xv) \,\mathrm{d}{u} \\
\,\mathrm{d}\left(i_X\omega \right) &= \,\mathrm{d}\left(i_X(u \,\mathrm{d}{v} ) \right) \\
&= \,\mathrm{d}\left(ui_X \,\mathrm{d}{v} \right) = \,\mathrm{d}{u} (Xv)+u \,\mathrm{d}\left(Xv \right) \\
\mathcal L_X(u \,\mathrm{d}{v} )&=Xu \,\mathrm{d}{v} +u \,\mathrm{d}\left(Xv \right) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
代入
式 11 显然成立。
假设定理对 $1< n< k$ 成立，且 $\omega=\sum_{I}\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^{i_1}\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_2}...\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_k}$。那么可以设 $\alpha=\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^{i_1},\beta= \,\mathrm{d}{x} ^{i_2}\wedge...\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_k}$，则 $\omega=\sum_I\alpha\wedge\beta$。只需要证明定理对其中一个排列成立即可。下面为表示方便，用 $X\lrcorner$ 来表示缩并。利用 $ \,\mathrm{d}{,} \mathcal L$ 和缩并算符的性质，我们可以得到：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal L_X\omega&=L_X(\alpha\wedge\beta)\\
&=(L_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge (\mathcal L_X\beta)\\
&=(X\lrcorner( \,\mathrm{d}{\alpha} )+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\alpha \right) )\wedge\beta+\alpha\wedge(X\lrcorner( \,\mathrm{d}{\beta} )+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\beta \right) )\\
&=[X\lrcorner( \,\mathrm{d}{\alpha} )+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\alpha \right) ]\wedge\beta+\alpha\wedge[X\lrcorner( \,\mathrm{d}{\beta} )+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\beta \right) ]~.
\end{aligned}
\end{equation}
另有把 $\omega=\alpha\wedge\beta$ 看作一个整体，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal L_X\omega&=L_X(\alpha\wedge\beta)\\
&=X\lrcorner( \,\mathrm{d}{\alpha} \wedge\beta-\alpha\wedge \,\mathrm{d}{\beta} )+ \,\mathrm{d}{(X\lrcorner\alpha)\wedge\beta-\alpha\wedge(X\lrcorner\beta)} )\\
&=(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\alpha} )\beta+ \,\mathrm{d}{\alpha} \wedge(X\lrcorner\beta)-(X\lrcorner\alpha)\wedge \,\mathrm{d}{\beta} +\alpha\wedge(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\beta} )\\
&+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\alpha \right) \wedge\beta+(X\lrcorner\alpha)\wedge \,\mathrm{d}{\beta} - \,\mathrm{d}{\alpha} \wedge(X\lrcorner\beta)+\alpha\wedge \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\beta \right) =(14)~,
\end{aligned}
\end{equation}
得证。
推论 1
设 $X$ 是光滑向量场，$\omega$ 是 $k$ 形式，则
\begin{equation}
\mathcal L_X( \,\mathrm{d}{\omega} )= \,\mathrm{d}\left(\mathcal L_X\omega \right) ~.
\end{equation}
证明：
代入式 11 ，我们得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}\left(\mathcal L_X\omega \right) &= \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\omega} + \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner\omega \right) \right) \\
&= \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\omega} \right) \\
\mathcal L_X \,\mathrm{d}{\omega} &=X\lrcorner \,\mathrm{d}{ \,\mathrm{d}{}} \omega+ \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\omega} \right) \\
&= \,\mathrm{d}\left(X\lrcorner \,\mathrm{d}{\omega} \right) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此得证。
至此，利用上述结论，我们可以简便地计算微分形式的李导数，不再需要引入向量场并计算微分形式和向量场作用的结果。
4. Killing 方程
依旧默认 $X$ 为光滑向量场而 $\tau$ 是光滑张量场。由李导数对张量场作用的定义可知，若 $\tau$ 在 $X$ 的积分曲线流下不变，即 $\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}=\tau_p$，则张量场关于 $X$ 的李导数不变。实际上反向也是成立的。
定理 5
$X$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑切场。任意光滑张量场 $\tau$ 在 $X$ 的流下不变当且仅当 $\mathcal L_X\tau=0$。
可以这样理解，设被李导数作用后的张量场为 $\xi$，则对于任意 $p\in M$，$\xi_p=\tau_p=\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}$。
最常见的张量场是度规张量 $g$，若度规张量在某光滑向量场下不变，我们便把该光滑向量场称作 $Killing$ 矢量场。$Killing$ 方程是等价于 $\mathcal L_X\tau=0$ 的若干方程。
- $Xg_{ij}+g_{jk}\frac{\partial X^k}{\partial x^i}+g_{ik}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}=0$。
因为 $g=g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j$，利用式 16 ，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal L_X g&=(\mathcal L_Xg_{ij}) \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+
g_{ij}(\mathcal L_X \,\mathrm{d}{x} ^i)\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \mathcal L_X \,\mathrm{d}{x} ^j\\
&= Xg_{ij}+g_{ij} \,\mathrm{d}{X} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{X} ^j\\
&=Xg_{ij}+g_{kj} \frac{\partial X^k}{\partial x^i} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ik} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \frac{\partial X^k}{\partial x^j} \,\mathrm{d}{x} ^j\\
&=(Xg_{ij}+g_{jk} \frac{\partial X^k}{\partial x^i} +g_{ik} \frac{\partial X^k}{\partial x^j} ) \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j~.
\end{aligned}
\end{equation}
- $(\nabla_iX)_j+(\nabla_j X)_i=0$
- 对于任意向量 $Y,Z$ 有 $g\left(\nabla_YX,Z\right)+g\left(Y,\nabla_ZX\right)=0$。