贡献者： 叶月2_
赋予流形以联络，便可以比较同一流形上不同点的切向量 “大小”。那对于不同流形，我们能否找到一个定义去联系同一点上的不同切空间呢？
1. 前推
定义 1 前推
设 $M,N$ 都是光滑流形。$f,g\in C^{\infty}(N)$。对任意 $p\in M,\,F:M\rightarrow N$ 为光滑映射。定义 $F_*:T_p M\rightarrow T_{F(p)N}$ 为
\begin{equation}
(F_*X)(f)=X(f\circ F)~,
\end{equation}
称之为与 $F$ 关联的
前推（push-forward）。
可记忆前推是顺着光滑映射的方向对切向量进行转移，在 $M$ 上 $p$ 点的切空间与 $N$ 上 $F(p)$ 点的切空间建立关联。这样的定义是合理的，$F_*X$ 确实是一个切向量，满足导子的性质：
\begin{equation}
\begin{aligned}
(F_*X)(fg)&=X((fg)\circ F)\\
&=X(f\circ F)(g\circ F)\\
&=(g\circ F)X(f\circ F(p))+(f\circ F)X(g\circ F(p))\\
&=g(F)F_*X(f)+f(F)F_*X(g)~.
\end{aligned}
\end{equation}
易证前推具有如下性质：
引理 1
令 $F:M\rightarrow N$ 与 $G:N\rightarrow P$ 都是光滑映射。且有 $p\in M$。那么我们有：
- $F_*:T_P M\rightarrow T_{F(p)}N$ 是线性的。
- $(G\circ F)_*=G_*\circ F_*:T_p M\rightarrow T_{G\circ F(p)}P$
- $(Id_M)_*=Id_{T_p M}:T_p M\rightarrow T_p M$
- 若 $F$ 是微分同胚，那么前推：$F_*: T_p M\rightarrow T_{F(p)}N$ 是同构映射。
2. 前推的应用
流形上的切空间
令 $(U,\phi)$ 是 $M$ 上的光滑坐标卡，也就是说 $\phi$ 是双向光滑的微分同胚映射。因此，$\phi_*:T_p M\rightarrow T_{\phi(p)}R^n$ 是同构映射。那么我们可以利用前推来定义该坐标卡上每一点切空间的 basis：
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p=\phi^{-1}_* (\frac{\partial}{\partial x^i})\bigg|_{\phi(p)}~.
\end{equation}
设 $\{\widetilde{e_i}\}$ 为 $U$ 上 $p$ 点的切空间基矢，对应 $\phi (U)$ 上切空间的基矢 $\{{e_i}\}$，并设 $f\in C^{\infty}(U)$，那么我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\widetilde e_i f=\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p f&= (\frac{\partial}{\partial x^i})\bigg|_{\phi(p)}(f\circ \phi^{-1})\\
&=e_i\hat f(\hat p)~.
\end{aligned}
\end{equation}
可见，固定一个图，则流形上该点切空间的基矢定义与光滑函数的定义是自洽的。称 $\hat f=f\circ \phi^{-1}$ 为光滑函数 $f$ 的坐标表示，$\hat p=\phi (p)$ 为 $p$ 点的坐标表示，一个函数在某个图光滑等价于在 “表示” 里光滑。
习题 1
设 $U\subset R^n$，基矢组为 $\{e_i\}$，任意坐标表示为 $(x^1,x^2...x^n)$。另有 $V\subset R^m$，基矢组为 $\{ \theta_i\}$，对应坐标表示 $(y^1,y^2...y^m)$。设 $F:U\rightarrow V$ 是光滑映射，$f$ 是 $V$ 上的光滑函数。证明：
\begin{equation}
(F_* e_i)f=(\frac{\partial F^j}{\partial x^i}(p)\theta_j)f~.
\end{equation}
切空间是线性空间，因此可以通过过渡矩阵来进行坐标变换。那不同图上同一点的切空间是否也存在一个过渡矩阵，建立不同基矢组的联系？答案是肯定的。
具体来说，设 $(U,\phi),(V,\psi)$ 是 $M$ 上相容的图。$\{\widetilde e_i\}$ 与 $\{\widetilde \theta_i\}$ 分别是 $U$ 和 $V$ 上切空间的基矢，且图上的坐标分别为 $\phi(p)=(x^1,x^2...),\psi(p)=(y^1,y^2...y^n)$。则 $\phi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\rightarrow\phi(U\cap V)$ 是光滑的。又设该转移映射的坐标表示为
\begin{equation}
\phi\circ \psi^{-1}(y)=(x'^1,x'^2...x'^n)~,
\end{equation}
对于 $p\in U\cap V$，我们有：$\widetilde\theta_i|_p=T^j_i \widetilde e_j|_p$，$T^j_i$ 是光滑函数构成的过渡矩阵。该假设是合理的，切向量作为道路等价类，无论在什么图里，作用在光滑函数上都会得到相同的结果，即 $Xf=a^i\widetilde e_if=b^i\widetilde \theta_i f$。从特例如习题一来看，切空间基矢的前推有雅克比矩阵表示，矩阵元便是光滑函数。
两边作用在 $\phi(p)$ 上，利用 $e_ix^k=\delta^k_i$，计算分量得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^j_i e_j x^k&=\theta_i (\phi^k\circ \psi^{-1}(y))\\
T^k_i&=\frac{\partial x'^{k}}{\partial y^i}~.
\end{aligned}
\end{equation}
从推导中我们也可以看到，实际上 $e_j,x^k$ 都是包含转移函数的形式。设 $x'=\phi\circ\psi^{-1}$，
严谨的推导如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial}{\partial y^i}\right|_p & =\left.\left(\psi^{-1}\right)_* \frac{\partial}{\partial y^i}\right|_{\psi(p)} \\
& =\left.\left(\phi^{-1}\right)_*\left(\phi \circ \psi^{-1}\right)_* \frac{\partial}{\partial y^i}\right|_{\psi(p)} \\
& =\left.\left(\phi^{-1}\right)_* \frac{\partial x'^j}{\partial y^i}(\psi(p)) \frac{\partial}{\partial x'^j}\right|_{\phi(p)} \\
& =\left.\frac{\partial x'^j}{\partial y^i}(\psi(p))\left(\phi^{-1}\right)_* \frac{\partial}{\partial x'^j}\right|_{\phi(p)} \\
& =\left.\frac{\partial x'^j}{\partial y^i}(\widehat{p}) \frac{\partial}{\partial x'^j}\right|_p,
\end{aligned}~.
\end{equation}
于是，我们得到了不同图之间基矢的 “联系”，类似多元函数微分学的结果，只不过雅克比矩阵的矩阵元为转移函数对变量的偏导数。回顾切向量的导子定义，我们可以得到同一切向量的坐标变换。若 $X=a^i\widetilde e_i=b^i\widetilde \theta_i$，则有：
\begin{equation}
b^i=T^i_ja^j~,
\end{equation}
其中 $T^i_j=\frac{\partial y'^{i}}{\partial x^j}(\phi(p)),y'^i=\psi\circ\phi^{-1}$。
道路上的切向量
设光滑道路 $\gamma(t):[0,1]\rightarrow M$，定义 $\gamma(t_0)$ 处的切向量为导数的前推：
\begin{equation}
\gamma^{\prime}\left(t_0\right)=\left.\gamma_* \frac{d}{d t}\right|_{t_0}~.
\end{equation}
设 $\gamma(t)=(\gamma^1(t),\gamma^2(t)...\gamma^n(t))=(x^1,x^2...x^n),f\in C^{\infty}(M)$。由前推的定义及链式法则，可知道路上的切向量对光滑函数作用为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\gamma'(t_0)f&=\frac{d(f\circ\gamma)}{dt}\\
&=\gamma^i(t_0)'\frac{\partial f}{\partial x^i}\bigg|_{\gamma(t_0)}
\end{aligned}~,
\end{equation}
也就是说，$\gamma'(t_0)=\gamma^i(t_0)'\frac{\partial }{\partial x^i}\bigg|_{\gamma(t_0)}$，这确实是一个切向量。与欧几里得空间的意义相同，流形上道路某点处的切向量等于沿着该点切向求方向导数。
广义上来看，“前推” 可以概括顺着光滑映射方向的一切复合作用。例如，若 $\gamma:[0,1]\rightarrow M$，则对于光滑映射 $F:M\rightarrow N$，复合映射：$F\circ \gamma:[0,1]\rightarrow M\rightarrow N$ 可看作把 $M$ 上的光滑道路迁移到 $N$ 上，在这个过程中，每一点的切向量也在前推。
引理 2
$F,\gamma,M,N$ 的定义如上。$N$ 上该复合道路的切向量为：
\begin{equation}
(F\circ\gamma)'(t_0)=F_*\gamma(t_0)'~.
\end{equation}
前推切向量场
定义光滑映射 $f:M\rightarrow N$，$X \in \mathfrak{X
}(M),Y\in \mathfrak{X}(N)$。若对于任意 $p\in M$，有 $F_*X_p=Y_{F(p)}$，则称这两个场是“F 关联”的。我们可以用下述定理判断两个向量场是否关联:
定理 1
$X,Y,M,N$ 定义如上。$X$ 与 $Y$ 是 F 关联的，当且仅当对于定义在 $N$ 上一开集的任意光滑函数 $f$ 有：
\begin{equation}
X(f\circ F)=(Yf)\circ F~.
\end{equation}
Proof.
先看左侧。对任意 $p\in M$ 有：
\begin{equation}
X(f\circ F)=(F_*X)f~.
\end{equation}
对于右侧，由乘积映射的定义 8 ，我们有：
\begin{equation}
(Yf)\circ F=(Y\circ F(p))(f (F(p)))=Y_{F(p)}f~,
\end{equation}
得证。
如果不满足上述条件，两个流形上的切向量场未必存在 F 关联。有一种情况十分特殊，如果该光滑映射是微分同胚映射（即双向光滑双射，是流形意义上的同构），总存在这样的 F 关联，此时我们把 $Y$ 称为$X$ 的前推。
定理 2
设 $F:M\rightarrow N$ 是微分同胚。对于任意光滑切场$X\in \mathfrak{X}(M)$，总存在 $N$ 上的一个光滑切场与之 F 关联。
proof.
设 $q\in N$，定义 F 关联的 $Y$ 场为：
\begin{equation}
Y_q=F_*X_{F^{-1}(q)}=F_*(X\circ F^{-1}(q))~,
\end{equation}
这样定义下的 $F$ 必然存在且唯一。而且由于复合函数光滑，所以前推的切场也是光滑的。
向量场的协变导数
对于定义在整个流形的光滑切场，前推一般要求流形之间的映射是微分同胚。而如果只是前推沿着道路的切场，对映射的要求就能降低到具备光滑性即可。
具体来说，设 $f:M\rightarrow N$ 是光滑映射，$c(t):[0,1]\rightarrow M$ 是光滑道路。$V$ 是 $M$ 上沿着该道路的任意切场：$V(t)=v^i(t)e_{i,c(t)}$，其中 $\{e_{i,c(t)}\}$ 为点 $c(t)$ 邻域上的一组基。为方便计，重新表示 $V(t)=v^ie_i$。则切场 $V(t)$ 沿着道路 $c(t)$ 的前推为沿着道路 $f\circ c(t)$ 的 $f_*V(t)$
\begin{equation}
f_*V(t)=v^i\widetilde e_{i,f\circ c(t)}~,
\end{equation}
其中 $\widetilde e_i=f_*e_i$，是 $f\circ c(t)$ 邻域上的一组基。显然，该切场是沿着道路 $f\circ c(t)$ 的。
设 $f:(M,\nabla)\rightarrow(N,\widetilde {\nabla})$ 是保联络的微分同胚映射。$c(t)$ 是 $M$ 上的光滑道路，$\frac{D}{dt}$ 和 $\frac{\widetilde D}{dt}$ 分别是 $M$ 上沿 $c(t)$ 与 $N$ 上沿 $f\circ c(t)$ 的协变导数。如果 $V(t)$ 是 $M$ 上沿 $c$ 定义的光滑切向量场（每一点的切向量不一定是道路上该点的切向量）。那么我们有：
\begin{equation}
f_*(\frac{DV}{dt})=\frac{\widetilde D(f_*V)}{dt}~.
\end{equation}
proof.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{DV}{dt}&=\frac{dv^i}{dt}e_i+v^i\nabla_{c'(t)}e_i\\
f_*(\frac{DV}{dt})&=\frac{dv^i}{dt}f_*(e_i)+v^if_*(\nabla_{c'(t)}e_i)\\
&=\frac{dv^i}{dt}\widetilde e_i+v^i\widetilde \nabla_{(f\circ c)'(t)}\widetilde e_i\\
&=\frac{\widetilde D(f_*V)}{dt}~.
\end{aligned}
\end{equation}
习题 2
测地线为 “加速度” 不变的道路，满足 $\frac{Dc'(t)}{dt}=0$。证明当微分同胚映射 $f:M\rightarrow N$ 保联络，即满足 $F_*(\nabla_X Y)=\widetilde \nabla_{f_*(X)}f_*(Y)$ 时，该同胚映射把测地线映射为测地线。