贡献者： 叶月2_
（本文默认左不变切场都是切空间的切向量经左平移映射延拓得到。即 $\widetilde X_g=L_g X_e$。）
定义 1
设 $\mathfrak g$ 是李群 $G$ 的李代数。定义指数映射 $\exp :\mathfrak g\to G$，对于任意 $X_e\in \mathfrak g$ 有 $ \exp\left(X_e\right) =c_X(1)$。其中 $c_X$ 正是左不变切场 $X$ 的积分流，且 $c(0)=e$。
在物理上，我们经常要用到矩阵李群。可以证明，对于矩阵李群，指数映射恰为矩阵的指数函数，可说是名副其实了。
定理 1 指数映射的性质
- 对于任意 $X_e\in \mathfrak g$，$X$ 的开始于 $e$ 的积分曲线为 $c_X(t)\equiv\theta_t(e)= \exp\left(tX_e\right) $。
- 对于任意 $X_e\in \mathfrak g$，左不变切场 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线为 $g \exp\left(tX_e\right) $。
- 对于任意 $x,t\in\mathbb R,X_e\mathfrak g$，指数映射是 $\mathbb R\to G$ 的群同态，满足 $ \exp\left((s+t)X_e\right) =(\exp sX_e)(\exp tX_e)$。
- 指数映射是光滑的。
- 指数映射在 $t=0$ 处的切映射是单位映射。
- 对于一般线性群 $GL(n,\mathbb R)$，有
\begin{equation}
\exp A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!},\quad \forall A\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})~.
\end{equation}
证明：
（1）设任意 $t\in \mathbb R$，$s$ 是可变参量，$c_X(s)$ 为 $X$ 的开始于 $e$ 的积分曲线 $\theta_t(e)$。定义 $\tau(s)=c_X(ts)$。则
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{c_X(ts)}}{\mathrm{d}{s}} =\tau'(s)=tc'_X(ts)=tX_{\tau (s)}~.
\end{equation}
因为 $\tau(0)=e$ 并且每一处的切向量场都是 $tX$，由极大积分曲线的唯一性得 $\tau(s)=c_{tX}(s)=c_X(ts)$。代入 $s=1$ 得 $c_{tX}(1)= \exp\left(tX_e\right) =c_X(t)$。
（2）由（1）知，我们需要证明对于任意 $X_e\in \mathfrak g$，左不变切场 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线为 $gc(t)$。
因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{(gc(t))}}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{L_gc(t)}}{\mathrm{d}{t}} \\
&=L_{g*} \frac{\mathrm{d}{c(t)}}{\mathrm{d}{t}} \\
&=X_{gc(t)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $gc(t)$ 确实是 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线。
（3）由题意知，我们需要证明 $c(s+t)=c(s)c(t)$。依然设 $s$ 为变化参量，$t$ 为任意固定的常数，$c(t)$ 为 $X$ 开始于 $e$ 的积分曲线，问题转化为需证等式两端是相同的积分曲线。
因为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{c(s+t)}}{\mathrm{d}{s}} =X_{c(s+t)}~,
\end{equation}
所以 $c(s+t)$ 为 $X$ 开始于 $c(s)$ 的积分曲线。由上题知，$c(s)c(t)$ 亦是如此。由极大积分曲线的唯一性知这是同一条积分曲线，所以得证。
（5）因为 $\exp_*(tX_e)|_{t=0}=c'(0)=X_e$，因此得证。
（6）只要证明 $c(t)=\sum^{\infty}_{k=0}(tA)^k/(k!)$ 确实是左不变切场 $\widetilde A$ 开始于 $e$ 的积分曲线即可。易见 $c(0)=I=e$，又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
c'(t)&=\sum_{k=1}^\infty\frac{kA^kt^{k-1}}{k!}\\
&=\sum_{k=1}^\infty\frac{A^{k-1}t^{k-1}A}{(k-1)!}\\
&=c(t)A=L_{c(t)}A=\widetilde A_{c(t)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此得证。
定理 2
设 $f:H\to G$ 为李群同态映射，对于任意 $X\in T_e H$ 有
\begin{equation}
\exp\left(f_*X\right) =f(\exp X)~.
\end{equation}
证明：
首先我们来证明一个很有用的引理。题设不变，并设任意 $h\in H$，我们有
\begin{equation}
f\circ L_{h}=L_{f(h)}\circ f~.
\end{equation}
两边对任意 $h_1\in H$ 作用，由同态性质即可得 $f\circ L_h(h_1)=f(hh_1)=L_{f(h)}\circ f(h_1)$。更进一步，结合前推映射的结合性得：
\begin{equation}
f_*\circ L_{h*}=L_{f(h)*}\circ f_*~.
\end{equation}
为了证明式 6 ，我们证明对于 $t\in \mathbb R$ 都有 $ \exp\left(tf_*X\right) =f(\exp tX)$，最后令 $t=1$ 即可。
那么要验证的式子实际上为
\begin{equation}
f\circ c(t)=c_{f_*(X)}(t)~.
\end{equation}
因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
(f\circ c)'(t)=f_*[c'(t)]&=f_*\circ L_{c(t)*}(X)\\
&=L_{f\circ c(t)*}(f_*X)\\&=\widetilde {(f_*X)}_{f\circ c(t)}=c'_{f_*(X)}(t)~,
\end{aligned}
\end{equation}
且 $f\circ c(0)=c_{f_*(X)}(0)$，因此确实是同一条积分曲线，交换性得证。