李群的指数映射

贡献者：叶月2_

预备知识　李群的李代数，流

　　（本文默认左不变切场都是切空间的切向量经左平移映射延拓得到。即 ${\tilde{X}}_{g} = L_{g} X_{e}$ 。）

　　设 $g$ 是李群 $G$ 的李代数。定义指数映射 $\exp : g \to G$ ，对于任意 $X_{e} \in g$ 有 $\exp (X_{e}) = c_{X} (1)$ 。其中 $c_{X}$ 正是左不变切场 $X$ 的积分流，且 $c (0) = e$ 。

　　在物理上，我们经常要用到矩阵李群。可以证明，对于矩阵李群，指数映射恰为矩阵的指数函数，可说是名副其实了。

对于任意 $X_{e} \in g$ ， $X$ 的开始于 $e$ 的积分曲线为 $c_{X} (t) \equiv θ_{t} (e) = \exp (t X_{e})$ 。
对于任意 $X_{e} \in g$ ，左不变切场 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线为 $g \exp (t X_{e})$ 。
对于任意 $x, t \in R, X_{e} g$ ，指数映射是 $R \to G$ 的群同态，满足 $\exp ((s + t) X_{e}) = (\exp s X_{e}) (\exp t X_{e})$ 。
指数映射是光滑的。
指数映射在 $t = 0$ 处的切映射是单位映射。
对于一般线性群 $G L (n, R)$ ，有
$\begin{matrix} (1) & \exp A = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}, \forall A \in gl (n, R) . \end{matrix}$

　　 证明：

　　（1）设任意 $t \in R$ ， $s$ 是可变参量， $c_{X} (s)$ 为 $X$ 的开始于 $e$ 的积分曲线 $θ_{t} (e)$ 。定义 $τ (s) = c_{X} (t s)$ 。则

\begin{matrix} (2) & \frac{d c_{X} (t s)}{d s} = τ^{'} (s) = t c_{X}^{'} (t s) = t X_{τ (s)} . \end{matrix}

因为

τ (0) = e

并且每一处的切向量场都是

t X

，由极大积分曲线的唯一性得

τ (s) = c_{t X} (s) = c_{X} (t s)

。代入

s = 1

得

c_{t X} (1) = \exp (t X_{e}) = c_{X} (t)

。

　　（2）由（1）知，我们需要证明对于任意 $X_{e} \in g$ ，左不变切场 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线为 $g c (t)$ 。因为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{d (g c (t))}{d t} & = \frac{d L_{g} c (t)}{d t} \\ = L_{g *} \frac{d c (t)}{d t} \\ = X_{g c (t)} . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此 $g c (t)$ 确实是 $X$ 开始于 $g$ 的积分曲线。

　　（3）由题意知，我们需要证明 $c (s + t) = c (s) c (t)$ 。依然设 $s$ 为变化参量， $t$ 为任意固定的常数， $c (t)$ 为 $X$ 开始于 $e$ 的积分曲线，问题转化为需证等式两端是相同的积分曲线。因为

\begin{matrix} (4) & \frac{d c (s + t)}{d s} = X_{c (s + t)}, \end{matrix}

所以

c (s + t)

为

X

开始于

c (s)

的积分曲线。由上题知，

c (s) c (t)

亦是如此。由极大积分曲线的唯一性知这是同一条积分曲线，所以得证。

　　（5）因为 $\exp_{*} (t X_{e}) |_{t = 0} = c^{'} (0) = X_{e}$ ，因此得证。

　　（6）只要证明 $c (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} (t A)^{k} / (k!)$ 确实是左不变切场 $\tilde{A}$ 开始于 $e$ 的积分曲线即可。易见 $c (0) = I = e$ ，又因为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} c^{'} (t) & = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k A^{k} t^{k - 1}}{k!} \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{A^{k - 1} t^{k - 1} A}{(k - 1)!} \\ = c (t) A = L_{c (t)} A = {\tilde{A}}_{c (t)}, \end{aligned} \end{matrix}

因此得证。

　　设 $f : H \to G$ 为李群同态映射，对于任意 $X \in T_{e} H$ 有

\begin{matrix} (6) & \exp (f_{*} X) = f (\exp X) . \end{matrix}

　　 证明： 首先我们来证明一个很有用的引理。题设不变，并设任意 $h \in H$ ，我们有

\begin{matrix} (7) & f \circ L_{h} = L_{f (h)} \circ f . \end{matrix}

两边对任意

h_{1} \in H

作用，由同态性质即可得

f \circ L_{h} (h_{1}) = f (h h_{1}) = L_{f (h)} \circ f (h_{1})

。更进一步，结合前推映射的结合性得：

\begin{matrix} (8) & f_{*} \circ L_{h *} = L_{f (h) *} \circ f_{*} . \end{matrix}

　　为了证明式 6 ，我们证明对于 $t \in R$ 都有 $\exp (t f_{*} X) = f (\exp t X)$ ，最后令 $t = 1$ 即可。

　　那么要验证的式子实际上为

\begin{matrix} (9) & f \circ c (t) = c_{f_{*} (X)} (t) . \end{matrix}

因为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} (f \circ c)^{'} (t) = f_{*} [c^{'} (t)] & = f_{*} \circ L_{c (t) *} (X) \\ = L_{f \circ c (t) *} (f_{*} X) \\ = {\tilde{(f_{*} X)}}_{f \circ c (t)} = c_{f_{*} (X)}^{'} (t), \end{aligned} \end{matrix}

且

f \circ c (0) = c_{f_{*} (X)} (0)

，因此确实是同一条积分曲线，交换性得证。