线性泛函的几何意义

                     

贡献者: 零穹

预备知识 余维数,泛函与线性泛函

   在有限维线性空间中,一个线性方程和一个超曲面一一对应(线性方程组的仿射解释),这在无穷维的线性空间中仍然成立。具体的,在任一的线性空间中,一个非平凡线性泛函(即不恒为零)和一个不通过坐标原点的超曲面一一对应。这便是线性泛函的几何意义。

   本文将始终假定 $\mathbb F$ 是定义线性空间 $L$ 的域。

1. 零子空间

定义 1 零子空间,核

   设 $f$ 是线性空间 $L$ 上不恒为零的线性泛函。则

\begin{equation} \{x|f(x)=0,x\in L\}~, \end{equation}
称为 $L$ 的(关于 $f$)的零子空间或线性泛函 $f$ 的,记作 $\ker f$。

   称 $\ker f$ 为 “子空间” 是因为若 $f(x)=f(y)=0$,则

\begin{equation} f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)=0.~ \end{equation}

引理 1 

   设 $f$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函,则任一 $x\in L$,对固定的满足 $f(x_0)\neq0$ 的 $x_0$,存为唯一 $\alpha\in\mathbb F,y\in \ker f$,使得

\begin{equation} x=\alpha x_0+y.~ \end{equation}

   在 $f,x_0$ 确定的情况下,$\alpha=\frac{f(x)}{f(x_0)}$

   证明:存在性:任一 $x\in L$,令 $y=x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0$,则 $f(y)=0$,即 $y\in\ker f$。因此任一 $x\in L$,存在 $\alpha\in\mathbb F,y\in \ker f$,使得

\begin{equation} x=\alpha x_0+y.~ \end{equation}

   唯一性:设 $\alpha x_0+y=\alpha' x_0+y'$,则 $(\alpha-\alpha')x_0=y'-y$。若 $\alpha=\alpha'$,则 $y'=y$,唯一性成立;若 $\alpha\neq\alpha'$,则 $x_0=\frac{y'-y}{\alpha-\alpha'}\in\ker f$,这和 $f(x_0)\neq0$ 矛盾,因此只能是 $\alpha=\alpha'$。

   证毕!

推论 1 

   设 $f$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函,则 $x$ 等价于 $x'$,当且将当 $f(x)=f(x')$。

   证明:由于 $f$ 不恒为 0,因此存在 $x_0$,使得 $f(x_0)\neq0$。由引理 1 ,任意 $x,x'$,可表示为

\begin{equation} x=\alpha x_0+y,\quad x'=\alpha' x_0+y'.~ \end{equation}
$x,x'$ 等价的条件是 $x-x'=(\alpha'-\alpha)x_0+(y-y')\in \ker f$,这要求 $\alpha'=\alpha$。此时 $f(x)-f(x')=f(y)-f(y')=0$,即 $f(x)=f(x')$。

   证毕!

推论 2 $\mathrm{codim} f=1$

   零子空间 $\ker f$ 的余维数为 $1$。

   证明:需要证明商空间 $L/\ker f$ 的维数为 1,即存在非零矢量 $[x_0]\neq [0]\in L/\ker f$,使得任一 $\xi\in L/\ker f$,都有 $\xi=\alpha[x_0],\alpha\in\mathbb F$。证明如下:

   由引理 1 ,任一 $\xi\in L/\ker f$ 的代表元 $x$ 可写为 $x=\alpha x_0+y,y\in\ker f,x_0\notin\ker f$。又 $\alpha x_0$ 和 $x$ 等价,因此 $\alpha x_0\in \xi$,即每一 $\xi$ 都有形如 $\alpha x_0$ 的代表元。即 $[\xi]=\alpha[x_0]$。

   证毕!

推论 3 

   设 $f,g$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函,则若 $\ker f=\ker g$,那么恒有 $g(x)=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}f(x)$。即在不计常数因子的情况下,在 $\ker f$ 定义的线性泛函是唯一的。

   证明:取 $x_0$,使得 $f(x_0)\neq0$。那么可断定 $g(x_0)\neq0$。事实上,由引理 1

\begin{equation} \begin{aligned} x=\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0+y,&\quad y\in\ker f=\ker g,\\ &\Downarrow\\ g(x)=\frac{f(x)}{f(x_0)}g(x_0)&+g(y)=\frac{f(x)}{f(x_0)}g(x_0). \end{aligned}~ \end{equation}
若 $g(x_0)=0$,那么 $g(x)\equiv0$,这与 $g$ 的非平凡性矛盾。由上式可知命题成立。

   证毕!

定义 2 超平面

   设 $L'$ 是 $L$ 的余维数为 1 的任意子空间,则称空间 $L'$ 的任一剩余类(定义 2 )为(与子空间 $L'$ 平行)的超平面

   由剩余类的定义可知,与 $L'$ 平行的超平面 $M'$,是从 $L'$ 平移任一向量 $x_0\in L$ 所得到的集 $M'=x_0+L'$。

定理 1 

   定义在 $L$ 上的所有非平凡线性泛函与 $L$ 中不通过坐标原点的所有超平面是一一对应的。

   证明: 若 $f$ 是空间 $L$ 上的非平凡线性泛函,则集 $M_f=\{x|f(x)=c\neq 0\}$ 是与子空间 $\ker f$ 平行的超平面:事实上,选定任一满足 $f(x_0)=c$ 的元素 $x_0$。于是由引理 1 ,任一 $x\in M_f$ 可表为 $x=\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0+y=x_0+y,y\in\ker f$。反过来,$x_0+\ker f\subset M_f$。于是 $M_f=x_0+\ker f$。

   若 $M'$ 是与子空间 $L'$ 平行、且不通过原点的任一超曲面,则存在唯一的线性泛函,使得 $M'=\{x|f(x)=c\neq0\}$:设 $M'=L'+x_0,x_0\in L$。则任一元素 $x\in L$ 可唯一表为 $x=\alpha x_0+y,y\in L'$ 的形式(因为超平面余维数为 1)。令 $f(x)=\alpha f(x_0)$,于是 $f$ 是所需要的线性泛函。事实上,若 $x=\alpha x_0+y,x'=\alpha' x_0+y'$,则

\begin{equation} \begin{aligned} f(\lambda x+\lambda' x')&=f((\lambda\alpha+\lambda'\alpha')x_0+\lambda y+\lambda'y')\\ &=(\lambda \alpha+\lambda'\alpha')f(x_0)\\ &=\lambda f(x)+\lambda'f(x'). \end{aligned}~ \end{equation}
另外,由 $f$ 的定义,$f(x)=0\Rightarrow x\in L'$,即 $\ker f\subset L'$,又 $f(L')=0$,所以 $L'\in\ker f$,即 $L'=\ker f$。因此 $M'=x_0+\ker f$。

   若 $x\in M',g(x)\equiv c$,则 $y\in L',g(y)\equiv 0$,因此

\begin{equation} g(\alpha x_0+y)=\alpha c=f(\alpha x_0+y).~ \end{equation}
由此得到 $f$ 的唯一性。

   结合上面证得的两个命题,命题得证!

   证毕!

   定理 1 便说明了线性泛函的几何意义。

                     

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