线性方程组的仿射解释

贡献者：零穹; Giacomo; addis

预备知识　仿射集，线性方程组与增广矩阵

　　在解释线性方程组的仿射几何意义前，先总结一下矩阵和矢量观点下的意义。

　　一般的线性方程组具有如下形式：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = y_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = y_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = y_{m} . \end{aligned} \end{matrix}

写成矩阵形式则为

\begin{matrix} (2) & A x = y . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (3) & A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

在矢量观点下，线性方程组式 1 又可写为

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} a_{i} = y . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & a_{i} = (a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{m i})^{T}, y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{m})^{T} . \end{matrix}

　　在矩阵观点下，线性方程组式 2 有解，当且仅当 $rank A = rank (A, y)$ 。这里， $(A, y)$ 是在矩阵 $A$ 后再添上一列 $y$ 构成的矩阵，即 $A$ 的增广矩阵。 $rank A$ 表 $A$ 的秩。在有解的情况下，线性方程组的解构成的集合为 $X_{s} = X_{0} + x_{1}$ ，其中 $X_{0}$ 为对应齐次方程组的通解， $x_{1}$ 是任一特解

未完成：the_LinEq2_1

　　在矢量观点下，线性方程组式 4 有解，当且仅当矢量 $y$ 可被矢量组 ${a_{1}, \dots, a_{n}}$ 线性表示；也可理解为 $y$ 在 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 生成的张成空间当中，即 $y \in ⟨ a_{1}, \dots, a_{n} ⟩$ 。

　　在以上解释中，并没有把线性方程组与通常观点下的几何对象（点线面）联系起来。当然，在矩阵理论和矢量空间里，还没有引入点的概念，要将线性方程组与几何对象联系起来，需要在仿射空间当中去完成。在此之前先说明几个必要的概念。

1. 仿射线性函数

　　在仿射线性映射定义（定义 3 ）中，若 $A^{'} = F$ ， $D f$ 是 $V$ 上的线性函数，则仿射线性映射称之为仿射线性函数。

定义 1　仿射线性函数

　　设 $(A, V)$ 是域 $F$ 上的仿射空间，称 $f : A \to F$ 是个仿射线性函数，如果

\begin{matrix} (6) & f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + D f \cdot v \forall \dot{p} \in A, v \in V . \end{matrix}

其中

D f

是

V

上的一个线性函数，称为

f

的线性部分（或微商）。

　　如此一来，线性部分为零的仿射线性函数对应常值仿射线性函数。

定理 1　

　　 $f : A \to F$ 是仿射线性函数，当且仅当在坐标系 ${\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}$ 下，对 $\forall \dot{p} \in A$ ，有

\begin{matrix} (7) & f (\dot{p}) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i} + α_{0} . \end{matrix}

其中

α_{0} = f (\dot{o}), α_{i} = D f \cdot e_{i}

，

x_{1}, \dots, x_{n}

是点

\dot{p}

坐标。

　　 证明：1. $\Rightarrow$

\begin{matrix} (8) & f (\dot{p}) = f (\dot{o} + \vec{o p}) = f (\dot{o}) + D f \cdot \vec{o p} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i} + α_{0} . \end{matrix}

　　 2. $\Leftarrow$

　　设 $v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} e_{i}$ ，于是由定理 3 第 2 条， $\dot{p} + v$ 的坐标为 $x_{i} + v_{i}, i = 1, \dots, n$ 。由式 7 ，有

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} f (\dot{p} + v) & = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} (x_{i} + v_{i}) + α_{0} = (\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i} + α_{0}) + \sum_{i = 1}^{n} α_{i} v_{i} \\ = f (\dot{p}) + D f \cdot v . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

2. 线性方程组的仿射解释

　　令

\begin{matrix} (10) & f_{i} (\dot{p}) = \sum_{j = 1} a_{i j} x_{j} - y_{i} . \end{matrix}

则线性方程组式 1 可写为

\begin{matrix} (11) & f_{i} (\dot{p}) = 0, i = 1, \dots, m . \end{matrix}

　　由定理 1 ，每个 $f_{i} (\dot{p})$ 都是仿射线性函数。

　　设线性方程组有解，而 $x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}$ 是它的一个解，并用它作为在坐标系 ${\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}$ 下点 ${\dot{p}}_{0}$ 的坐标（因此 $f_{i} (\dot{o}) = - y_{i}$ ），并说点 ${\dot{p}}_{0}$ 本身是个解。

　　如此一来，式 11 的其它解必形如 $\dot{p} = {\dot{p}}_{0} + x, x \in V$ 且

\begin{matrix} (12) & D f_{i} \cdot x = 0, i = 1, \dots, m, \end{matrix}

其中

D f_{i}

是

f_{i}

的线性部分。式 12 的解，构成一维数为

n - r

的子空间

U \subset V

。

r

是线性函数组

D f_{1}, \dots, D f_{m}

的秩（子节 4 ），

n = \dim V

。所以线性方程组解的集合就是

n - r

维的平面

{\dot{p}}_{0} + U

。

定理 2　

　　设 $A$ 是个 $n$ 维仿射空间，则 $A$ 中所有坐标满足一秩为 $r$ 、有解的线性方程组的点构成一 $n - r$ 维的平面 $Π = {\dot{p}}_{0} + U$ 。且 $A$ 的任一平面都可这样得到。

　　 证明：定理后一部分由前面已得证明。现证明第二部分。

　　首先，任一 $n - r$ 维的矢量子空间 $U$ 就是一个秩为 $r$ 的形如式 11 的线性方程组的解空间（链接）。

　　其次， $\dot{p} \in Π \Leftrightarrow \vec{p_{0} p} \in U$ 。若设 ${\dot{p}}_{0}, \dot{p}$ 坐标分别为 $x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0}$ 和 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，则 $\vec{p_{0} p} = \sum_{j} (x_{j} - x_{j}^{0}) e_{i}$ 。那么方程组

\begin{matrix} (13) & \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (x_{j} - x_{j}^{0}) = 0, i = 1, \dots m . \end{matrix}

满足条件。

　　 证毕！

　　由该定理，一个超平面相当于一个线性方程，于是秩为 $r$ 的线性方程组相当于 $r$ 个超平面，该方程组的解相当于这 $r$ 个超平面的交集，其给出一个 $n - r$ 维的平面 $Π$ 。

线性方程组的仿射解释

1. 仿射线性函数

定义 1 仿射线性函数

定理 1

2. 线性方程组的仿射解释

定理 2

定义 1　仿射线性函数

定理 1　

定理 2　