贡献者： 零穹; Giacomo; addis
在解释线性方程组的仿射几何意义前，先总结一下矩阵和矢量观点下的意义。
一般的线性方程组具有如下形式：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a_{1 1}x_1 + a_{1 2}x_2 + \dots + a_{1 n}x_n &= y_1, \\
a_{2 1}x_1 + a_{2 2}x_2 + \dots + a_{2 n}x_n &= y_2, \\
\vdots \\
a_{m 1}x_1 + a_{m 2}x_2 + \dots + a_{m n}x_n &= y_m~. \end{aligned}\right.
\end{equation}
写成
矩阵形式则为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
,\quad \boldsymbol{\mathbf{x}} =\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}
,\quad \boldsymbol{\mathbf{y}} =\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\\vdots\\y_n
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
在
矢量观点下，线性方程组
式 1 又可写为
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_ia_i=y~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
a_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{mi})^T,\quad y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)^T~.
\end{equation}
在矩阵观点下，线性方程组式 2 有解，当且仅当 $\mathrm{rank}\; \boldsymbol{\mathbf{A}} =\mathrm{rank}\;( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$。这里，$( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 是在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 后再添上一列 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 构成的矩阵，即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的增广矩阵。$\mathrm{rank}\; \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩。在有解的情况下，线性方程组的解构成的集合为 $X_s= X_0+x_1 $，其中 $X_0$ 为对应齐次方程组的通解，$x_1$ 是任一特解
未完成：the_LinEq2_1
在矢量观点下，线性方程组式 4 有解，当且仅当矢量 $y$ 可被矢量组 $\{a_1,\cdots,a_n\}$ 线性表示；也可理解为 $y$ 在 $a_1,\cdots,a_n$ 生成的张成空间当中，即 $y\in\langle a_1,\cdots,a_n\rangle$。
在以上解释中，并没有把线性方程组与通常观点下的几何对象（点线面）联系起来。当然，在矩阵理论和矢量空间里，还没有引入点的概念，要将线性方程组与几何对象联系起来，需要在仿射空间当中去完成。在此之前先说明几个必要的概念。
1. 仿射线性函数
在仿射线性映射定义（定义 3 ）中，若 $\mathbb A'=\mathbb F$，$Df$ 是 $V$ 上的线性函数，则仿射线性映射称之为仿射线性函数。
定义 1 仿射线性函数
设 $(\mathbb A,V)$ 是域 $\mathbb {F}$ 上的仿射空间，称 $f:\mathbb A\rightarrow \mathbb F$ 是个仿射线性函数，如果
\begin{equation}
f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v\quad\forall \dot p\in\mathbb A,v\in V~.
\end{equation}
其中 $Df$ 是 $V$ 上的一个线性函数，称为 $f$ 的
线性部分（或
微商）。
如此一来，线性部分为零的仿射线性函数对应常值仿射线性函数。
定理 1
$f:\mathbb A\rightarrow \mathbb F$ 是仿射线性函数，当且仅当在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 下，对 $\forall \dot p\in \mathbb A$，有
\begin{equation}
f(\dot p)=\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i+\alpha_0~.
\end{equation}
其中 $\alpha_0=f(\dot o),\alpha_i=Df\cdot e_i$，$x_1,\cdots,x_n$ 是点 $\dot p$ 坐标。
证明：1. $\Rightarrow$
\begin{equation}
f(\dot p)=f(\dot o+\vec{op})=f(\dot o)+Df\cdot \vec{op}=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i+\alpha_0~.
\end{equation}
2. $\Leftarrow$
设 $v=\sum\limits_{i=1}^n v_ie_i$，于是由定理 3 第 2 条，$\dot p+v$ 的坐标为 $x_i+v_i,i=1,\cdots ,n$。由式 7 ，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\dot p+v)&=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_i+v_i)+\alpha_0= \left(\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i+\alpha_0 \right) +\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i\\
&=f(\dot p)+Df\cdot v~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕！
2. 线性方程组的仿射解释
令
\begin{equation}
f_i(\dot p)=\sum_{j=1}a_{ij}x_j-y_i~.
\end{equation}
则线性方程组
式 1 可写为
\begin{equation}
f_i(\dot p)=0,\quad i=1,\cdots,m~.
\end{equation}
由定理 1 ，每个 $f_i(\dot p)$ 都是仿射线性函数。
设线性方程组有解，而 $x_1^0,\cdots,x_n^0$ 是它的一个解，并用它作为在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 下点 $\dot p_0$ 的坐标（因此 $f_i(\dot o)=-y_i$），并说点 $\dot p_0$ 本身是个解。
如此一来，式 11 的其它解必形如 $\dot p=\dot p_0+x, x\in V$ 且
\begin{equation}
Df_i \cdot x=0,\quad i=1,\cdots,m~,
\end{equation}
其中 $Df_i$ 是 $f_i$ 的线性部分。
式 12 的解，构成一维数为 $n-r$ 的子空间 $U\subset V$。$r$ 是线性函数组 $Df_1,\cdots,Df_m$ 的秩（
子节 4 ），$n=\dim V$。所以线性方程组解的集合就是 $n-r$ 维的平面 $\dot p_0+U$。
定理 2
设 $\mathbb A$ 是个 $n$ 维仿射空间，则 $\mathbb A$ 中所有坐标满足一秩为 $r$、有解的线性方程组的点构成一 $n-r$ 维的平面 $\Pi=\dot p_0+U$。且 $\mathbb A$ 的任一平面都可这样得到。
证明：定理后一部分由前面已得证明。现证明第二部分。
首先，任一 $n-r$ 维的矢量子空间 $U$ 就是一个秩为 $r$ 的形如式 11 的线性方程组的解空间（链接）。
其次，$\dot p\in\Pi\Leftrightarrow\vec{p_0p}\in U$。若设 $\dot p_0,\dot p$ 坐标分别为 $x^0_1,\cdots,x^0_n$ 和 $x_1,\cdots,x_n$，则 $\vec{p_0p}=\sum_{j}(x_j-x^0_j)e_i$。那么方程组
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n a_{ij}(x_j-x_j^0)=0,\quad i=1,\cdots m~.
\end{equation}
满足条件。
证毕！
由该定理，一个超平面相当于一个线性方程，于是秩为 $r$ 的线性方程组相当于 $r$ 个超平面，该方程组的解相当于这 $r$ 个超平面的交集，其给出一个 $n-r$ 维的平面 $\Pi$。