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1设 $W$ 是 $n$ 维矢量空间 $V$ 的一个 $m$ 维子空间。我们想通过 $W$ 来定义 $V$ 中元素的一个等价关系,并由此得到 $V$ 的一个分类。 对于 $v_1,v_2\in V$,如果 $v_1-v_2\in W$,则称它们是关于 $\bmod W $ 相合的,记为 $v_1=v_2$。不难证明这是一个等价关系。因此,它就确定了 $V $ 的一个分类。元素 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合类,即 $V $ 中所有与 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合的元的全体,用符号 $(v) $ 标记。这样,有相合类为元素的商集合
现在我们在商集合 $V/W $ 中引入线性运算,使它也成为一个线性空间。当然这种线性运算应与 $V $ 中原有的线性运算要有联系。为此,对于相合类的加法和数乘,我们自然采用下列定义
下面我们再来分析一下 $V,W$ 和 $V/W $ 三者基之间的关系。设 $u_1,u_2,\cdots,u_m$ 是 $W $ 的一个基。我们再补充 $n- m$ 个元素 ${u}_{m+1}, \cdots {u}_{n}$ 使 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 成为 $V$ 的一个基。于是对 $V $ 中任一元 $v=a^iu_i$ 所确定的相合类,有
1. ^ 参考《物理学中的几何方法》