余维数
贡献者： 零穹
商空间一文已经介绍了余维数的概念，然而在那里，定理定理 5 的证明依赖于 “ $\ker f=0$ 则满射 $f$ 是双射”。而该论断只对有限维空间上的线性映射 $f$ 有效。在无限维空间里，该论断失效了，从而定理定理 5 失效，其得到的商空间的维数公式式 7 也失效了。其实，通过 $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 就能看出，$\dim V=\infty$ 时，该公式是有问题的，因为关于无穷的加减法我们一无所知。特别，当 $\dim U=\infty$ 时，$\infty-\infty$ 本身就不是确定的。
然而，商空间一文的其它内容并不依赖于空间是否为有限，因此在无穷维空间时仍然是成立的。特别，余维数仍有意义。本文将看到，在余维数为有限时，矢量空间的元素将有唯一的形式。为和有限维空间相区别，我们用 $L$ 来代表（不限于有限维的）一般的线性空间。
1. 余维数
定义 1 余维数
设 $L$ 是任意线性空间，$L'$ 是它的子空间。则商空间 $L/L'$ 的维数叫着（空间 $L$ 中）$L'$ 的余维数，记作 $\mathrm{codim}_L L'$。
定理 1 有限余维数矢量表述的唯一性
设子空间 $L'\subset L$ 具有有限余维数 $n$，则在 $L$ 中可选取彼此不等价的 $x_1,\cdots,x_n$，使得任一元素 $x\in L$ 具有唯一的形式：
\begin{equation}
x=\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i+y,~
\end{equation}
其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $L$ 的域 $\mathbb F$ 上的数，$y\in L'$。
证明：
存在性：由于 $\dim L/L'=n$，因此可在 $L/L'$ 上选取基 $\xi_1,\cdots,\xi_n$。从每一个剩余类 $\xi_i$ 中选取代表元 $x_i$。设 $x\in L$ 是任意元，且 $x\in\xi\in L/L'$，其中记 $\xi$ 在基 $\xi_i$ 下的表示为
\begin{equation}
\xi=\sum_{i=1}^n\alpha_i\xi_i.~
\end{equation}
按剩余类的定义（
定义 2 ），这意味着 $\xi$ 中的每一元素，特别是 $x$，和 $x_1,\cdots,x_n$ 的线性组合 $\sum_i\alpha_i x_i$ 等价。因此，$x-\sum_i\alpha_i x_i\in L'$，从而
\begin{equation}
x=\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i+y,~
\end{equation}
其中 $y\in L'$。
唯一性：注意定理中 $x_i$ 是选定的，因此只需证明 $\alpha_i,y$ 唯一即可。设 $\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i x_i+y=\sum\limits_{i=1}^n\alpha'_i x_i+y'$，则
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n(\alpha_i -\alpha'_i) x_i=y'-y\in L'.~
\end{equation}
于是 $\sum_{i=1}^n(\alpha_i -\alpha'_i) [x_i]=[0]$，由于 $x_i$ 彼此不等价，因此矢量 $[e_i]$ 线性无关，因此只能是 $\alpha_i=\alpha_i'$。从而
式 4 表明 $y=y'$。
证毕！