拉普拉斯方法

                     

贡献者： spain; DTSIo; addis; phywanso

　　 在分析数学中，拉普拉斯渐近方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法。所考察的积分一般具有如下形式：

其中 $s$ 是正的实参数，考察当 $s\to +\mathrm{\infty }$ 时积分的变化趋势。拉普拉斯方法背后的想法很简单：如果函数 $\mathrm{\Phi }$ 在某点处达到极小值，那么当 $s$ 充分大时，只有极小值点附近的贡献才比较可观，其余部分相比起来都要小得多。

1. Watson 引理

　　 拉普拉斯方法基于 Watson 引理。它本身也是很有用的。

　　 证： 由 Laplace 的理论可知， $$F\left(z\right)={\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{-zt}\varphi \left(t\right)\mathrm{d}t.$$ 若函数 $\varphi$ 满足定理中提到的三个条件，则 $F(z)$ 变换对于 $\mathrm{Re}z>c$ 是存在的。即：当 $\mathrm{Re}z>c$ 时，积分收敛。注意 式 2 意味着存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对一切的 $t\in B_{+}(0,\delta )$，总有 $$|\varphi \left(t\right)-\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n{t}^{{\lambda }_n-1}|\le M{t}^{{\lambda }_N-1},$$ 其中 $M>0$ 且为常数。同时 式 3 表明当时，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对一切的 $t$，总有 $$|\varphi \left(t\right)-\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n{t}^{{\lambda }_n-1}|\le K{\mathrm{e}}^{ct}{t}^{{\lambda }_N-1},$$ 其中 $K>0$ 且为常数。于是就有

$$\begin{array}{r}|{\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{-zt}\varphi \left(t\right)\mathrm{d}t-\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n{\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{-zt}{t}^{{\lambda }_n-1}\mathrm{d}t|\\ \le K{\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{[-\mathrm{Re}z-c]t}{t}^{{\lambda }_N-1}\mathrm{d}t.\end{array}$$

　　 注意到当 $\mathrm{Re}z>0$ 时 $${\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{-zt}{t}^{{\lambda }_n-1}\mathrm{d}t=\frac{1}{z^{{\lambda }_n}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{+}}{\mathrm{e}}^{-u}{u}^{{\lambda }_n-1}\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\lambda }_n\right)}{z^{{\lambda }_n}},$$ 因此

$$\begin{array}{rl}|F(z)-\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\lambda }_n\right)}{z^{{\lambda }_n}}|& \le K\frac{\mathrm{\Gamma }({\lambda }_N)}{[\mathrm{Re}z-c{]}^{{\lambda }_N}}\\ & =K\frac{\mathrm{\Gamma }({\lambda }_N)}{|z{|}^{{\lambda }_N}}{\left(\frac{|z|}{\mathrm{Re}z-c}\right)}^{{\lambda }_N}.\end{array}$$

　　 由于 $z\in \{z:|\arg z|\le \pi /2-\delta \}$，于是 $\mathrm{Re}z\ge |z|\sin \delta$。这表明当 $\left|z\right|$ 足够大时，$\mathrm{Re}z-c⩾1/2|z|\sin \delta$。因此 $$F\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\lambda }_n\right)}{z^{{\lambda }_n}}=O\left(z^{-{\lambda }_N}\right),$$ 这就证明了 Watson's 引理。

2. 拉普拉斯方法

　　 拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于式 1 得到的。作出如下假设：

1. 函数 $\mathrm{\Phi },\psi :X\to Y$ 都是光滑函数。
2. 函数 $\mathrm{\Phi }(x)$ 在积分区间 $I=[a,b]$ 内部仅有一个严格的极小值点 $x_0\in (a,b)$，同时 ${\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0)>0$，且 $x_0$ 是整个区间上的最小值点。
3. 式 1 对于 $s=s_0$ 绝对收敛。

　　 于是 ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_0)=0$。由泰勒公式可知，存在正数 $\delta >0$，使得对于任意的 $x\in B(x_0,\delta ),$ $$\mathrm{\Phi }(x)=\mathrm{\Phi }(x_0)+\frac{1}{2}{\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+\phi (x)(x-x_0{)}^3,$$

　　 其中存在正数 $M>0$，使得函数 $|\phi |\le M$。当 $s$ 充分大时，邻域 $B(x_0,\delta )$ 以外的积分的贡献比 $s$ 的任何负幂次衰减得都快：根据假定 2，当 $x\in I\setminus B(x_0,\delta )$ 时，存在正数 ${\epsilon }_0>0$ 使得 $\mathrm{\Phi }(x)>\mathrm{\Phi }(x_0)+{\epsilon }_0$，从而邻域 $B(x_0,\delta )$ 之外的积分估计为

$$\begin{array}{rl}|\underset{I\setminus B(x_0,\delta )}{\int }\psi (x){\mathrm{e}}^{-s\mathrm{\Phi }(x)}\mathrm{d}x|& \le {\mathrm{e}}^{-{ϵ}_0(s-s_0)}{\int }_I|\psi (x)|{\mathrm{e}}^{-s_0\mathrm{\Phi }(x)}\mathrm{d}x\\ & \le {\mathrm{e}}^{-s_0\mathrm{\Phi }(x_0)-{\epsilon }_{0}s}{\int }_I|\psi (x)|\mathrm{d}x.\end{array}$$

　　 而在邻域 $B(x_0,\delta )$ 内，可作如下换元：$y^2=\mathrm{\Phi }(x)-\mathrm{\Phi }(x_0)$，即 $$y=\sqrt{\frac{{\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0)}{2}}(x-x_0){(1+\frac{2}{{\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0)}(x-x_0)\phi (x))}^{1/2}.$$ 令 $\alpha <\beta$ 分别等于 $\pm \sqrt{\mathrm{\Phi }(x_0\pm \delta )-\mathrm{\Phi }(x_0)}$，又设当 $y\to 0$ 时，函数 $\tilde{\psi }$ 有泰勒展开

（这里是进行了拉格朗日反演，显然有 $c_0=\psi (x_0)\sqrt{2/{\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0)}$），则当 $s\to +\mathrm{\infty }$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{B(x_0,\delta )}\psi (x){\mathrm{e}}^{-s\mathrm{\Phi }(x)}\mathrm{d}x& ={\mathrm{e}}^{-s\mathrm{\Phi }(x_0)}{\int }_{\alpha }^{\beta }\tilde{\psi }(y){\mathrm{e}}^{-s{y}^2}\mathrm{d}y\\ & \sim {\mathrm{e}}^{-s\mathrm{\Phi }(x_0)}{\int }_0^{{\epsilon }_0}[\tilde{\psi }(y)+\tilde{\psi }(-y)]{\mathrm{e}}^{-s{y}^2}\mathrm{d}y.\end{array}$$ 应用 Watson 引理，最后终于得到式 1 当 $s\to +\mathrm{\infty }$ 时的渐近展开： 其中 $c_n$ 由式 4 给出。特别地，由于 $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$，式 1 渐近公式的首项是 $$L(s)={\mathrm{e}}^{-s\mathrm{\Phi }(x_0)}(A{s}^{-1/2}+O(s^{-1/2}))(s\to +\mathrm{\infty }),$$ 其中 $$A=\sqrt{2\pi }\frac{\psi (x_0)}{({\mathrm{\Phi }}^{″}(x_0){)}^{1/2}}.$$

3. 斯特林公式

　　 拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 $\mathrm{\Gamma }$ 函数的斯特林公式（Stirling formula）。按照定义， $$\mathrm{\Gamma }(s+1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^s{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=e^{(s+1)\log s}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-s(x-\log x)}\mathrm{d}x.$$ 最后一步换元 $x\mapsto sx$。最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设：这里 $\psi (x)\equiv 1$，$\mathrm{\Phi }(x)=x-\log x$。于是 $x=1$ 是 $\mathrm{\Phi }(x)$ 唯一的极小值点，同时也是唯一的最小值点。代入式 5 ，就得到渐近公式 $$\mathrm{\Gamma }(s+1)\sim \sqrt{2\pi s}{\left(\frac{s}{\mathrm{e}}\right)}^s(s\to +\mathrm{\infty }).$$ 式 5 还给出了更精细的渐近级数： $$\mathrm{\Gamma }(s+1)=\sqrt{2\pi s}{\left(\frac{s}{\mathrm{e}}\right)}^s(1+\frac{1}{12s}+\frac{1}{288s^2}+\cdots )(s\to +\mathrm{\infty }),$$ 毫无疑问这是一个可以对大的 $n$ 来近似计算 $n!$ 的公式。