拉普拉斯方法

                     

贡献者： spain; DTSIo; addis; phywanso

预备知识　极值，积分换元，高斯积分，渐近展开， Gamma 函数

　　 在分析数学中，拉普拉斯渐近方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法。所考察的积分一般具有如下形式：

\begin{equation} L(s)=\int_a^b \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)}\psi(x)\, \,\mathrm{d}{x} ~, \end{equation}
其中 $s$ 是正的实参数，考察当 $s\to+\infty$ 时积分的变化趋势。拉普拉斯方法背后的想法很简单：如果函数 $\Phi$ 在某点处达到极小值，那么当 $s$ 充分大时，只有极小值点附近的贡献才比较可观，其余部分相比起来都要小得多。

1. Watson 引理

　　 拉普拉斯方法基于 Watson 引理。它本身也是很有用的。

引理 1　Watson 引理

　　 设函数 $\phi:X\to Y$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上连续，序列 $\left\{\lambda_n\right\}_0^\infty\left(\lambda_n>0\right)$ 单调递增，且存在 $\delta$ 右邻域 $B_{+}(0,\delta)\;(0<\delta<\pi/2)$，使得

\begin{equation} \phi\left(t\right)\sim\sum_{n=0}^{\infty}{c_nt^{\lambda_n-1}}\quad t\to0~. \end{equation}

　　 若有常数 $c,m>0$，满足 $\phi\left(t\right) \le me^{ct},t\to+\infty$，则当 $s\to+\infty,z\in{\left\{z:\left|\arg{z}\right|\le\pi/2-\delta\right\}}$ 时，有

\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{e} ^{-zt}\phi(t) \,\mathrm{d}{t} \sim\sum_{n=0}^{\infty}{c_n}\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}} ~. \end{equation}

　　 证： 由 Laplace 的理论可知， \[ F\left(z\right)=\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}\phi\left(t\right)}\, \,\mathrm{d}{t} ~. \] 若函数 $\phi$ 满足定理中提到的三个条件，则 $F(z)$ 变换对于 $\operatorname{Re} z>c$ 是存在的。即：当 $\operatorname{Re} z>c$ 时，积分收敛。注意 式 2 意味着存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对一切的 $t\in B_{+}(0,\delta)$，总有 \[ \left|\phi\left(t\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_nt^{\lambda_n-1}}\right|\le Mt^{\lambda_N-1}~, \] 其中 $M>0$ 且为常数。同时 式 3 表明当时，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对一切的 $t$，总有 \[ \left|\phi\left(t\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_nt^{\lambda_n-1}}\right|\le K \mathrm{e} ^{ct}t^{\lambda_N-1}~, \] 其中 $K>0$ 且为常数。于是就有

\begin{align*} \left|\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}\phi\left(t\right)}\, \,\mathrm{d}{t} -\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\int_ {\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}t^{\lambda_n-1}}\, \,\mathrm{d}{t} }\right|\\ \le K\int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{e} ^{[-\operatorname{Re}z-c]t}t^{\lambda_N-1}\, \,\mathrm{d}{t} ~. \end{align*}

　　 注意到当 $\operatorname{Re}z>0$ 时 \[ \int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}t^{\lambda_n-1}}\, \,\mathrm{d}{t} =\frac{1}{z^{\lambda_n}}\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-u}u^{\lambda_n-1}}\, \,\mathrm{d}{u} =\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}}~, \] 因此

\begin{align*} \left|F(z)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}}}\right| &\le K {\Gamma(\lambda_{N})\over \operatorname{[Re}z-c]^{\lambda_N}}\nonumber\\ &=K{\Gamma(\lambda_{N})\over |z|^{\lambda_N}}\left(|z|\over \operatorname{Re}z-c\right)^{\lambda_N}\nonumber~. \end{align*}

　　 由于 $z\in{\left\{z:\left|\arg{z}\right|\le\pi/2-\delta\right\}}$，于是 $\operatorname{Re}z\geq |z|\sin \delta$。这表明当 $\left|z\right|$ 足够大时，$\operatorname{Re}z-c\geqslant1/2|z|\sin \delta$。因此 \[ F\left(z\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}}}=O\left(z^{-\lambda_N}\right)~, \] 这就证明了 Watson's 引理。

2. 拉普拉斯方法

　　 拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于式 1 得到的。作出如下假设：

  1. 函数 $\Phi,\psi:X\to Y$ 都是光滑函数。
  2. 函数 $\Phi(x)$ 在积分区间 $I=[a,b]$ 内部仅有一个严格的极小值点 $x_0\in(a,b)$，同时 $\Phi''(x_0)>0$，且 $x_0$ 是整个区间上的最小值点。
  3. 式 1 对于 $s=s_0$ 绝对收敛。
图
图 1：函数 $\Phi(x)$ 示意图

　　 于是 $\Phi'(x_0)=0$。由泰勒公式可知，存在正数 $\delta>0$，使得对于任意的 $x\in B(x_0,\delta)~,$ \[ \Phi(x)=\Phi(x_0)+\frac{1}{2}\Phi''(x_0)(x-x_0)^2+\varphi(x)(x-x_0)^3~, \]

　　 其中存在正数 $M>0$，使得函数 $|\varphi|\leq M$。当 $s$ 充分大时，邻域 $B(x_0,\delta)$ 以外的积分的贡献比 $s$ 的任何负幂次衰减得都快：根据假定 2，当 $x\in I\setminus B(x_0,\delta)$ 时，存在正数 $\varepsilon_0>0$ 使得 $\Phi(x)>\Phi(x_0)+\varepsilon_0$，从而邻域 $B(x_0,\delta)$ 之外的积分估计为

\begin{align*} \left|\int\limits_{I\setminus B(x_0,\delta)}\psi(x) \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)}\, \,\mathrm{d}{x} \right| &\leq \mathrm{e} ^{-\epsilon_0(s-s_0)}\int_I|\psi(x)| \mathrm{e} ^{-s_0\Phi(x)}\, \,\mathrm{d}{x} \nonumber\\ &\leq \mathrm{e} ^{-s_0\Phi(x_0)-\varepsilon_0s}\int_{I}|\psi(x)|\, \,\mathrm{d}{x} \nonumber~. \end{align*}

　　 而在邻域 $B(x_0,\delta)$ 内，可作如下换元：$y^2=\Phi(x)-\Phi(x_0)$，即 \[ y=\sqrt{\frac{\Phi''(x_0)}{2}}(x-x_0)\left(1+\frac{2}{\Phi''(x_0)}(x-x_0)\varphi(x)\right)^{1/2}~. \] 令 $\alpha<\beta$ 分别等于 $\pm\sqrt{\Phi(x_0\pm\delta)-\Phi(x_0)}$，又设当 $y\to0$ 时，函数 $\tilde{\psi}$ 有泰勒展开

\begin{equation} \tilde{\psi}(y):=\psi(x(y))\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }[x(y)]\sim c_0+c_1y+\cdots \quad ~ \end{equation}
（这里是进行了拉格朗日反演，显然有 $c_0=\psi(x_0)\sqrt{2/\Phi''(x_0)}$），则当 $s\to+\infty$ $$ \begin{aligned} \int_{B(x_0,\delta)}\psi(x) \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)}\, \,\mathrm{d}{x} &= \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\int_{\alpha}^{\beta}\tilde \psi(y) \mathrm{e} ^{-sy^2}\, \,\mathrm{d}{y} \\ &\sim \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\int_{0}^{\varepsilon_0}[\tilde \psi(y)+\tilde \psi(-y)] \mathrm{e} ^{-sy^2}\, \,\mathrm{d}{y} ~. \end{aligned} $$ 应用 Watson 引理，最后终于得到式 1 当 $s\to+\infty$ 时的渐近展开：
\begin{equation} L(s)\sim \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\sum_{n=0}^\infty c_{2n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)s^{-n-1/2}~, \end{equation}
其中 $c_n$ 由式 4 给出。特别地，由于 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$，式 1 渐近公式的首项是 \[ L(s)= \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\left(As^{-1/2}+O(s^{-1/2})\right)~\quad (s\to+\infty)~, \] 其中 \[ A=\sqrt{2\pi}\frac{\psi(x_0)}{(\Phi''(x_0))^{1/2}}~. \]

3. 斯特林公式

　　 拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 $\Gamma$ 函数的斯特林公式（Stirling formula）。按照定义， \[ \Gamma(s+1) =\int_0^\infty x^s \mathrm{e} ^{-x}\, \,\mathrm{d}{x} =e^{(s+1)\log s}\int_0^\infty \mathrm{e} ^{-s(x-\log x)}\, \,\mathrm{d}{x} ~. \] 最后一步换元 $x\mapsto sx$。最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设：这里 $\psi(x)\equiv1$，$\Phi(x)=x-\log x$。于是 $x=1$ 是 $\Phi(x)$ 唯一的极小值点，同时也是唯一的最小值点。代入式 5 ，就得到渐近公式 \[ \Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi s}\left(\frac{s}{ \mathrm{e} }\right)^s\quad (s\to+\infty)~. \] 式 5 还给出了更精细的渐近级数： \[ \Gamma(s+1) =\sqrt{2\pi s}\left({s\over \mathrm{e} }\right)^s \left( 1+{1\over12s}+{1\over288 s^2}+ \cdots \right)\quad (s\to+\infty)~, \] 毫无疑问这是一个可以对大的 $n$ 来近似计算 $n!$ 的公式。

                     

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