拉普拉斯方法

                     

贡献者: spain; DTSIo; addis; phywanso

预备知识 极值,积分换元,高斯积分,渐近展开, Gamma 函数

   在分析数学中,拉普拉斯渐近方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法。所考察的积分一般具有如下形式:

(1)L(s)=abesΦ(x)ψ(x)dx ,
其中 s 是正的实参数,考察当 s+ 时积分的变化趋势。拉普拉斯方法背后的想法很简单:如果函数 Φ 在某点处达到极小值,那么当 s 充分大时,只有极小值点附近的贡献才比较可观,其余部分相比起来都要小得多。

1. Watson 引理

   拉普拉斯方法基于 Watson 引理。它本身也是很有用的。

引理 1 Watson 引理

   设函数 ϕ:XYR+ 上连续,序列 {λn}0(λn>0) 单调递增,且存在 δ 右邻域 B+(0,δ)(0<δ<π/2),使得

(2)ϕ(t)n=0cntλn1t0 .

   若有常数 c,m>0,满足 ϕ(t)mect,t+,则当 s+,z{z:|argz|π/2δ} 时,有

(3)R+eztϕ(t)dtn=0cnΓ(λn)zλn .

   证: 由 Laplace 的理论可知, F(z)=R+eztϕ(t)dt . 若函数 ϕ 满足定理中提到的三个条件,则 F(z) 变换对于 Rez>c 是存在的。即:当 Rez>c 时,积分收敛。注意 式 2 意味着存在正整数 N,当 n>N 时,对一切的 tB+(0,δ),总有 |ϕ(t)n=0N1cntλn1|MtλN1 , 其中 M>0 且为常数。同时 式 3 表明当时,存在正整数 N,当 n>N 时,对一切的 t,总有 |ϕ(t)n=0N1cntλn1|KecttλN1 , 其中 K>0 且为常数。于是就有

|R+eztϕ(t)dtn=0N1cnR+ezttλn1dt|KR+e[Rezc]ttλN1dt .

   注意到当 Rez>0R+ezttλn1dt=1zλnR+euuλn1du=Γ(λn)zλn , 因此

|F(z)n=0N1cnΓ(λn)zλn|KΓ(λN)[Rezc]λN=KΓ(λN)|z|λN(|z|Rezc)λN .

   由于 z{z:|argz|π/2δ},于是 Rez|z|sinδ。这表明当 |z| 足够大时,Rezc1/2|z|sinδ。因此 F(z)n=0N1cnΓ(λn)zλn=O(zλN) , 这就证明了 Watson's 引理。

2. 拉普拉斯方法

   拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于式 1 得到的。作出如下假设:

  1. 函数 Φ,ψ:XY 都是光滑函数。
  2. 函数 Φ(x) 在积分区间 I=[a,b] 内部仅有一个严格的极小值点 x0(a,b),同时 Φ(x0)>0,且 x0 是整个区间上的最小值点。
  3. 式 1 对于 s=s0 绝对收敛。
图
图 1:函数 Φ(x) 示意图

   于是 Φ(x0)=0。由泰勒公式可知,存在正数 δ>0,使得对于任意的 xB(x0,δ) , Φ(x)=Φ(x0)+12Φ(x0)(xx0)2+φ(x)(xx0)3 ,

   其中存在正数 M>0,使得函数 |φ|M。当 s 充分大时,邻域 B(x0,δ) 以外的积分的贡献比 s 的任何负幂次衰减得都快:根据假定 2,当 xIB(x0,δ) 时,存在正数 ε0>0 使得 Φ(x)>Φ(x0)+ε0,从而邻域 B(x0,δ) 之外的积分估计为

|IB(x0,δ)ψ(x)esΦ(x)dx|eϵ0(ss0)I|ψ(x)|es0Φ(x)dxes0Φ(x0)ε0sI|ψ(x)|dx .

   而在邻域 B(x0,δ) 内,可作如下换元:y2=Φ(x)Φ(x0),即 y=Φ(x0)2(xx0)(1+2Φ(x0)(xx0)φ(x))1/2 .α<β 分别等于 ±Φ(x0±δ)Φ(x0),又设当 y0 时,函数 ψ~ 有泰勒展开

(4)ψ~(y):=ψ(x(y))ddx[x(y)]c0+c1y+ 
(这里是进行了拉格朗日反演,显然有 c0=ψ(x0)2/Φ(x0)),则当 s+ B(x0,δ)ψ(x)esΦ(x)dx=esΦ(x0)αβψ~(y)esy2dyesΦ(x0)0ε0[ψ~(y)+ψ~(y)]esy2dy . 应用 Watson 引理,最后终于得到式 1 s+ 时的渐近展开:
(5)L(s)esΦ(x0)n=0c2nΓ(n+12)sn1/2 ,
其中 cn式 4 给出。特别地,由于 Γ(1/2)=π式 1 渐近公式的首项是 L(s)=esΦ(x0)(As1/2+O(s1/2)) (s+) , 其中 A=2πψ(x0)(Φ(x0))1/2 .

3. 斯特林公式

   拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 Γ 函数的斯特林公式(Stirling formula)。按照定义, Γ(s+1)=0xsexdx=e(s+1)logs0es(xlogx)dx . 最后一步换元 xsx。最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设:这里 ψ(x)1Φ(x)=xlogx。于是 x=1Φ(x) 唯一的极小值点,同时也是唯一的最小值点。代入式 5 ,就得到渐近公式 Γ(s+1)2πs(se)s(s+) . 式 5 还给出了更精细的渐近级数: Γ(s+1)=2πs(se)s(1+112s+1288s2+)(s+) , 毫无疑问这是一个可以对大的 n 来近似计算 n! 的公式。

                     

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