拉普拉斯方法
贡献者: spain; DTSIo; addis; phywanso
预备知识 极值
,积分换元
,高斯积分
,渐近展开
, Gamma 函数
在分析数学中,拉普拉斯渐近方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法。所考察的积分一般具有如下形式:
其中 是正的实参数,考察当 时积分的变化趋势。拉普拉斯方法背后的想法很简单:如果函数 在某点处达到极小值,那么当 充分大时,只有极小值点附近的贡献才比较可观,其余部分相比起来都要小得多。
1. Watson 引理
拉普拉斯方法基于 Watson 引理。它本身也是很有用的。
引理 1 Watson 引理
设函数 在 上连续,序列 单调递增,且存在 右邻域 ,使得
若有常数 ,满足 ,则当 时,有
证:
由 Laplace 的理论可知,
若函数 满足定理中提到的三个条件,则 变换对于 是存在的。即:当 时,积分收敛。注意 式 2 意味着存在正整数 ,当 时,对一切的 ,总有
其中 且为常数。同时 式 3 表明当时,存在正整数 ,当 时,对一切的 ,总有
其中 且为常数。于是就有
注意到当 时
因此
由于 ,于是 。这表明当 足够大时,。因此
这就证明了 Watson's 引理。
2. 拉普拉斯方法
拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于式 1 得到的。作出如下假设:
- 函数 都是光滑函数。
- 函数 在积分区间 内部仅有一个严格的极小值点 ,同时 ,且 是整个区间上的最小值点。
- 式 1 对于 绝对收敛。
图 1:函数 示意图
于是 。由泰勒公式可知,存在正数 ,使得对于任意的
其中存在正数 ,使得函数 。当 充分大时,邻域 以外的积分的贡献比 的任何负幂次衰减得都快:根据假定 2,当 时,存在正数 使得 ,从而邻域 之外的积分估计为
而在邻域 内,可作如下换元:,即
令 分别等于 ,又设当 时,函数 有泰勒展开
(这里是进行了拉格朗日反演,显然有 ),则当
应用 Watson 引理,最后终于得到
式 1 当 时的渐近展开:
其中 由
式 4 给出。特别地,由于 ,
式 1 渐近公式的首项是
其中
3. 斯特林公式
拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 函数的斯特林公式(Stirling formula)。按照定义,
最后一步换元 。最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设:这里 ,。于是 是 唯一的极小值点,同时也是唯一的最小值点。代入式 5 ,就得到渐近公式
式 5 还给出了更精细的渐近级数:
毫无疑问这是一个可以对大的 来近似计算 的公式。