渐近展开

贡献者： DTSIo; addis

预备知识　泰勒级数

1. 定义辨析

　　在数学中，渐近展开（asymptotic expansion） 是用一列较简单的函数来逐次逼近给定的函数的办法。它的形式定义如下：

定义 1　渐近展开

　　设自变量 $x$ 趋于某点 $a$ (有限或无限) 时，函数序列 ${ϕ_{n} (x)}$ 满足 $ϕ_{n + 1} (x) = o (ϕ_{n} (x)), x \to a .$ 则对于给定的函数 $f$ ，称 $f (x)$ 在 $x \to a$ 时有渐近展开式

\begin{matrix} (1) & f (x) ≃ c_{0} ϕ_{0} (x) + c_{1} ϕ_{1} (x) + . . . + c_{n} ϕ_{n} (x) + . . ., x \to a \end{matrix}

是指：任何给定的

n

，皆有

\begin{matrix} (2) & f (x) = c_{0} ϕ_{0} (x) + c_{1} ϕ_{1} (x) + . . . + c_{n} ϕ_{n} (x) + o (ϕ_{n} (x)), x \to a . \end{matrix}

式 1 中的级数称为

x \to a

时

f (x)

的渐近级数。

　　一般常用的序列是单项式序列或者一般的幂函数序列。渐近展开的四则运算性质是容易验证的。

　　有如下注意事项：

一般来说，从渐近展开不能将函数还原：当 $x \to 0$ 时，函数 $f (x) \equiv 0$ 和函数 $g (x) = e^{- 1 / x^{2}}$ 都有渐近展开 $0 + 0 x + 0 x^{2} + . . . .$
渐近级数可以收敛也可以发散。式 1 只是一个形式等式，它的真正含义是式 2 ，而式 2 只表示对于固定的 $n$ ，当 $x \to a$ 时， $f (x)$ 与渐近级数的第 $n$ 项部分和相差一个高阶无穷小。
通过直接计算，可以看出渐近展开式可以逐项积分。但一般来说渐近展开式不可以逐项微分。例如， $f (x) = e^{- x} \sin (e^{2 x})$ 当 $x \to + \infty$ 时趋于零，但它的导数却根本没有极限。

2. 基本例子

例 1　泰勒展开

　　泰勒展开就是渐近展开的例子。泰勒级数不必收敛，即便收敛也不必收敛到函数本身。在函数 $e^{- 1 / x^{2}}$ 的例子中，原点处的泰勒级数与函数本身的差永远是函数本身，但显然这个差在 $x \to 0$ 时衰减得比 $x$ 的任意正幂都快。

例 2　发散级数部分和

　　如果 $f (x)$ 在 $x \geq 1$ 时是单调不减函数，那么有 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = \int_{1}^{n} f (x) d x + O (f (n)) + O (1), n \to \infty .$ 例如，如果取 $f (x) = 1 / x$ ，那么有熟知的公式 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \log n + O (1) .$ 实际上当然还可以借助更复杂的分析技巧写得再精确些，例如我们知道 $- \log n + \sum_{k = 1}^{n} 1 / k$ 的极限是存在的，也就是欧拉常数 $γ = 0.57721566 . . .$ 。更精细的渐近展开式可以由欧拉-麦克劳林公式给出。

3. 欧拉的例子

　　考察非初等的函数 $f (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t}}{x + t} d t,$ 当 $x \to + \infty$ 时的行为。欧拉将 $1 / (x + t)$ 展开为几何级数 $\sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} t^{k} / x^{k + 1}$ ，代入并计算得到如下的形式等式：

\begin{matrix} (3) & f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} k!}{x^{k + 1}} . \end{matrix}

当然，欧拉的时代还没有收敛性的观念。式 3 右边的级数对于任何

x

都不收敛，之所以出现这样的问题是因为

t

的几何级数收敛半径是有限的，于是将几何级数逐项积分的计算违反分析学的准则。

　　然而，从今天的观点看，这个等式仍然在渐近展开的意义下成立。实际上，通过换元可得 $f (x) = e^{x} \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t .$ 反复进行分部积分，得到 $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} k!}{x^{k + 1}} + (n + 1)! e^{x} \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t^{n + 2}} d t .$ 最后的这个积分可估算如下：当 $t > x$ 时 $1 / t^{n + 2} < 1 / x^{n + 2}$ ，于是

\begin{matrix} (4) & \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t^{n + 2}} d t \leq \frac{1}{x^{n + 2}} \int_{x}^{\infty} e^{- t} d t = \frac{e^{- x}}{x^{n + 2}} . \end{matrix}

这样就有

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} k!}{x^{k + 1}} + O (\frac{1}{x^{n + 2}}), x \to + \infty .

这表示式 3 在渐近展开的意义下成立。

　　特别地，这个渐近级数尽管发散，但对于大的 $x$ 却可以很好地计算 $f (x)$ 的值，因为根据估计式 4 ， $f (x)$ 同渐近级数 $n$ 项部分和之差的绝对值不超过 $\frac{(n + 1)!}{x^{n + 2}},$ 而对于大的 $x$ ，当 $n < x$ 时这个误差项随着 $n$ 的增大而减小，只有当 $n$ 大致超过 $x$ 时误差才会重新开始增大。因此，如果将渐近级数截断到大约 $x$ 项，则部分和与 $f (x)$ 之差将不超过 $1 / 2^{x}$ 。对于大的 $x$ 来说，这足以给出相当精确的近似值。

　　由这个例子可以看出渐近展开的意义：可以用一个发散级数去很好地逼近一个收敛的对象。