高斯积分

贡献者： addis

预备知识　极坐标中的二重积分

1. 第一个高斯积分

　　我们先来看一个重要的例子，再讲一般的高斯积分。

　　以下定积分被定义为一个高斯积分

\begin{matrix} (1) & I = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x . \end{matrix}

　　求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分

\begin{matrix} (2) & I^{2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- y^{2}} d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y . \end{matrix}

在极坐标系中，

r^{2} = x^{2} + y^{2}

，上式变为

\begin{matrix} (3) & I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π \int_{0}^{+ \infty} r e^{- r^{2}} d r . \end{matrix}

用换元积分法，令

t = r^{2}

，

d t = 2 r d r

，得

\begin{matrix} (4) & I^{2} = π \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = π {(- e^{- t}) |}_{0}^{+ \infty} = π, \end{matrix}

最后开方即可得到高斯积分为

\begin{matrix} (5) & I = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} . \end{matrix}

　　更一般地，由换元积分法式 5 可得

\begin{matrix} (6) & \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- a x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} (a > 0) . \end{matrix}

　　如果拓展到复数域中，还可以证明（未完成）

\begin{matrix} (7) & \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp (- a x^{2} + b x) d x = \sqrt{\frac{π}{a}} \exp (\frac{b^{2}}{4 a}) (Re [a] > 0) . \end{matrix}

　　一般来说，高斯积分指的是形如

\begin{matrix} (8) & G (n) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{n} e^{- x^{2}} d x \end{matrix}

的定积分。

　　考虑到

\begin{matrix} (9) & \int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} . \end{matrix}

我们可以利用分部积分法给

G (n)

降阶：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} G (n) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{n - 1} \cdot x e^{- x^{2}} d x \\ = x^{n - 1} \cdot {(- \frac{1}{2} e^{- x^{2}}) |}_{- \infty}^{+ \infty} + \frac{n - 1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{n - 2} e^{- x^{2}} d x \\ = \frac{n - 1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{n - 2} e^{- x^{2}} d x \\ = \frac{n - 1}{2} G (n - 2) . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此，我们只要能计算出 $G (0)$ 和 $G (1)$ ，就可以利用式 10 推出所有的高斯积分了。

　　 $G (0)$ 就是上一小节所说的 $I = \sqrt{π}$ 。 $G (1)$ 就是式 9 所计算的 $- \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$ 。