贡献者： addis
1. 第一个高斯积分
我们先来看一个重要的例子，再讲一般的高斯积分。
以下定积分被定义为一个高斯积分
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分
\begin{equation}
I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} \,\mathrm{d}{y}
=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
在极坐标系中，$r^2 = x^2 + y^2$，上式变为
\begin{equation}
I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta}
= 2\pi \int_0^{+\infty} r \mathrm{e} ^{-r^2} \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
用换元积分法，令 $t = r^2$，$ \,\mathrm{d}{t} = 2r \,\mathrm{d}{r} $，得
\begin{equation}
I^2 = \pi \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \pi \left. (- \mathrm{e} ^{-t}) \right\rvert _0^{+\infty} = \pi~,
\end{equation}
最后开方即可得到高斯积分为
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}~.
\end{equation}
更一般地，由换元积分法式 5 可得
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \qquad (a > 0)~.
\end{equation}
如果拓展到复数域中，还可以证明（未完成）
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(\frac{b^2}{4a}\right) \qquad ( \operatorname{Re} [a] > 0)~.
\end{equation}
2. 一般的高斯积分
一般来说，高斯积分指的是形如
\begin{equation}
G(n)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^n \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
的定积分。
考虑到
\begin{equation}
\int x \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} =-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}~.
\end{equation}
我们可以利用
分部积分法给 $G(n)$ 降阶：
\begin{equation}
\begin{aligned}
G(n)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-1}\cdot x \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=x^{n-1}\cdot\left.\left(-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}+\frac{n-1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-2} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{n-1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-2} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{n-1}{2}G(n-2)~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，我们只要能计算出 $G(0)$ 和 $G(1)$，就可以利用式 10 推出所有的高斯积分了。
$G(0)$ 就是上一小节所说的 $I=\sqrt{\pi}$。$G(1)$ 就是式 9 所计算的 $-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}$。