度量空间的稠密性

                     

贡献者: 零穹

    补充例子
预备知识 度量空间的闭包

   [1] 在序集中根据偏序关系有稠密性的概念。比如有理数集是实数集的稠密子集的是指任意满足 $a< b$ 的两个实数 $a,b$,恒有有理数 $c$ 存在,使得 $a\leq c\leq b$。更一般的,偏序集 $B$ 是偏序集 $A$ 的稠密子集是指,任意 $A$ 中满足 $a< b$ 的两元素 $a,b$,恒有 $c\in B$,使得 $a\leq c\leq b$(见稠密性与完备性)。也就是说:$B$ 是 $A$ 的稠密子集,相当于 $A$ 中的两元素 “之间” 都有 $B$ 的两元素将它们分隔。

   同样,在度量空间中,根据 “距离关系” 也有稠密性的概念。类比序集中的稠密性概念,我们可以猜测:度量空间 $B$ 在 $A$ 中是稠密子集,是指在 $A$ 的任意两不同的元素之间恒有 $B$ 的元素将它们分隔。即,任意 $a\neq b$ 的两元素 $a,b\in A$,恒有 $c\in B$ 存在,使得 $d(a,c)+d(c,b)=d(a,b)$。若将 $a,b$ “分半”,取它们的 “中间点”,则中间点和 $a,b$ 之间又有 $B$ 的元素将它们分隔。如此继续分下去,就会发现,任意 $A$ 的元素的任一邻域都必然存在 $B$ 的元素。即 $A$ 的每一点都是 $B$ 接触点。这就是说 $A\subset [B]$(闭包的概念)。

定义 1 稠密子集

   设 $A,B$ 是度量空间 $X$ 的两个子集。若 $A\subset [B]$,则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。若 $[A]=X$,则称 $A$ 在 $X$ 中处处稠密

   由上面定义,若 $A$ 在 $B$ 中不稠密,则 $B$ 中包含有另一与 $A$ 无任一公共点的球 $B'$。

定义 2 无处稠密

   若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 在任一球中不稠密,则称 $A$ 无处稠密(或处处不稠密)。

定义 3 可分空间

   设 $X$ 是度量空间。若 $A\subset X$ 处处稠密且可数,则称 $X$ 是可分空间


[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫,C.B.佛明.函数论与泛函分析初步(段虞荣等译)第七版

                     

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