度量空间的稠密性

                     

贡献者： 零穹

    补充例子
预备知识　度量空间的闭包

　　 [1] 在序集中根据偏序关系有稠密性的概念。比如有理数集是实数集的稠密子集的是指任意满足 a<b 的两个实数 a,b，恒有有理数 c 存在，使得 a≤c≤b。更一般的，偏序集 B 是偏序集 A 的稠密子集是指，任意 A 中满足 a<b 的两元素 a,b，恒有 c∈B，使得 a≤c≤b（见稠密性与完备性）。也就是说：B 是 A 的稠密子集，相当于 A 中的两元素 “之间” 都有 B 的两元素将它们分隔。

　　 同样，在度量空间中，根据 “距离关系” 也有稠密性的概念。类比序集中的稠密性概念，我们可以猜测：度量空间 B 在 A 中是稠密子集，是指在 A 的任意两不同的元素之间恒有 B 的元素将它们分隔。即，任意 a≠b 的两元素 a,b∈A，恒有 c∈B 存在，使得 d(a,c)+d(c,b)=d(a,b)。若将 a,b “分半”，取它们的 “中间点”,则中间点和 a,b 之间又有 B 的元素将它们分隔。如此继续分下去，就会发现，任意 A 的元素的任一邻域都必然存在 B 的元素。即 A 的每一点都是 B 接触点。这就是说 A⊂[B]（闭包的概念）。

定义 1　稠密子集

　　 设 A,B 是度量空间 X 的两个子集。若 A⊂[B]，则称 B 在 A 中稠密。若 [A]=X，则称 A 在 X 中处处稠密。

　　 由上面定义，若 A 在 B 中不稠密，则 B 中包含有另一与 A 无任一公共点的球 B′。

定义 2　无处稠密

　　 若度量空间 X 的子集 A 在任一球中不稠密，则称 A 无处稠密（或处处不稠密）。

定义 3　可分空间

　　 设 X 是度量空间。若 A⊂X 处处稠密且可数，则称 X 是可分空间。

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

                     

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