贡献者： 零穹
[1] Baire 定理是完备度量空间的一个基本定理，它告诉我们完备度量空间不可能写成可数个无处稠密集（定义 2 ）并的形式。通过它我们还能立即得到没有孤立点的任一完备度量空间是不可数的。
证明： 用反证法证明。假设定理不真，即 $X=\bigcup_{n=1}^\infty M_n$，其中每一 $M_n$ 是无处稠密集。设 $S_0$ 是某一半径为 1 的闭球，则 $M_1$ 在 $S_0$ 中不稠密。于是，存在半径小于 $1/2$ 的闭球 $S_1$，使得 $S_1\subset S_0,S_1\cap M_1=\emptyset$（根据稠密性的定义定义 1 ）。因为 $M_2$ 在 $S_1$ 中不稠密，所以存在半径小于 $1/3$ 的闭球 $S_2$ 包含在球 $S_1$ 中，使得 $S_2\cap M_2=\emptyset$。如此，我们获得了一个闭球套 $\{S_n\}$（定义 1 ），且 $S_n\cap M_n=\emptyset$。由球套定理（定理 1 ），$\bigcap_{n=1}^\infty S_n$ 包含一点 $x$。由于 $S_2\cap M_2=\emptyset$，所以 $x$ 不属于集 $M_n$ 中的任意一个。因而，$x\notin \bigcup\limits_n M_n$，即 $X$ 存在不属于 $\bigcup_{n=1}^\infty M_n$ 的点，因此 $X\neq\bigcup_{n=1}^\infty M_n$，这和我们的假设矛盾，因此定理得证。
证毕！
证明： 设 $X$ 是没有孤立点的完备空间，取其每一点 $x$ 作为一个子集 $\{x\}$，则 $X=\bigcup\limits_{x\in X}\{x\}$。由于 $X$ 无孤立点，所以任一包含点 $x\in X$ 的开球 $B(y,r)$ 都有 $X$ 的异于 $x$ 的点 $x'$ 存在，取 $0< r'<\min\{d(x,x'),r-d(x',y)\}$，则 $B(x',r')$ 是包含在 $B(y,r)$ 中的和集 $\{x\}$ 无公共点的开球。因为 $B(y,r)$ 是任意的，所以 $\{x\},x\in X$ 是无处稠密的。因此由定理 1 ，$X=\bigcup\limits_{x\in X}\{x\}$ 不是可数集，因此 $X$ 是不可数的。
证毕！
事实上，在上面推论中的证明里，我们还证明了，非孤立点构成的集一定是无处稠密的。
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版