相互作用绘景

                     

贡献者: certain_pineapple; 叶月2_

预备知识 薛定谔绘景和海森堡绘景

   在本章节中,使用上角标为 $(s)$ 代表薛定谔绘景,上角标为 $(I)$ 代表相互作用绘景,例如 $H^{(s)}$,$H^{(I)}$。

定义 1 

   不同于海森堡绘景和薛定谔绘景,在相互作用绘景里,态矢和算符都随时间而改变。薛定谔绘景中的哈密顿量可以分割为:

\begin{equation} H^{(S)}=H^{(S)}_0+V^{(S)}~. \end{equation}
分别定义 $\mathcal U^{(S)}(t)$ 为 $H^{(S)}$ 对应的时间演化算符,$\mathcal U^{(S)}_0(t)$ 为 $H^{(S)}_0$ 对应的时间演化算符,具体定义方法参考时间演化算符

   定义:

\begin{equation} \begin{aligned} |\psi^{(I)}(t)\rangle&=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger|\psi^{(S)}(t)\rangle=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle~, \\ A^{(I)}(t)&=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger A^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0 (t)~. \end{aligned} \end{equation}
上式中 $A$ 为任意算符。容易验证,在如此定义的相互作用绘景中算符平均值与在薛定谔绘景中相同。

   考虑时间演化算符满足:

\begin{equation} \begin{aligned} & \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}^{(S)}(t) = H^{(S)}(t)\mathcal{U}^{(S)}(t) \\ & \mathrm{i} \hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{U}_0^{(S)}(t) = H^{(S)}_0(t)\mathcal{U}_0^{(S)}(t)~. \end{aligned} \end{equation}

   计算相互作用绘景中算符与态矢的演化方法,(为了简洁,在推导算符随时间的变化时省略(t),不应该忘记的是,以下涉及的所有算符都是含时的。):

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}A^{(I)}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 \right)\\ &=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)\dagger}_0\right) A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 +\mathcal U^{(S)\dagger}_0 \left(\frac{\partial}{\partial t}A^{(S)}\right)\mathcal U^{(S)}_0+\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0\right)\\ &=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0 +\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}H^{(S)}_0\mathcal U^{(S)}_0+\mathcal U^{(S)\dagger}_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(A^{(S)}\right)\mathcal U^{(S)}_0 \\ &=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0 \mathcal U^{(S)}_0\right)\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0\right) +\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 A^{(S)}\mathcal U^{(S)}_0\right)\left(\mathcal U^{(S)\dagger}_0 H^{(S)}_0\mathcal U^{(S)}_0\right)+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)} \\ &=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} H^{(I)}_0 A^{(I)}+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} A^{(I)} H^{(I)}_0+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)} \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left[A^{(I)},H_0^{(I)}\right]+\left(\frac{\partial}{\partial t}A\right)^{(I)}~. \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}|\psi^{(I)}(t)\rangle&= \frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)\right)|\psi^{(S)}(0)\rangle \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\right)\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle+\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}(t)\right)|\psi^{(S)}(0)\rangle \\ &=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}_0(t)\mathcal U^{(S)}(t)|\psi^{(S)}(0)\rangle+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0(t)\right)\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t) |\psi^{(S)}(0)\rangle\right) \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}V^{(I)}(t)|\psi^{(I)}(t)\rangle~. \end{aligned} \end{equation}

   由此可见,在相互作用绘景下算符与态矢都随时间演化,且算符和态矢分别依据哈密顿量的两部分($H_0^{(I)}$ 和 $V^{(I)}$)演化。

   同样也可以计算相互作用绘景下的时间演化算符 $\mathcal U^{(I)}(t)=\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)$ 随时间的演化。:

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(I)}(t)&= \frac{\partial}{\partial t}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t)\right)\\ &=\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\right)\mathcal U^{(S)}(t)+\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial t}\mathcal U^{(S)}(t)\right) \\ &=-\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}_0(t)\mathcal U^{(S)}(t)+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger H^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}(t) \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger V^{(S)}(t)\mathcal U^{(S)}_0(t)\right)\left(\mathcal U^{(S)}_0(t)^\dagger\mathcal U^{(S)}(t) \right) \\ &=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}V^{(I)}(t)U^{(I)}(t)~. \end{aligned} \end{equation}

                     

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