转移矩阵

贡献者： JierPeter

预备知识　矢量空间的表示，相似变换和相似矩阵

1. 转移矩阵

　　给定域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维矢量空间 $V$。如果 $V$ 有两个基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$，那么由于各 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j$ 也是 $V$ 中的元素，故可以表示成 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j=\sum\limits_{i=1}^na_{ij} \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，因此我们可以把矢量也当作矩阵元素，写出以下矩阵等式：

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n)=( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} $ 就被称为基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的一个转移矩阵（transition matrix），有的地方也译作过渡矩阵。

例 1　

　　证明：转移矩阵必须是可逆矩阵。

2. 转移矩阵和基的变换

　　转移矩阵本身是表示基之间的变换的，但它也可以用来表示两个不同的基下各种表示的变换，比如向量的坐标、线性变换的矩阵等。

不同基下坐标的变换

　　如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 中，向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} = \begin{pmatrix}c_1,\cdots, c_n\end{pmatrix} ^T$，那么就有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　同样地，如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 中，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \begin{pmatrix}c'_1,\cdots, c'_n\end{pmatrix} ^T$，则也有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n) \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots \\ c_n'\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $，联立式 1 ，式 2 和式 3 即可得到：

\begin{equation} \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots\\ c_n'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix} ~, \end{equation}

　　式 4 也可以简单记为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $，或者 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{c}} $。

不同基下线性变换的矩阵的变换

　　设 $T$ 是 $V$ 上的一个线性变换，基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的转移矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '$，而 $T$ 的矩阵分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} '$。

　　 $T \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标就分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '$。由坐标的变换可知，$ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $，即 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $。

　　又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $，故有 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '$。

　　也就是说，如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 下，线性变换 $T$ 的矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，那么在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下，$T$ 的矩阵应该是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。

　　由此可见，矩阵的相似变换就是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的变换。