转移矩阵

贡献者： JierPeter

预备知识　矢量空间的表示，相似变换和相似矩阵

1. 转移矩阵

　　给定域 $F$ 上的 $n$ 维矢量空间 $V$ 。如果 $V$ 有两个基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 和 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ ，那么由于各 $e_{j}^{'}$ 也是 $V$ 中的元素，故可以表示成 $e_{j}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} e_{i}$ ，因此我们可以把矢量也当作矩阵元素，写出以下矩阵等式：

\begin{matrix} (1) & (e_{1}^{'}, \dots e_{n}^{'}) = (e_{1}, \dots e_{n}) (\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2 n} \\ ⋮ ⋱ ⋮ \\ a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n n} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　矩阵 $Q = (\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2 n} \\ ⋮ ⋱ ⋮ \\ a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n n} \end{matrix})$ 就被称为基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 到基 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 的一个转移矩阵（transition matrix），有的地方也译作过渡矩阵。

例 1　

　　证明：转移矩阵必须是可逆矩阵。

2. 转移矩阵和基的变换

　　转移矩阵本身是表示基之间的变换的，但它也可以用来表示两个不同的基下各种表示的变换，比如向量的坐标、线性变换的矩阵等。

不同基下坐标的变换

　　如果在基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 中，向量 $v$ 的坐标是列向量 $c = {(\begin{matrix} c_{1}, \dots, c_{n} \end{matrix})}^{T}$ ，那么就有

\begin{matrix} (2) & v = (e_{1}, \dots e_{n}) (\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　同样地，如果在基 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 中， $v$ 的坐标是列向量 $c^{'} = {(\begin{matrix} c_{1}^{'}, \dots, c_{n}^{'} \end{matrix})}^{T}$ ，则也有

\begin{matrix} (3) & v = (e_{1}^{'}, \dots e_{n}^{'}) (\begin{matrix} c_{1}^{'} \\ ⋮ \\ c_{n}^{'} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　考虑到 $v = v$ ，联立式 1 ，式 2 和式 3 即可得到：

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2 n} \\ ⋮ ⋱ ⋮ \\ a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1}^{'} \\ ⋮ \\ c_{n}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

　　式 4 也可以简单记为 $Q c^{'} = c$ ，或者 $c^{'} = Q^{- 1} c$ 。

不同基下线性变换的矩阵的变换

　　设 $T$ 是 $V$ 上的一个线性变换，基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 到 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 的转移矩阵是 $Q$ 。向量 $v$ 在基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 和 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 下的坐标分别是 $c$ 和 $c^{'}$ ，而 $T$ 的矩阵分别是 $M$ 和 $M^{'}$ 。

　　 $T v$ 在基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 和 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 下的坐标就分别是 $M c$ 和 $M^{'} c^{'}$ 。由坐标的变换可知， $Q M^{'} c^{'} = M c$ ，即 $M^{'} c^{'} = Q^{- 1} M c$ 。

　　又因为 $Q c^{'} = c$ ，故有 $M^{'} c^{'} = Q^{- 1} M Q c^{'}$ 。

　　也就是说，如果在基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 下，线性变换 $T$ 的矩阵是 $M$ ，那么在基 ${e_{i}^{'}}_{i = 1}^{n}$ 下， $T$ 的矩阵应该是 $Q^{- 1} M Q$ 。

　　由此可见，矩阵的相似变换就是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的变换。