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在等式与不等式中已经介绍过等式和不等式的概念，本文将专注处理恒成立的等式和不等式。恒成立指的是在给定的变量取值范围中，不论取哪个值，等式（或不等式）均成立。
在解题时
1. 恒等式
恒成立的等式称作恒等式（identities）。区分恒等式和公式（formula）。
一些常见的恒等式：
- 平方和：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
- 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- 立方和：$(a\pm b)^2=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^2$
- 立方差：$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b)$
- 三角恒等式
恒等式意味着任何点上的行为都是完全相同的，因此恒等式两侧进行求导、积分等运算均仍能保持恒等关系。
当说两个函数相等时，由于相等中包含定义域、对应关系和值域，因此，这时所说的相等是指恒等。
2. 不等式恒成立的条件
与等式的情况相同，存在某些不等式对任意变量值都成立，此时称不等式恒成立。下面介绍一些恒成立的不等式。
最值
$\max f(x),\min f(x)$
不等式恒成立条件
若给定集合 $A$，在 $A$ 上函数满足：
\begin{equation}
\displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq 0\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq 0~.
\end{equation}
，则称 $f(x)\leq 0$ 或 $f(x)\geq 0$ 在 $A$ 上恒成立。
$f(x)\leq g(x)$ 或 $f(x)\geq g(x)$ 成立的充要条件是函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 满足之前的恒成立条件。如果想要各自考虑 $f(x),g(x)$，而不是上面的方法。那么 $\max f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\min f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言是充分不必要条件。以第一个为例，成立的原因是 $f(x)\leq\max f(x)\leq\min g(x)\leq g(x)$，这是一种严格的成立，就像二者中间有一个区域，谁都不越雷池一步。
未完成：说明图，一个是彼此交错但不超过，一个是中间严格不大于。
这里容易搞混符号，注意，$\min f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\max f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言既不充分也不必要。根本上还是要记住原理。
另外如果 $g(x)=c$ 是常数，则之前的成立条件也可认为是：若在 $A$ 上函数满足：
\begin{equation}
\displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq a\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq b~.
\end{equation}
，则称 $f(x)\leq a$ 或 $f(x)\geq b$ 在 $A$ 上恒成立。
一般出现在题目中时，往往会给出一个含参的函数，如 $f(x;a,b,c)=ax^2+bx+c$ 等。这时需要根据题目的条件，利用上面的成立条件来推导。下面给出一些常用的不同的函数或运算满足的恒成立的不等式，请在使用时注意他们成立的前提条件和取等条件：
- $\forall x\in\mathbb{R},|x|\geq0$
- $\forall x\in\mathbb{R},x^{2n}\geq0\quad (n\in\mathbb{Z})$
- $\forall x\in[0,+\infty),x^{1\over2n}\geq0\quad (n\in\mathbb{Z})$
- $\forall x\in\mathbb{R},ax^2+bx+c\geq0\quad(b^2-4ac\leq0\text{且}a>0)$，大部分情况下也可以由 $c>0$ 来代替 $a>0$ 进行判定。
- $\forall x\in\mathbb{R},ax^2+bx+c\leq0\quad(b^2-4ac\leq0,a<0)$，大部分情况下也可以由 $c<0$ 来代替 $a<0$ 进行判定。
- $\forall x\in\mathbb{R},a^x>0\quad (a\in\mathbb{R}^+)$
- $\forall x\in\mathbb{R},0\leq|\sin x|\leq 1,0\leq|\cos x|\leq 1$
- $\forall x\in[-{3\pi\over4}+2k\pi,{\pi\over4}+2k\pi],\sin x\leq\cos x,\quad k\in\mathbb{Z}$
- $\forall x\in[{\pi\over4}+2k\pi,{5\pi\over4}+2k\pi],\sin x\geq\cos x,\quad k\in\mathbb{Z}$
- $\forall x\in[0,{\pi\over2}),\sin x\leq x\leq\tan x$
还有一种常见的情况，选取 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的某条切线，此时，切点往往成为取等的临界条件。比如 $\forall x\in\mathbb{R},e^x\geq x+1$ 当且仅当 $x=0$ 时成立，又如 $\forall x\in\mathbb{R}^+,\ln x\leq x-1$ 当且仅当 $x=1$ 时成立。
3. 基本不等式
基本不等式是基于 $(a-b)^2\geq0$ 得到的一组不等关系。由于 $(a-b)^2\geq0$ 恒成立，因此由此推广得到的不等式也是恒成立的。推广的过程是通过向 $a,b$ 赋值实现的，而推广后由于不等号两边的表达式均为某种均值的形式，因此基本不等式也称为均值不等式或均值定理，而由于存在多种均值，也有人称其为（均值）不等式链。
基本不等式的简易形式
下面给出的是高中要求的常见形式：
定理 1 基本不等式（简易）
\begin{equation}
{a^2+b^2\over2}\geq ab\qquad\text{或}\qquad{a+b\over2}\geq \sqrt{ab}~.
\end{equation}
当且仅当 $a=b$ 时取等。
证明过程是显然的，将 $(a-b)^2\geq0$ 打开并移项就可以得到，或后的写法也只是将 $a,b$ 替换成了 $\sqrt{a},\sqrt{b}$。但他背后的意义是深远的，一般称 $\displaystyle a+b\over2$ 为算术平均数，也就是通常生活中提到平均值时所指的数，称 $\sqrt{ab}$ 为几何平均数。几何平均数通常在计算增长率时使用，比如投资某个项目，第一年的收益率是 $4\%$，第二年是 $10\%$，则两年的平均收益率并非 $\displaystyle {4\%+10\%\over2}=7\%$，而是 $\sqrt{1.04\times1.10}-1=6.96\%$。根据基本不等式，如果直接计算算术平均数，则总会高估实际的收益率。
同时,根据 $a^2+b^2\geq2ab$ 可以得到 $2a^2+2b^2\geq a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，两侧同时开方则可得到
\begin{equation}
\sqrt{a^2+b^2\over2}\geq{a+b\over2}~.
\end{equation}
而将 $a^2+b^2\geq2ab$ 中的 $a,b$ 替换成 $\displaystyle\sqrt{1\over a},\sqrt{1\over b}$，则有 $\displaystyle{1\over a}+{1\over b}\geq{2\over\sqrt{ab}}$，即：
\begin{equation}
{2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}\leq\sqrt{ab}~.
\end{equation}
其中，$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2\over2}$ 称为平方平均数，它的特点是越大的值影响越大，或者说给予较大的值更高的权重。通常用在一些 $0$ 附近的数上，来反映波动程度。$\displaystyle{2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}$ 称为调和平均数，通常用来计算等量变化时的速率或比率，比如一段路一半以 $60{\rm km/h}$ 的速度运动，另一半以 $30{\rm km/h}$ 的速度运动，那么平均速度是 $\displaystyle \frac{2}{\displaystyle\frac{1}{60} + \frac{1}{30}} = 40{\rm km/h}$，而非 $\displaystyle{60+30\over2}=45{\rm km/h}$。
注意，本节出现的 $a,b$ 都是变量，因此可以给其赋予某个数或某种函数，例如取 $\displaystyle a=x,b={1\over x}$，此时有：$\displaystyle x+{1\over x}\geq2,\quad(x>0)$
不等式链
这四种均值都有广泛的应用1。事实上，上面的四种平均数都可以扩展至多个数，对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，称
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\displaystyle Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}\\\\
\displaystyle A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\\\\
\displaystyle G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}\\\\
\displaystyle H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
\end{array}~.
\end{equation}
分别为：
- $Q$——平方平均数（Quadratic mean，或平方均值），又称均方根（root mean square，RMS），可以看作是 $\displaystyle \sum_{i=1}^nQ^2= \sum_{i=1}^na_i^2$
- $A$——算术平均数（Arithmetic mean，或算数均值），可以看作是 $\displaystyle \sum_{i=1}^nA= \sum_{i=1}^n{a_i}$
- $G$——几何平均数（Geometric mean，或几何均值），可以看作是 $\displaystyle \prod_{i=1}^nG= \prod_{i=1}^n{a_i}$
- $H$——调和平均数（Harmonic mean，或调和均值），可以看作是 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{H}= \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$
定理 2 均值不等式
对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有
\begin{equation}
Q\geq A\geq G\geq H~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2}{n}}\geq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\geq \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}~.
\end{equation}
当且仅当 $\forall 0\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 时取等。
4. *柯西不等式
柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）为两个向量或数列的内积与它们的模长之间建立了不等关系。
高中常用的二维模式如下：
\begin{equation}
\left( a^2 + b^2\right) \left(c^2 + d^2 \right) \geq \left( ac+bd \right)^2~.
\end{equation}
多维模式如下：
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2~.
\end{equation}
证明：在几何上，柯西不等式可以通过向量内积和向量模的关系得到解释。设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是两个向量，则它们的内积可以表示为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta~.$$
其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。根据 $\cos \theta$ 的取值范围，显然有：
$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|~.$$
这就是柯西不等式的向量形式。等号成立的条件是当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时，即两个向量平行。
5. *排序不等式
假设有两列数字 $a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$。若 $\forall 1\leq i< j\leq n,a_i\leq a_j\land b_i\leq b_j$ 则称二者为顺序排列，也就是两个序列的增长方向相同。若 $\forall 1\leq i< j\leq n,a_i\leq a_j\land b_i\geq b_j$，则称二者为逆序排列，也就是两个序列的增长方向相反。其他排列方式称为乱序排列。排序不等式表示：逆序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序和，规范表述如下：
定理 3 排序不等式
设两列数字 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，两列数分别满足 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ 和 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$。那么有如下不等式：
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i}~,
\end{equation}
其中 $\sigma$ 表示对 ${1, 2, \cdots, n}$ 的非顺序、逆序的任意排列，当且仅当 $\forall 1\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 或 $\forall 1\leq i,j\leq n,b_i=b_j$ 时，等号成立。
排序不等式可以证明基本不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等其他恒成立的不等式。
引理 1 若 $a\geq b,m\geq n$，则 $am+bn\geq an+bm$
证明：
取 $a=b+k,m=n+p$，则 $k,p\geq0$，代入有：
\begin{equation}
\begin{split}
am+bn&= (b+k)m+(a-k)n \\
&= bm+an+kp \\
&\geq an+bm
\end{split}~.
\end{equation}
或者由 $a\geq b,m\geq n$ 有 $a-b\geq 0,m- n\geq0$，从而 $(a-b)(m- n)\geq0$，打开整理即可得到结论。上面两种方法都可以知道，原不等式当且仅当 $a=b$ 或 $m=n$ 时取等。
下面使用数学归纳法证明排序不等式中顺序和不小于乱序和，逆序部分同理：
1. 当 $n=1$ 时显然成立；
2. 假设当 $n$ 时，任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 时不等式均成立。当取 $n+1$ 时，$\forall 1\leq i\leq n$ 有 $a_{n+1}>a_i,b_{n+1}>b_i$，从而代入假设有：
\begin{equation}
\begin{split}
\sum_{i=1}^{n+1} a_i b_i&=\sum_{i=1}^n a_i b_i+a_{n+1}b_{n+1}\\
&\overset{\mathrm{1}}{\geq} \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} +a_{n+1}b_{n+1} \\
&\overset{\mathrm{2}}{\geq} \sum_{i=1}^{n+1} a_i b_{\sigma(i)} \\
\end{split}~.
\end{equation}
其中：第一个 $\geq$ 根据假设，成立，对应 $1$ 种乱序的情况；第二个 $\geq$ 是交换了某个 $b_{\sigma(i)}$ 和 $b_{n+1}$，此时根据
引理 1 可知，必有 $a_i b_{\sigma(i)}+a_{n+1}b_{n+1}\geq a_ib_{n+1} +a_{n+1}b_{\sigma(i)}$，分别对应 $n$ 个乱序的情况。综上，对某个 $\sigma(i)$ 乱序的前提下，添加 $a_{n+1}b_{n+1}$ 后新生成的 $n+1$ 种乱序情况均成立。由于假设任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 均成立，因此对任意的新乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n+1)$ 不等式均成立。
由数学归纳法，排序不等式恒成立。
证毕。
1. ^ 此处只给出这四种，其实有很多种均值的定义，它们也都可纳入下面的均值定理中。