恒等式与恒成立不等式（高中）

贡献者：欄、停敘

预备知识 1　等式与不等式

　　在等式与不等式中已经介绍过等式和不等式的概念，本文将专注处理恒成立的等式和不等式。恒成立指的是在给定的变量取值范围中，不论取哪个值，等式（或不等式）均成立。尽管普通的不等式方程也可说在他们的解集上恒成立，但一般来讲对不等式而言恒成立要求的取值范围更广泛一些。

1. 恒等式

　　恒成立的等式称作恒等式（identities），某些时刻为了强调恒等关系会采用 $\equiv$ 来代替 $=$ 。对于一个恒等式，等号两侧的对应参数在代数关系上也需要完全一致。这是恒等式的本质属性，也是待定系数法成立的基础。比如：若等式 $a x^{2} + b x + c = x^{2} + 2 x + 1$ 是恒等式，则必有 $a = c = 1, b = 2$ ，若不是恒等式，则需要研究方程 $(a - 1) x^{2} + (b - 2) x + (c - 1) = 0$ ，根据 $Δ = (b - 2)^{2} - 4 (a - 1) (c - 1)$ 来判断解的形式。因此，在看到等号时，及时判断其是否为恒等式影响深远。

常见恒等式

　　在高中阶段，常见的恒等式包括三角恒等式、组合恒等式以及代数运算中的恒等式，包括二项式定理（Binomial theorem）和等幂和差公式（Sum and difference of powers）。

定理 1　二项式定理

　　对两个表达式 $a$ 与 $b$ 和正整数 $n$ 有：

\begin{matrix} (1) & (a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{k} b^{n - k} . \end{matrix}

其中，

C_{n}^{k}

称作组合数，

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

，

\sum

为求和符号。两个常见的特例为：

完全平方： $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$
完全立方： $(a \pm b)^{2} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{2}$

　　完全平方和完全立方公式的 $\pm$ 符号，可以认为是 $a + (\pm b)$ ，这样就能解释拆开后的 $\pm$ 出现的规律——它们都出现在 $b$ 为奇次的项前面。

定理 2　等幂和差公式

　　两个表达式 $a$ 与 $b$ 的幂次均为 $n$ （ $n \in N$ ），则它们的差具有如下关系：

\begin{matrix} (2) & a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1}) . \end{matrix}

若

n

为奇数，则它们的和具有如下关系：

\begin{matrix} (3) & a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots + b^{n - 1}) . \end{matrix}

以下是两个常见特例：

$n = 2$ 时，称作平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
$n = 3$ 时，称作立方和、差公式 $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b)$

　　这个公式在因式分解中相当常用，另外，偶数次的和没有分解方式。

恒等式与公式、定义

　　 公式（formula）和定义（式）（definition）是两个常见且容易与恒等式混淆的概念。实际上，二者都属于恒等式的范畴，但侧重点和应用场景不同。

　　恒等式的本质在于揭示数学中的普遍规律，是一种真理性陈述。具体来说，定义式通过明确的等号，将数学对象与其性质或关系结合在一起。如果定义式不成立，就意味着相关定义已经发生改变。例如，小学时 $π$ 被定义为圆的周长与直径之比，这一关系必须恒成立，才能使 $π$ 的定义具有一致性。

　　相比之下，公式更关注变量之间的联系及其在特定情境中的应用。公式通常在约定的范围内成立，且一般应用的条件或范围也并不苛刻。以圆的面积公式 $A = π r^{2}$ 为例，这不仅揭示了圆的面积与半径之间的关系，也为具体计算提供了有力工具。公式的主要作用在于描述变量间的依赖关系，并广泛应用于问题解决的过程中。

　　除了在数学中，公式在其他学科中同样具有重要价值。例如：

在力学中，牛顿第二定律公式 $F = m a$ 描述了力、质量与加速度之间的关系；
在电学中，欧姆定律 $V = I R$ 揭示了电压、电流和电阻的依赖关系；
在计算机科学中，算法复杂度公式 $T (n) = a n^{2} + b n + c$ 用于衡量算法的时间效率。

　　综上所述，定义式提供了理论基础，确保数学对象的概念清晰和一致；而公式则更注重描述关系、解决问题的工具性。二者的不同点在物理领域将非常凸显。

与函数相关的恒等式

预备知识 2　导数

　　当讨论两个函数相等时，需明确 “相等” 的具体含义。在数学中，函数相同通常意味着它们在定义域、对应关系以及值域上完全一致，这与定义一个函数时，用一个记号 $f (x)$ 等于某个表达式一致。这时的等式就是恒等式。恒等式的一个重要性质是，它在定义域的每一点都成立，因此可以对等式两侧进行求导、积分等运算，而不改变恒等关系。

　　而对于等式 $f (x) = g (x)$ ，若它是指恒等关系，那么这一表述是平凡的，因为它只意味着改了个名称符号。因此，这种表达式出现时通常指的是条件等式，也就是方程。它仅在特定条件或某些点上成立，而通过求解可以找出使等式成立的点，这些点通常对应于两个函数的交点。对于一般的条件等式，不可以对等式两侧进行求导、积分等操作，因为条件等式仅在特定点上成立，运算可能会破坏其成立的条件，修改等式原本表达的含义。

　　例如：对 $f (x) = 2 x^{2}$ 两侧求导可以得到 $f^{'} (x) = 4 x$ ，而对 $x^{2} = 2 x + 4$ 两侧求导，则得到 $2 x = 2 ⟹ x = 1$ ，此时并非原方程的解¹。

2. 不等式恒成立的条件

　　与等式的情况相同，存在某些不等式对任意变量值都成立，此时称不等式恒成立。由于不等式恒成立经常做为题目背景给出，下面会在最值概念的基础上，解释一下常见的表述方式，以防看到某个不等式恒成立时，读者无法理解它背后想要传递的内容。

最值

　　 最值（extreme value）是生活中一个极为常见的概念，用来描述一组可以比较的量的范围。无论是物理上的高度、温度，还是其他可量化的数值，确定其最值可以帮助更快地掌握这些量的变化或分布情况。在数学中，最值通常分为最大值（maximum）和最小值（minimum）。对于不同的对象，最值有多种定义和表示方法，但无论形式如何，其核心目标始终是为了确定这些量的范围。例如，两个数的最值运算是最基本的情况。生活中经常遇到类似的场景，例如比较两个朋友的身高。若想知道谁更高，需要求最大值，而若想知道谁更矮，则需要求最小值。

定义 1　最值运算

　　对于两个实数 $a, b$ ，最大值运算 $max (a, b)$ 的结果定义为二者更大的值：

\begin{matrix} (4) & max (a, b) = {\begin{cases} a, a \geq b \\ b, b > a \end{cases} . \end{matrix}

最小值运算

min (a, b)

的结果定义为二者更小的值：

\begin{matrix} (5) & min (a, b) = {\begin{cases} a, a \leq b \\ b, b < a \end{cases} . \end{matrix}

　　关于对两个数进行的最值运算，有个蛮有趣的通用计算规则，或许可以帮助你理解它为什么是一个运算：

\begin{matrix} (6) & \begin{matrix} max (a, b) = \frac{a + b + | a - b |}{2} \\ min (a, b) = \frac{a + b - | a - b |}{2} \end{matrix} . \end{matrix}

　　这个计算规则，利用了绝对值隐含的不等式性质。在最值运算中，可以将多个需要比较的项用括号括起来，比如 $max (1, 2, 3, 4)$ 。然而，这种方式对项目较多的情形来说显得繁琐而冗长。为了解决这个问题，可以借助集合的概念，将多个元素集合化，然后直接对集合进行最值运算，表述为 $max {a, b, c, d}$ ，从而更直观地表达 “从一组数中找最大值” 的含义。于是有下面针对集合的最值。

定义 2　集合的最值

　　对于一个全序（total order）集 $A$ ²，集合的最值指的是最大或最小的元素，分别记作：

\begin{matrix} (7) & max A 和 min A . \end{matrix}

　　对于有限集合，最值的确定相对简单，可以通过比较直接得到。而当集合包含无限多个元素时，讨论最值的范围超出了高中数学的要求，但可以借助区间的概念进行直观理解。

　　如果一个集合是闭区间，例如 $[a, b]$ ，由于端点 $a$ 和 $b$ 属于集合，因此集合在这两个方向上都存在最值，最小值为 $a$ ，最大值为 $b$ 。相反，对于开区间 $(a, b)$ ，端点 $a$ 和 $b$ 并不属于集合。根据实数的稠密性，可以在任意给定的最值与端点之间找到其他满足条件的最值，因此无法明确确定一个最值。这种情况下，称集合的最值不存在。³

　　除了区间之外的集合，通常会由函数给出，于是得到了函数的最值。

定义 3　函数的最值

　　对定义在 $D$ 上函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in D$ 使得 $f (x_{0})$ 是 $f (x)$ 的所有值中最大的，则称 $f (x_{0})$ 为函数的最大值，记作：

\begin{matrix} (8) & f (x_{0}) = max_{x \in D} f (x) . \end{matrix}

反之，若是最小的，则称

f (x_{0})

为函数的最小值，记作：

\begin{matrix} (9) & f (x_{0}) = min_{x \in D} f (x) . \end{matrix}

　　二者其实对应的就是函数图像中的最高点和最低点。关于函数的最值，更多的研究会在函数部分展开。

不等式恒成立条件

　　若给定集合 $A$ ，在 $A$ 上函数满足：

\begin{matrix} (10) & max_{x \in A} f (x) \leq 0 或 min_{x \in A} f (x) \geq 0 . \end{matrix}

，则称

f (x) \leq 0

或

f (x) \geq 0

在

A

上恒成立。可以这么理解，如果一组数里面最大的都是负数，那么剩下的也都是负数，而反过来，如果一组数里面最小的都是正数，那么剩下的也都是正书。

　　 $f (x) \leq g (x)$ 或 $f (x) \geq g (x)$ 成立的充要条件是函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 满足之前的恒成立条件。如果想要各自考虑 $f (x), g (x)$ ，而不是上面的方法。那么 $max f (x) \leq min g (x)$ 或 $min f (x) \geq max g (x)$ 对于恒成立而言是充分不必要条件。以第一个为例，成立的原因是 $f (x) \leq max f (x) \leq min g (x) \leq g (x)$ ，这是一种严格的成立，就像二者中间有一个区域，谁都不越雷池一步。

未完成：说明图，一个是彼此交错但不超过，一个是中间严格不大于。

　　这里容易搞混符号，注意， $min f (x) \leq min g (x)$ 或 $max f (x) \geq max g (x)$ 对于恒成立而言既不充分也不必要，因为这只描述了一个值的关系，可能只有一部分点满足了大小关系，而其余则相反。

未完成：说明图，瘦高矮胖的正态分布

　　另外如果 $g (x) = c$ 是常数，则之前的成立条件也可认为是：若在 $A$ 上函数满足：

\begin{matrix} (11) & max_{x \in A} f (x) \leq a 或 min_{x \in A} f (x) \geq b . \end{matrix}

，则称

f (x) \leq a

或

f (x) \geq b

在

A

上恒成立。

　　一般出现在题目中时，往往会给出一个含参的函数，如 $f (x; a, b, c) = a x^{2} + b x + c$ 等。这时需要根据题目的条件，利用上面的成立条件来推导。下面给出一些常用的不同的函数或运算满足的恒成立的不等式，请在使用时注意他们成立的前提条件和取等条件：

表1：常见的恒成立不等式

成立前提	不等式	取等条件
$x \in R$	$\| x \| \geq 0$	$x = 0$
$x \in R$	$x^{2 n} \geq 0 (n \in Z)$	$x = 0$
$x \in [0, + \infty)$	$x^{\frac{1}{2 n}} \geq 0 (n \in Z)$	$x = 0$
$x \in R$ ， $b^{2} - 4 a c \leq 0$ 且 $a > 0$ ⁴	$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$b^{2} - 4 a c = 0$ 且 $x = - \frac{2 a}{b}$
$x \in R$ ， $b^{2} - 4 a c \leq 0$ 且 $a < 0$ ⁵	$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$b^{2} - 4 a c = 0$ 且 $x = - \frac{2 a}{b}$
$x \in R$	$a^{x} > 0 (a \in R^{+})$	-
$x \in R$	$\| \sin x \| \leq 1$	$x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$
$x \in R$	$\| \cos x \| \leq 1$	$x = k π (k \in Z)$
$x \in [0, \frac{π}{2})$	$\sin x \leq x \leq \tan x$	$x = 0$
$a > b > 0, c > 0$	$\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ ⁶	-

　　还有一种常见的情况，选取 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的某条切线，此时，切点往往成为取等的临界条件。比如 $\forall x \in R, e^{x} \geq x + 1$ 当且仅当 $x = 0$ 时成立，又如 $\forall x \in R^{+}, \ln x \leq x - 1$ 当且仅当 $x = 1$ 时成立。这往往会成为考题的考点。

3. 基本不等式

　　 基本不等式是基于 $(a - b)^{2} \geq 0$ 得到的一组不等关系。由于 $(a - b)^{2} \geq 0$ 在实数域恒成立，因此由此推广得到的不等式也是在实数域恒成立的，而在复数域则不具备这种关系。推广的过程是通过向 $a, b$ 赋值实现的，而推广后由于不等号两边的表达式均为某种均值的形式，因此基本不等式也称为均值不等式，而由于存在多种均值，也有人称其为（均值）不等式链。

基本不等式的简易形式

　　下面给出的是高中要求的常见形式：

定理 3　基本不等式（简易）

\begin{matrix} (12) & \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b 或 \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} . \end{matrix}

当且仅当

a = b

时取等。

　　证明过程是显然的，将 $(a - b)^{2} \geq 0$ 打开并移项就可以得到，或后的写法也只是将 $a, b$ 替换成了 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ 。但他背后的意义是深远的，一般称 $\frac{a + b}{2}$ 为算术平均数（Arithmetic mean，或算数均值），也就是通常生活中提到平均值时所指的数，称 $\sqrt{a b}$ 为几何平均数（Geometric mean，或几何均值）。几何平均数通常在计算增长率时使用，比如投资某个项目，第一年的收益率是 $4 %$ ，第二年是 $10 %$ ，则两年的平均收益率并非 $\frac{104 % + 110 %}{2} - 1 = 7 %$ ，而是 $\sqrt{1.04 \times 1.10} - 1 = 6.96 %$ 。根据基本不等式，如果直接计算算术平均数，则总会高估实际的收益率。

　　同时，根据 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ 可以得到 $2 a^{2} + 2 b^{2} \geq a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ，两侧同时开方则有：

\begin{matrix} (13) & \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

而将

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

中的

a, b

替换成

\sqrt{\frac{1}{a}}, \sqrt{\frac{1}{b}}

，则有

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}

，即：

\begin{matrix} (14) & \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} . \end{matrix}

其中，

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

称为平方平均数（Quadratic mean，或平方均值），它的特点是越大的值影响越大，或者说给予较大的值更高的权重。通常用在一些

0

附近的数上，来反映波动程度。

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

称为调和平均数（Harmonic mean，或调和均值），通常用来计算等量变化时的速率或比率，比如一段路一半以

60 k m / h

的速度运动，另一半以

30 k m / h

的速度运动，那么平均速度是

\frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{30}} = 40 k m / h

，而非

\frac{60 + 30}{2} = 45 k m / h

。

　　注意，本节出现的 $a, b$ 都是变量，因此可以给其赋予某个数或某种函数，例如取 $a = x, b = \frac{1}{x}$ ，此时有： $x + \frac{1}{x} \geq 2, (x > 0)$

*不等式链

　　下面的内容高中目前不再涉及，作为开阔视野。这四种均值都有广泛的应用⁷。事实上，上面的四种平均数都可以扩展至多个数，对于一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，有如表 2 所示的均值形式。

表2：常见平均数（或均值）

名称	常用字母	表达式	与数列的关系
平方平均数⁸	$Q$	$\sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}$	$\sum_{i = 1}^{n} Q^{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}$
算术平均数	$A$	$\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$	$\sum_{i = 1}^{n} A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
几何平均数	$G$	$\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}}$	$\prod_{i = 1}^{n} G = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$
调和平均数	$H$	$\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}$	$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{H} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}$

　　在表 2 中，有一列展示了不同均值与数列的关系。通过分析这一列的表达式，可以清晰地理解每种均值的具体形式是如何得出的。这些表达式揭示了每种均值的计算方法和背后的数学结构，同时也提示了不同均值适用的情境。定理 4 是从之前的简单形式推广得到的，此处不加证明地给出。

定理 4　均值不等式

　　对于一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，有

\begin{matrix} (15) & Q \geq A \geq G \geq H . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (16) & \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}{n}} \geq \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{n} \geq \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}} \geq \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}} . \end{matrix}

当且仅当

\forall 0 \leq i, j \leq n, a_{i} = a_{j}

时取等。

**4. *排序不等式**

　　假设有两列数字 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 。当满足条件 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_{i} \leq a_{j} \land b_{i} \leq b_{j}$ 时，称这两列为顺序排列（increasingly ordered），即两个序列的增长方向一致。当满足 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_{i} \leq a_{j} \land b_{i} \geq b_{j}$ 时，则称为逆序排列（decreasingly ordered），表示两个序列的增长方向相反。若不满足以上任一条件的排列方式，则称为乱序排列（unordered），即增长方向无规则。

　　基于上述定义，可以使用排序不等式来比较不同排列的和的大小关系。排序不等式表明：逆序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序和。这一不等式的证明基于数学归纳法和两非正数之积非负的性质，因此排序不等式的使用范围也与均值不等式相同。事实上，可以使用排序不等式证明基本不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等其他恒成立的不等式。它的规范表述如下：

定理 5　排序不等式

　　设两列数字 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，两列数分别满足 $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}$ 和 $b_{1} \leq b_{2} \leq \dots \leq b_{n}$ 。那么有如下不等式：

\begin{matrix} (17) & \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{σ (i)} \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{n + 1 - i}, \end{matrix}

其中

σ

表示对

1, 2, \dots, n

的非顺序、逆序的任意排列，当且仅当

\forall 1 \leq i, j \leq n, a_{i} = a_{j}

或

\forall 1 \leq i, j \leq n, b_{i} = b_{j}

时，等号成立。

　　由于证明方法只使用了高中常见的方法，下面给出证明过程。

引理 1　若 $a \geq b, m \geq n$ ，则 $a m + b n \geq a n + b m$

　　证明：

　　取 $a = b + k, m = n + p$ ，则 $k, p \geq 0$ ，代入有：

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} a m + b n & = (b + k) m + (a - k) n \\ = b m + a n + k p \\ \geq a n + b m \end{aligned} . \end{matrix}

或者由

a \geq b, m \geq n

有

a - b \geq 0, m - n \geq 0

，从而

(a - b) (m - n) \geq 0

，打开整理即可得到结论。上面两种方法都可以知道，原不等式当且仅当

a = b

或

m = n

时取等。

　　下面使用数学归纳法证明排序不等式中顺序和不小于乱序和，逆序部分同理：

　　 1. 当 $n = 1$ 时显然成立；

　　 2. 假设当 $n$ 时，任意乱序 $σ (i), (1 \leq i \leq n)$ 时不等式均成立。当取 $n + 1$ 时， $\forall 1 \leq i \leq n$ 有 $a_{n + 1} > a_{i}, b_{n + 1} > b_{i}$ ，从而代入假设有：

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} b_{i} & = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} + a_{n + 1} b_{n + 1} \\ \overset{1}{\geq} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{σ (i)} + a_{n + 1} b_{n + 1} \\ \overset{2}{\geq} \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} b_{σ (i)} \end{aligned} . \end{matrix}

其中：第一个

\geq

根据假设，成立，对应

1

种乱序的情况；第二个

\geq

是交换了某个

b_{σ (i)}

和

b_{n + 1}

，此时根据引理 1 可知，必有

a_{i} b_{σ (i)} + a_{n + 1} b_{n + 1} \geq a_{i} b_{n + 1} + a_{n + 1} b_{σ (i)}

，分别对应

n

个乱序的情况。综上，对某个

σ (i)

乱序的前提下，添加

a_{n + 1} b_{n + 1}

后新生成的

n + 1

种乱序情况均成立。由于假设任意乱序

σ (i), (1 \leq i \leq n)

均成立，因此对任意的新乱序

σ (i), (1 \leq i \leq n + 1)

不等式均成立。

　　由数学归纳法，排序不等式恒成立。

　　证毕。

**5. *柯西不等式**

预备知识 3　向量，几何向量的点乘

　　 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），也称柯西不等式，为两个向量的内积（inner product）与它们的模长（norm）之间建立了重要的不等关系。柯西不等式是根据 “内积” 这种运算的定义推知的基本属性，因此所有满足 “内积” 定义要求的运算，或者说可以称为 “内积” 的运算，都会满足这个不等式⁹。

定理 6　柯西-施瓦茨不等式

　　对于具备内积运算的任意两个向量 $u, v$ ，有

\begin{matrix} (20) & | u \cdot v | \leq (u \cdot u) (v \cdot v) = ‖ u ‖ \cdot ‖ v ‖ . \end{matrix}

，当且仅当两个向量平行时取等。其中

‖ u ‖

是与内积对应的范数（norm）。

　　鉴于这部分是为开阔视野，上面采用了比较严谨的表述，但涉及到很多高中未曾了解的知识。不必担心，在高中阶段由于只涉及到几何向量的运算，这时的内积指的就是 $u \cdot v = | u | \cdot | v | \cos θ$ ，而所谓对应的 “范数” 指的就是向量的 “模长” $| u |$ 。其实这里根据 $\cos θ$ 的取值范围，显然可以得到结论。等号成立的条件是当 $θ = 0$ 或 $θ = π$ 时，即此时两个向量平行。

　　如果以高中常见的二维向量为例，利用坐标将两个向量表示出来，即 $u = (a, b), v = (c, d)$ ，就得到了下面的表达方法：

\begin{matrix} (21) & | a c + b d | \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2} + d^{2}} 或 (a c + b d)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}) . \end{matrix}

这种表示方法在高中的题目中更为常见。

　　对于多维情况，即向量的坐标是由一列数构成的时，有：

\begin{matrix} (22) & {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) . \end{matrix}

　　这个不等式不仅在几何中起作用，在数学分析、线性代数、概率等领域都非常重要。

1. ^ 当然，也不排除某些情况恰巧得到了解，但事实上是错误的，只是巧合而已，比如 $x^{2} = 2 x - 1$ 。
2. ^ 全序指整个集合中，任意两个元素都可以比较大小。
3. ^ 值得注意的是，对于开区间 $(a, b)$ ，虽然最值不存在，但端点 $a$ 和 $b$ 在数学上被称为区间的确界（supremum 和 infimum）确界是闭区间和开区间的统一描述，用于研究集合的上界与下界性质。确界并不一定属于集合，但它是所有集合元素的上界或下界中 “最紧密的界”。例如，对于 $(a, b)$ ， $a$ 是其下确界（infimum）， $b$ 是其上确界（supremum）。上面的概念会在大学接触。
4. ^ 大部分情况下也可以由 $c > 0$ 来代替 $a > 0$ 进行判定。
5. ^ 大部分情况下也可以由 $c < 0$ 来代替 $a < 0$ 进行判定。
6. ^ 这经常被称为糖水不等式，推导过程：设 $a = b + k$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c} ⟺ 1 + \frac{k}{b} < 1 + \frac{k}{b + c} ⟺ \frac{1}{b} < \frac{1}{b + c}$
7. ^ 此处只给出这四种，其实有很多种均值的定义，它们也都可纳入下面的均值不等式中。
8. ^ 也称作均方根（root mean square，RMS）
9. ^ 关于内积更详细的内容可以参考内积、内积空间。

恒等式与恒成立不等式（高中）

1. 恒等式

常见恒等式

定理 1 二项式定理

定理 2 等幂和差公式

恒等式与公式、定义

与函数相关的恒等式

2. 不等式恒成立的条件

最值

定义 1 最值运算

定义 2 集合的最值

定义 3 函数的最值

不等式恒成立条件

3. 基本不等式

基本不等式的简易形式

定理 3 基本不等式（简易）

*不等式链

定理 4 均值不等式

4. *排序不等式

定理 5 排序不等式

引理 1 若 a≥b,m≥n，则 am+bn≥an+bm

5. *柯西不等式

定理 6 柯西-施瓦茨不等式

定理 1　二项式定理

定理 2　等幂和差公式

定义 1　最值运算

定义 2　集合的最值

定义 3　函数的最值

定理 3　基本不等式（简易）

定理 4　均值不等式

**4. *排序不等式**

定理 5　排序不等式

引理 1　若 $a \geq b, m \geq n$ ，则 $a m + b n \geq a n + b m$

**5. *柯西不等式**

定理 6　柯西-施瓦茨不等式