贡献者： jingyuan
1. 定义
一般地，从 $n$ 个不同元素中，任取出 $m(m\leq n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个元素中任取 $m$ 个元素的一个组合（combination）。
从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m\leq n)$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中，任意取出 $m$ 个元素的组合数（number of combination），用符号 $C_n^m$ 表示。
我们可以从排列来推导组合，在组合中认为 ${a,b}$ 和 ${b,a}$ 是等效的，在排列中认为两者是不等的，现在我们有 $n$ 个元素，我们要从中选取 $m$ 个元素，即 $C_n^m$.
我们先根据组合的知识可以知道 $A_n^m$ 表示 $n$ 个元素，从中选取 $m$ 个再对选中的 $m$ 个元素进行全排，我们就可以得到如下公式
\begin{equation}
A_n^m = C_n^m A_m^m~.
\end{equation}
对等式进行变换，可得
\begin{equation}
C_n^m = \frac {A_n^m}{A_m^m}~.
\end{equation}
对于这个公式，我们可理解为，从排列中排除组合中认为等效的组合。
我们将
式 2 展开，可得
\begin{equation}
C_n^m = \frac{n(n -1) \cdots(n -m + 1)}{m(m-1)\cdots 1}~.
\end{equation}
进一步变换，可得
\begin{equation}
C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}~.
\end{equation}
2. 性质
我们将式 4 中的 $m$ 用 $n-(n-m) $ 代换，可得组合的性质 1
\begin{equation}
C_n^m = \frac{n!}{(n -m)![n-(n-m)]!} = C_n^{n-m}~.
\end{equation}
对于性质 1 我们可以用一种直观的方式理解，到我们取 m 个元素时，剩余的元素本身就是取 $n-m$ 个元素时的组合
当我们的总元素个数从 $n$ 变为 $n+1$ 时，我们可以分两类，一类为不包含新元素的组合，一类为包含新元素的组合，由分类加法技术原理，可得组合的性质 2
\begin{equation}
C_{n + 1}^m = C_n^m + C_n^{m -1}~.
\end{equation}
当然我们也可以对性质 2 进行数学证明，
\begin{equation}
\begin{aligned}
C_n^m + C_n^{m - 1}
&= \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m - 1)!(n - m + 1)!}\\
&= \frac{n!(n - m + 1) + n!\cdot m}{m!(n - m + 1)!}\\
&= \frac{n!(n - m + 1 + m) }{m!(n - m + 1)!}\\
&= \frac{(n + 1)!}{m!(n - m + 1)!}\\
&= C_{n + 1}^m~.
\end{aligned}
\end{equation}
下面这个公式出现在课本（人教 B 版）的《离散型随机变量的数字特征》这一章节，不要求掌握但这里还是作为拓展给出，
\begin{equation}
mC_n^m = nC_{n-1}^{m-1}~.
\end{equation}
下面给出证明，
\begin{equation}
\left.
\begin{aligned}
\text{左边} ={}& m\cdot \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!}, \\
\text{右边} ={}& n\cdot \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!},
\end{aligned}
\right\}
\implies \text{左边} = \text{右边}~.
\end{equation}
我们对式 8 进行变形可得
\begin{equation}
C_n^m = \frac{n}{m} \cdot C_{n-1}^{m-1}~.
\end{equation}