线性方程组（高中）

贡献者： LittleFeng; int256; addis; Giacomo

预备知识　解方程与解不等式

1. 低维简单例子

二元一次方程组

　　在许多实际生活中，我们往往需要解决类似的问题：

　　小明拿着家长给的 $100$ 元去超市买饮料。超市里有 $3$ 元钱一瓶的可口可乐和 $5$ 元钱一瓶的奶茶，最后他带着 $28$ 瓶饮料回家过暑假了。求问小明买了多少瓶可口可乐，多少瓶奶茶？

　　这个问题实际上是一个二元一次方程组的问题，我们设小明买了 $x$ 瓶可口可乐， $y$ 瓶奶茶，可以列出一个方程组：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} 100 & = 3 x + 5 y & (a) \\ 28 & = x + y & (b) . \end{aligned} \end{matrix}

一个简单的解决方法是计算

(a) - 3 \cdot (b)

，得到

16 = 0 x + 2 y

即

y = 8

，进一步就知道

x = 20

三元一次方程组

　　类似的在三维坐标系里面，考察三个平面： $S_{1} : x - 3 y - 2 z = 3$ ， $S_{2} : - 2 x + y - 4 z = - 9$ 与 $S_{3} : - x + 3 y - z = - 7$ 的交点。那么这个问题等价于解决如下三元一次方程组：

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} x - 3 y - 2 z & = 3 \\ - 2 x + y - 4 z & = - 9 \\ - x + 3 y - z & = - 7 . \end{aligned} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} x & = 2 \\ y & = - 1 \\ z & = 1 . \end{aligned} \end{matrix}

那么

(2, - 1, 1)

就是三维坐标系中平面

S_{1}

，

S_{2}

与

S_{3}

的交点。

2. 一般情况下的定义

　　一般的，形如：

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} & = y_{1}, \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} & = y_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} & = y_{m} . \end{aligned} \end{matrix}

的等式组统称为线性方程组，也可以根据其未知数的个数称为

n

元一次方程组。

　　其中 $x_{1} \dots x_{n}$ 为 $n$ 个未知量（又称元）， $y_{1} \dots y_{m}$ 与 $a_{1, 1}, a_{1, 2} \dots a_{1, n}, a_{2, 1} \dots a_{n, m}$ 为给定的系数。（形如 $a_{i . j}$ 的系数表示它是方程组中第 $i$ 个方程的 $x_{j}$ 对应的系数，也即第 $i$ 行第 $j$ 列系数）

3. 求解线性方程组

　　对于一个 $n$ 元一次方程组：有 $n$ 个等式的一般可解且有唯一解；低于 $n$ 个等式的将会有自由元（也就是会有未知量可以取任意实数，解不唯一）；多于 $n$ 个等式的，一般等式间有冲突，无冲突的有唯一解。

　　解不唯一的时候，可以通过假定某些未知量为常数，解出未知量之间的关系式。

　　求解线性方程组，我们考虑如下有 $n$ 个等式的 $n$ 元一次方程组，

\begin{matrix} (5) & {\begin{aligned} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} & = y_{1}, \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} & = y_{2}, \\ ⋮ \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, n} x_{n} & = y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

　　对于这样一个方程组，我们的做法是 “消元” 求解，不停地利用上面的行乘以某个倍数，使得可以与下面某行消掉一个或多个未知量（这个做法在将来会叫做初等行变换）。

　　首先我们可以通过交换各个方程（也就是各行）的顺序，让第一行的 $x_{1}$ 的系数非零。

　　我们让第一行的作用是消元掉第一行往后每行的 $x_{1}$ ，第二行的作用是消元掉第二行往后每行的 $x_{2}$ （如果第二个未知数的系数为 $0$ ，我们考虑与下面的某行交换使得他不为 $0$ ），...，第 $k$ 行的作用是消元掉第 $k$ 行往后每行的 $x_{k}$ 。这样最终最后的一行（第 $n$ 行）将只剩 $x_{n}$ 这个未知数，可以解这个一元一次方程得到其值，将其反代回上面的各个方程，在倒数第二行此时将只剩下 $x_{n - 1}$ 这个未知数，可以解得其值，再反代，...，依此类推，求得各个未知量 $x_{i}$ 的值。

　　如果中间的过程出现了某行是形如 “常数=常数” 的，这将对于一个恒成立的等式，要考虑这个方程组的其他方程，如果有解（或解不唯一）则这方程组解不唯一、如果其他方程无解则这方程组无解；如果这个等式是恒不成立的（例如得到了 $3 = 4$ ），则方程组无解。

　　下面通过举例说明解方程组的过程。

例 1　

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} = 2, & \dots (* 1) \\ 6 x_{1} + & 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} = 5, & \dots (* 2) \\ 3 x_{1} + & 2 x_{2} + 5 x_{3} + 4 x_{4} = 7, & \dots (* 3) \\ 9 x_{1} + & 3 x_{2} + 7 x_{3} + 8 x_{4} = 9 . & \dots (* 4) \end{aligned} \end{matrix}

　　解: 首先，考虑用 $(* 1)$ 式消元掉未知数 $x_{1}$ ，发现 $(* 1)$ 式的 $x_{1}$ 项系数为 $0$ ，与一个 $x_{1}$ 项系数非零的式子交换。不妨与 $(* 2)$ 式交换，得到

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + & 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} = 2, & \dots (* 1) \\ 3 x_{1} + & 2 x_{2} + 5 x_{3} + 4 x_{4} = 7, & \dots (* 3) \\ 9 x_{1} + & 3 x_{2} + 7 x_{3} + 8 x_{4} = 9 . & \dots (* 4) \end{aligned} \end{matrix}

发现第二个式子

(* 1)

不带

x_{1}

项，幸运的不用消元，跳过其，对第三个式子

(* 3)

做消元。

　　观察 $x_{1}$ 的系数比， $(* 2)$ 是 $(* 3)$ 的 $2$ 倍，故将 $(* 2) / 2$ 并与 $(* 3)$ 相减，得到 $(* 2) / 2 - (* 3)$ 的结果为 $(6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4}) / 2 - (3 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} + 4 x_{4}) = 5 / 2 - 7,$ 即 $- \frac{1}{2} x_{3} - 3 x_{4} = - \frac{9}{2},$ 可以化为 $x_{3} + 6 x_{4} = 9$ ，用这替换掉 $(* 3)$ 得到原方程组化为

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} + 6 x_{4} & = 9, & \dots (* 5) \\ 9 x_{1} + 3 x_{2} + 7 x_{3} + 8 x_{4} & = 9 . & \dots (* 4) \end{aligned} \end{matrix}

　　类似的，观察系数比，发现应当将 $(* 2) / 2 \times 3$ 后与 $(* 4)$ 相减，得到 $(* 2) / 2 \times 3 - (* 4)$ ，结果为 $(6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4}) / 2 \times 3 - (9 x_{1} + 3 x_{2} + 7 x_{3} + 8 x_{4}) = 5 / 2 \times 3 - 9,$ 即 $3 x_{2} + (13 / 2) x_{3} - 5 x_{4} = - 3 / 2,$ 可化为 $6 x_{2} + 13 x_{3} - 10 x_{4} = - 3$ ，将其替换 $(* 4)$ 后原方程组化为

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} + 6 x_{4} & = 9, & \dots (* 5) \\ 6 x_{2} + 13 x_{3} - 10 x_{4} & = - 3 . & \dots (* 6) \end{aligned} \end{matrix}

　　接下来考虑用第二个式子消掉第二个未知量 $x_{2}$ 。第二个式子 $(* 1)$ 的 $x_{2}$ 项系数不为零，不用交换。同时注意到第三个式子 $(* 5)$ 的 $x_{2}$ 项系数幸运的刚好为 $0$ 不用消元，考虑对现在的第四个式子 $(* 6)$ 做消元。

　　观察系数比，发现 $(* 1)$ 的 $x_{2}$ 项系数是 $(* 6)$ 的 $2 / 3$ ，故将 $(* 1) / (2 / 3)$ 后与 $(* 6)$ 相减，得到 $(* 1) / 2 \times 3 - (* 6)$ ，结果为 $(4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4}) / 2 \times 3 - (6 x_{2} + 13 x_{3} - 10 x_{4}) = 2 / 2 \times 3 - (- 3),$ 即 $- 7 x_{3} + (29 / 2) x_{4} = 6,$ 可化为 $- 14 x_{3} + 29 x_{4} = 12$ ，将其替换掉 $(* 6)$ ，原方程组可化为

\begin{matrix} (10) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} + 6 x_{4} & = 9, & \dots (* 5) \\ - 14 x_{3} + 29 x_{4} & = 12 . & \dots (* 7) \end{aligned} \end{matrix}

　　接下来是用第三个式子 $(* 5)$ 消元掉后面式子（实际仅有第四个式子 $(* 7)$ ）的第三个未知量 $x_{3}$ 。对比 $(* 5)$ 与 $(* 7)$ 的 $x_{3}$ 项系数比，发现 $(* 5) \times (- 14)$ 后与 $(* 6)$ 系数相同，于是考虑 $(* 5) \times (- 14) - (* 7)$ ，得到 $(x_{3} + 6 x_{4}) \times (- 14) - (- 14 x_{3} + 29 x_{4}) = 9 \times (- 14) - 12,$ 即 $- 113 x_{4} = - 138$ ，可化为 $113 x_{4} = 138$ ，将其替换掉原方程组的第四个式子，得到

\begin{matrix} (11) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 x_{4} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 x_{4} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} + 6 x_{4} & = 9, & \dots (* 5) \\ 113 x_{4} & = 138 . & \dots (* 8) \end{aligned} \end{matrix}

现在开始从下向上往回解，并反代各个未知量的值。

　　由 $(* 8)$ 可知 $x_{4} = 138 / 113$ ，将其代入其前面（在写的过程中体现为 “上面”）的式子 $(* 2), (* 1), (* 5)$ 得

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} + 2 \cdot \frac{138}{113} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 x_{3} + 3 \cdot \frac{138}{113} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} + 6 \cdot \frac{138}{113} & = 9, & \dots (* 5) \\ x_{4} & = \frac{138}{113} . \end{aligned} \end{matrix}

解倒数第二式的方程可得，

x_{3} = 189 / 113

，将其代入其前面的式子

(* 2), (* 1)

得

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 x_{2} + 9 \cdot \frac{189}{113} + 2 \cdot \frac{138}{113} & = 5, & \dots (* 2) \\ 4 x_{2} + 4 \cdot \frac{189}{113} + 3 \cdot \frac{138}{113} & = 2, & \dots (* 1) \\ x_{3} & = \frac{189}{113}, \\ x_{4} & = \frac{138}{113} . \end{aligned} \end{matrix}

解倒数第三式的方程可得，

x_{2} = - 236 / 113

，将其带入其前面的式子

(* 2)

得

\begin{matrix} (14) & {\begin{aligned} 6 x_{1} + 4 \cdot (- \frac{236}{113}) + 9 \cdot \frac{189}{113} + 2 \cdot \frac{138}{113} & = 5, & \dots (* 2) \\ x_{2} & = - \frac{236}{113}, \\ x_{3} & = \frac{189}{113}, \\ x_{4} & = \frac{138}{113} . \end{aligned} \end{matrix}

解

(* 2)

的方程得

x_{1} = - 78 / 113

。这就将所有的未知数解出，故原方程组的解为

\begin{matrix} (15) & {\begin{aligned} x_{1} & = - \frac{78}{113} \\ x_{2} & = - \frac{236}{113} \\ x_{3} & = \frac{189}{113} \\ x_{4} & = \frac{138}{113} \end{aligned} \end{matrix}

可以代回检验得这结果是正确的。

　　对于一个方程组的解不唯一的情况，一个例子是：

\begin{matrix} (16) & {\begin{aligned} x_{1} + 2 x_{2} & = 3, \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} & = 6 . \end{aligned} \end{matrix}

我们发现上面的式子乘以

3

之后与下面的式子完全相同，也就是第二个式子是 “毫无作用的”（以后会称第二个式子为可以被前面线性表示）。实际情况还可能例如

\begin{matrix} (17) & {\begin{aligned} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} & = 3, \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} + 2 x_{3} & = 6, \\ 5 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3} & = 9 . \end{aligned} \end{matrix}

我们发现第三个式子是可以被前面两个式子表示的（第二个式子的

2

倍减去第一个式子），即他可以被线性表示，所以这个方程组解不唯一。

　　类似的，如果仍为刚才这个方程组但是第三个式子右侧改为 $10$ ：

\begin{matrix} (18) & {\begin{aligned} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} & = 3, \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} + 2 x_{3} & = 6, \\ 5 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3} & = 10 . \end{aligned} \end{matrix}

这将使得第三个式子与前面两个式子冲突，也就是对应方程组无解的情况。