贡献者： LittleFeng; int256; addis; Giacomo
1. 低维简单例子
二元一次方程组
在许多实际生活中，我们往往需要解决类似的问题：
小明拿着家长给的 $100$ 元去超市买饮料。超市里有 $3$ 元钱一瓶的可口可乐和 $5$ 元钱一瓶的奶茶，最后他带着 $28$ 瓶饮料回家过暑假了。求问小明买了多少瓶可口可乐，多少瓶奶茶？
这个问题实际上是一个二元一次方程组的问题，我们设小明买了 $x$ 瓶可口可乐，$y$ 瓶奶茶，可以列出一个方程组：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
100 &= 3x + 5y & &(a)\\
28 &= x + y & &(b)~.\\
\end{aligned}\right. \end{equation}
一个简单的解决方法是计算 $(a)-3 \cdot (b)$，得到 $16 = 0x + 2y$ 即 $y = 8$，进一步就知道 $x = 20$.
三元一次方程组
类似的在三维坐标系里面，考察三个平面：$S_1:x - 3y-2z=3$，$S_2:-2x+y-4z=-9$ 与 $S_3:-x+3y-z=-7$ 的交点。
那么这个问题等价于解决如下三元一次方程组：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x - 3y - 2z &= 3\\
- 2x + y - 4z &= -9\\
- x + 3y - z &= -7~.\\
\end{aligned}\right. \end{equation}
解得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x &= 2\\
y &= -1\\
z &= 1~.\\
\end{aligned}\right. \end{equation}
那么 $(2,-1,1)$ 就是三维坐标系中平面 $S_1$，$S_2$ 与 $S_3$ 的交点。
2. 一般情况下的定义
一般的，形如：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \dots + a_{1,n}x_n &= y_1~,\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \dots + a_{2,n}x_n &= y_2~,\\
\vdots \\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \dots + a_{m,n}x_n &= y_m~. \end{aligned}\right.
\end{equation}
的等式组统称为线性方程组，也可以根据其未知数的个数称为 $n$ 元一次方程组。
其中 $x_1\dots x_n$ 为 $n$ 个未知量（又称元），$y_1\dots y_m$ 与 $a_{1,1} ,a_{1,2}\dots a_{1,n},a_{2,1} \dots a_{n,m}$ 为给定的系数。（形如 $a_{i.j}$ 的系数表示它是方程组中第 $i$ 个方程的 $x_j$ 对应的系数，也即第 $i$ 行第 $j$ 列系数）
3. 求解线性方程组
对于一个 $n$ 元一次方程组：有 $n$ 个等式的一般可解且有唯一解；低于 $n$ 个等式的将会有自由元（也就是会有未知量可以取任意实数，解不唯一）；多于 $n$ 个等式的，一般等式间有冲突，无冲突的有唯一解。
解不唯一的时候，可以通过假定某些未知量为常数，解出未知量之间的关系式。
求解线性方程组，我们考虑如下有 $n$ 个等式的 $n$ 元一次方程组，
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \dots + a_{1,n}x_n &= y_1~,\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \dots + a_{2,n}x_n &= y_2~,\\
\vdots \\
a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \dots + a_{n,n}x_n &= y_n~. \end{aligned}\right.
\end{equation}
对于这样一个方程组，我们的做法是 “消元” 求解，不停地利用上面的行乘以某个倍数，使得可以与下面某行消掉一个或多个未知量（这个做法在将来会叫做初等行变换）。
首先我们可以通过交换各个方程（也就是各行）的顺序，让第一行的 $x_1$ 的系数非零。
我们让第一行的作用是消元掉第一行往后每行的 $x_1$，第二行的作用是消元掉第二行往后每行的 $x_2$（如果第二个未知数的系数为 $0$，我们考虑与下面的某行交换使得他不为 $0$），...，第 $k$ 行的作用是消元掉第 $k$ 行往后每行的 $x_k$。这样最终最后的一行（第 $n$ 行）将只剩 $x_n$ 这个未知数，可以解这个一元一次方程得到其值，将其反代回上面的各个方程，在倒数第二行此时将只剩下 $x_{n-1}$ 这个未知数，可以解得其值，再反代，...，依此类推，求得各个未知量 $x_i$ 的值。
如果中间的过程出现了某行是形如 “常数=常数” 的，这将对于一个恒成立的等式，要考虑这个方程组的其他方程，如果有解（或解不唯一）则这方程组解不唯一、如果其他方程无解则这方程组无解；如果这个等式是恒不成立的（例如得到了 $3=4$），则方程组无解。
下面通过举例说明解方程组的过程。
例 1
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
& 4x_2 + 4x_3 + 3x_4= 2~, &\cdots (*1)\\
6x_1 + & 4x_2 + 9x_3 + 2x_4= 5~, &\cdots (*2)\\
3x_1 + & 2x_2 + 5x_3 + 4x_4= 7~, &\cdots (*3)\\
9x_1 + & 3x_2 + 7x_3 + 8x_4= 9~. &\cdots (*4)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
解:
首先，考虑用 $(*1)$ 式消元掉未知数 $x_1$，发现 $(*1)$ 式的 $x_1$ 项系数为 $0$，与一个 $x_1$ 项系数非零的式子交换。不妨与 $(*2)$ 式交换，得到
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + & 4x_2 + 9x_3 + 2x_4= 5~, &\cdots (*2)\\
& 4x_2 + 4x_3 + 3x_4= 2~, &\cdots (*1)\\
3x_1 + & 2x_2 + 5x_3 + 4x_4= 7~, &\cdots (*3)\\
9x_1 + & 3x_2 + 7x_3 + 8x_4= 9~. &\cdots (*4)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
发现第二个式子 $(*1)$ 不带 $x_1$ 项，幸运的不用消元，跳过其，对第三个式子 $(*3)$ 做消元。
观察 $x_1$ 的系数比，$(*2)$ 是 $(*3)$ 的 $2$ 倍，故将 $(*2)/2$ 并与 $(*3)$ 相减，得到 $(*2)/2-(*3)$ 的结果为
$$
(6x_1 + 4x_2 + 9x_3 + 2x_4)/2 - (3x_1 + 2x_2 + 5x_3 + 4x_4) = 5/2 - 7~,
$$
即
$$-\frac12 x_3 - 3x_4 = - \frac 92 ~,$$
可以化为 $x_3 + 6x_4 = 9$，用这替换掉 $(*3)$ 得到原方程组化为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +9x_3 + 2x_4&= 5~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +4x_3 + 3x_4&= 2~, &\cdots (*1)\\
x_3 + 6x_4 &= 9~, &\cdots (*5)\\
9x_1 + 3x_2 +7x_3 + 8x_4&= 9~. &\cdots (*4)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
类似的，观察系数比，发现应当将 $(*2)/2\times3$ 后与 $(*4)$ 相减，得到 $(*2)/2\times3-(*4)$，结果为
$$
(6x_1 + 4x_2 +9x_3 + 2x_4)/2\times3-(9x_1 + 3x_2 +7x_3 + 8x_4) = 5/2\times 3-9~,
$$
即
$$
3x_2+(13/2) x_3-5x_4 = -3/2 ~,
$$
可化为 $6x_2 + 13x_3 - 10x_4 = -3$，将其替换 $(*4)$ 后原方程组化为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +~~9x_3 + ~~2x_4&= 5~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +~~4x_3 + ~~3x_4&= 2~, &\cdots (*1)\\
x_3 + ~~6x_4 &= 9~, &\cdots (*5)\\
6x_2 + 13x_3 - 10x_4 &= -3~. &\cdots (*6)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
接下来考虑用第二个式子消掉第二个未知量 $x_2$。第二个式子 $(*1)$ 的 $x_2$ 项系数不为零，不用交换。同时注意到第三个式子 $(*5)$ 的 $x_2$ 项系数幸运的刚好为 $0$ 不用消元，考虑对现在的第四个式子 $(*6)$ 做消元。
观察系数比，发现 $(*1)$ 的 $x_2$ 项系数是 $(*6)$ 的 $2/3$，故将 $(*1)/(2/3)$ 后与 $(*6)$ 相减，得到 $(*1)/2\times 3-(*6)$，结果为
$$
(4x_2 +4x_3 + 3x_4)/2\times3-(6x_2 + 13x_3 - 10x_4)=2/2\times3-(-3)~,
$$
即
$$
-7x_3 + (29/2) x_4 = 6 ~,
$$
可化为 $-14x_3 + 29x_4 = 12$，将其替换掉 $(*6)$，原方程组可化为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +~~9x_3 + ~~2x_4&= 5~~~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +~~4x_3 + ~~3x_4&= 2~~~, &\cdots (*1)\\
x_3 + ~~6x_4 &= 9~~~, &\cdots (*5)\\
-14x_3 + 29x_4&= 12~. &\cdots (*7)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
接下来是用第三个式子 $(*5)$ 消元掉后面式子（实际仅有第四个式子 $(*7)$）的第三个未知量 $x_3$。对比 $(*5)$ 与 $(*7)$ 的 $x_3$ 项系数比，发现 $(*5) \times (-14)$ 后与 $(*6)$ 系数相同，于是考虑 $(*5)\times (-14) - (*7)$，得到
$$
(x_3+6x_4)\times (-14)-(-14x_3+29x_4)=9\times(-14)-12~,
$$
即 $ -113x_4 = -138 $，可化为 $113x_4=138$，将其替换掉原方程组的第四个式子，得到
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +9x_3 + 2x_4&= 5~~~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +4x_3 + 3x_4&= 2~~~, &\cdots (*1)\\
x_3 + 6x_4 &= 9~~~, &\cdots (*5)\\
113x_4&= 138~. &\cdots (*8)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
现在开始从下向上往回解，并反代各个未知量的值。
由 $(*8)$ 可知 $x_4 = 138/113$，将其代入其前面（在写的过程中体现为 “上面”）的式子 $(*2), (*1), (*5)$ 得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +9x_3 + 2\cdot \frac{138}{113}&= 5~~~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +4x_3 + 3\cdot \frac{138}{113}&= 2~~~, &\cdots (*1)\\
x_3 + 6\cdot \frac{138}{113} &= 9~~~, &\cdots (*5)\\
x_4 &= \frac{138}{113} ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
解倒数第二式的方程可得，$x_3 = 189/113$，将其代入其前面的式子 $(*2), (*1)$ 得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4x_2 +9\cdot \frac{189}{113} + 2\cdot \frac{138}{113}&= 5~~~, &\cdots (*2)\\
4x_2 +4\cdot \frac{189}{113} + 3\cdot \frac{138}{113}&= 2~~~, &\cdots (*1)\\
x_3 &= \frac{189}{113} ~,\\
x_4 &= \frac{138}{113} ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
解倒数第三式的方程可得，$x_2 = -236/113$，将其带入其前面的式子 $(*2)$ 得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
6x_1 + 4\cdot \left(-\frac{236}{113}\right)+9\cdot \frac{189}{113} + 2\cdot \frac{138}{113}&= 5~~~, &\cdots (*2)\\
x_2 &= -\frac{236}{113} ~,\\
x_3 &= \frac{189}{113} ~,\\
x_4 &= \frac{138}{113} ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
解 $(*2)$ 的方程得 $x_1 = -78/113$。这就将所有的未知数解出，故原方程组的解为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1 &= -\frac{78}{113}\\
x_2 &= -\frac{236}{113}\\
x_3 &= \frac{189}{113} \\
x_4 &= \frac{138}{113}
\end{aligned}\right. ~~
\end{equation}
可以代回检验得这结果是正确的。
对于一个方程组的解不唯一的情况，一个例子是：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1 + 2x_2 &= 3 ~,\\
3x_1 + 6x_2 &= 6 ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
我们发现上面的式子乘以 $3$ 之后与下面的式子完全相同，也就是第二个式子是 “毫无作用的”（以后会称第二个式子为可以被前面
线性表示）。实际情况还可能例如
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1 + ~~2x_2 + 3x_3&= 3 ~,\\
3x_1 + ~~6x_2 + 2x_3 &= 6 ~, \\
5x_1 + 10x_2 + ~~x_3 &= 9 ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
我们发现第三个式子是可以被前面两个式子表示的（第二个式子的 $2$ 倍减去第一个式子），即他可以被
线性表示，所以这个方程组解不唯一。
类似的，如果仍为刚才这个方程组但是第三个式子右侧改为 $10$：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1 + ~~2x_2 + 3x_3&= 3 ~,\\
3x_1 + ~~6x_2 + 2x_3 &= 6 ~, \\
5x_1 + 10x_2 + ~~x_3 &= 10 ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
这将使得第三个式子与前面两个式子冲突，也就是对应方程组
无解的情况。