导数（高中）

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1. 理解导数

2. 导数的定义

　　 一点的导数

　　 导数也是一个对应关系，即每个自变量都对应一个导数，因此他也是一个函数，这个函数称为导函数（不引起歧义时，简称为导数）。导函数和原本的函数是一一对应的，因此可以根据定义或求导方法，来求一个函数的导函数，这个过程就是求导。

导数的记号

　　 由于历史发展和人们长久以来的使用习惯，导函数逐渐衍生出了许多不同的记法。这些记法不仅仅是使用者的偏好选择，还与特定领域的需求和表达习惯密切相关。既为方便计算和推导，也为强调不同的数学概念。了解这些符号的使用，有助于理解求导这个运算，另外在未来见到时，也不至陌生，不要求完全掌握，看个眼熟就好。下面的符号针对函数 $y=f(x)$：

• 拉格朗日记法——$y'$ 或 $f'(x)$，好处是记法比较简洁，便于书写，缺点是难以表达较为复杂的关系。高中数学主要采用这种表示法。
• 莱布尼茨记法——$\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 或 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$，好处是在进行某些复杂运算时，分子与分母可以直接按照乘除法的规则来进行运算，降低推导的复杂度。另外，也在形式上代表着变化率。在大学阶段的数学领域主要采用这种表示方法。
• 牛顿记法——$\dot{y}$。由于在物理学中，时间是一个较为特别的变量，一般用这种方法来表示某个变量相对于时间的导数。基本只在物理学领域使用。
• 重导数记法——$f_x$，这种记法简洁紧凑，又在出现复杂关系时，避免了拉格朗日记法的问题。在偏微分方程和张量分析中常用。
• 欧拉记法——$Df(x)$，采用 $D$ 运算符。主要在大学阶段的微分方程中使用，好处是 $D^n f(x)$ 可以直接修改 $n$ 来表示进行几次求导运算。另外，将导数视为一种运算符，便于与其他运算符进行组合，适合处理复杂的微分运算。
• 差分导数——$\Delta f(x)$，对于定义域是离散的函数（一般是 $\mathbb{Z}$），通常会用这样的符号来表示它的导数，称为差分。

　　 在高中阶段，一般只要求使用拉格朗日记法，且不允许使用其他记法。其余的记法可以这样理解：

• 用 $D$ 运算符代替 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$ 中的 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }$ 就成了 $Df(x)$；
• 把 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$ 中最重要的两部分 $f,x$ 拿出来显示就成了 $f_x$；
• 在明确自变量的情况下，只强调 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 中的 $y$ 就成了 $y'$；
• $\dot{y}$ 与 $y'$ 异曲同工，只是更着眼于 “时间”；
• $\Delta f(x)$ 与 $Df(x)$ 只是因为定义域不同，处理方法不同；

3. 求导法则

　　 为记录方便，下面记 $u=f(x),v=g(x),u'=f'(x),v'=g'(x)$。

• 加减法：$(u\pm v)'=u'\pm v'$
• 乘法：$(uv)'=u'v+uv'$
• 除法：$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
• 复合函数：$(f(v))'=f'(v)v'$

4. 基本初等函数的导数推导

5. 对照表

　　 这里将常见的函数与导数对照表列出如下，方便查询。具体介绍需查看每个函数自己的页面。