基本群的计算

例 1　$S^1$ 的基本群

　　 将 $S^1$ 看成复平面上的单位圆 $\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}=\{x+y \mathrm{i} \in\mathbb{C}|x=\cos{2\pi t}, y=\sin{2\pi t}\}$。取通常的实度量空间 $\mathbb{R}$，建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$，其中 $p(t)= \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}$，则 $p$ 是一个覆叠映射。

　　 把 $S^1$ 看成 $\mathbb{R}$ 的商拓扑空间，其中等价关系 $\sim$ 为：$x\sim y\iff \left\lvert x-y \right\rvert \in\mathbb{Z}$，即把实数轴绕到周长为 $1$ 的圆上。对于圆周上任意一个点 $ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t_0}$，可以取典范邻域 $U_{t_0}=\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}|t\in(t_0-1/4, t_0+1/4)\}$。这里 $1/4$ 的选择是任意的，换成任何小于 $1/2$ 的正数也可以，我们只需要用该典范邻域来说明接下来定义的提升映射 $\tilde{f}$ 是唯一的。

　　 取 $S^1$ 的基点为 $p(0)=1$，设 $S^1$ 中有一条道路 $f:I\rightarrow S^1$。我们可以把 $f$提升为 $\mathbb{R}$ 中的道路 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $f=p\circ\tilde{f}$。如果取定 $\tilde{f}(0)=0$，那么这种提升是唯一的¹。这样，我们就可以通过唯一的提升，把道路 $f$ 都表示为 $\tilde{f}$。这样做的好处是，$\tilde{f}$ 的图像容易画出来。

　　 任意回路 $f:I\rightarrow S^1$ 表示为 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$ 后，必然是 $I\times\mathbb{R}$ 平面上，从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的一段连续函数，其中 $f(1)$ 是一个整数²。在这个例子的情况下，函数 $g$ 和 $f$ 保基点同伦当且仅当 $\tilde{g}$ 的图像也是从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的连续函数。

　　 有了以上约定，我们就可以把 $S^1$ 中的道路积表示如图。

　　 记按照以上约定所得到的 $\tilde{f}(1)$ 为回路 $f$ 的度数，记为 $ \operatorname {deg}{f}$。由图 1 易知，保基点同伦的回路都有相同的度数，并且 $ \operatorname {deg}{f_1*f_2}= \operatorname {deg}{f_1}+ \operatorname {deg}{f_2}$。

　　 因此，容易得出一维球面的基本群：$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$。

例 2　和 $S^1$ 有关的空间中的基本群

　　 由于 $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$，结合本节所述定理，我们可以轻松计算如下空间的基本群：

• 甜甜圈空间可以表示为 $S^1\times S^1$，因此其基本群为 $\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$。
• 高维甜甜圈 $S^1\times\cdots\times S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}$。
• 二阶圈图 $S^1\vee S^1$（定义 4 ）的基本群是 $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$。
• 高阶圈图 $S^1\vee\cdots\vee S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}*\cdots*\mathbb{Z}$。

例 3　莫比乌斯带的基本群

　　 莫比乌斯带 $M$ 可以通过强形变收缩（定义 3 ）来同伦于其中轴线 $S^1$，因此莫比乌斯带的基本群和 $S^1$ 一样，都是 $\mathbb{Z}$。

　　 理解莫比乌斯带基本群的难点是看出中轴线是其强形变收缩核，为了方便描述如何构造对应的强形变收缩，我们把莫比乌斯带看成射影平面挖去中心的结果，如所示。

　　 由于射影平面本身可以看成一个圆盘 $B^2$ 的商拓扑空间，我们同样可以把 $M$ 看成圆盘 $B^2$ 挖去中心后再取商拓扑，也就是看成圆环的商拓扑空间。不失一般性地，把这个圆环看成半径为 $2$ 的圆和半径为 $1$ 的圆之间的部分。取映射 $f:M\times I\rightarrow M$，其中对于任意 $(x, y)\in M, t\in I$，都有 $f((x, y), t)= (1+t/(1-\sqrt{x^2+y^2}))(x, y)$，则 $f$ 是一个强形变收缩，其收缩核就是圆环的外边缘；取商拓扑可见，这个外边缘正是莫比乌斯带的中轴线。