贡献者： JierPeter; Giacomo; addis
本节我们将介绍拓扑空间上的一个重要的代数结构，这将会是我们研究同伦（或者说拓扑空间的连续变化）的有力工具。这个结构是一个群，被称为基本群。回忆一下，在点集拓扑中我们讨论了四类同胚不变量；基本群的地位是类似的，它是同伦不变量。
我们首先将简单讨论基本群的想法是怎么来的，从直观上定义一个道路运算开始，逐渐调整定义直到满足群的四个公理。
1. 基本群的构造过程
道路类的积
一个自然的想法是，研究拓扑空间中的道路之间的运算，称这个运算为道路之间的积。这种运算首先要满足封闭性，即两个道路的积还是一条道路。最简单的情况，就是两条道路首尾相连而成一条新的道路。因此，我们首先定义道路之间的积为首尾相连：
定义 1 道路的积
给定拓扑空间 $X$ 及其上的两条道路：$f, g:I\rightarrow X$，并设 $f(1)=g(0)$，即 $f$ 的终点是 $g$ 的起点。定义 $f$ 和 $g$ 的积为 $f*g=h$，其中
\begin{equation}h= \left\{\begin{aligned} f(2t),\quad &t\in[0, 1/2]\\g(2t-1),\quad &t\in[1/2, 1]~. \end{aligned}\right. \end{equation}
显然，$h$ 也是一条道路，并且其起点是 $f$ 的起点、终点是 $g$ 的终点。
如上定义的道路 $f$ 和 $g$ 的积，虽然满足封闭性，但是并不满足结合性，这用一个简单的例子就可以说明：
习题 1 道路的积不满足结合性
取通常的一维欧几里得空间 $\mathbb{R}$。设 $\mathbb{R}$ 上有三条道路，$f=t$，$g=t+1$ 和 $h=t+2$。请验证，$(f*g)*h\not=f*(g*h)$。
简单来说，道路的积不满足结合律，是因为虽然 $(f*g)*h$ 和 $f*(g*h)$ 的轨迹是重合的，但是道路上的点走过这条轨迹的 “速度” 不一样，因此不被视作一条道路。如果我们能把 $(f*g)*h$ 和 $f*(g*h)$ 归入同一个等价类里，转而研究这种道路等价类上的运算，那么结合性就可以满足了。
为了定义这样的等价类，我们不使用一般的同伦，那样的范围太广了，以至于结构太简单；我们使用如下限制的同伦：
定义 2 保起点和终点路径同伦
如果两条道路 $f, g$ 有相同的起点和终点，$f\overset{H}{\cong}g$，且对于任何 $t\in [0, 1]$，都有 $H(0, t)=f(0)=g(0)$ 和 $H(1, t)=f(1)=g(1)$，那么我们称 $f$ 和 $g$ 是保起点和终点路径同伦的，记为 $f\dot{\cong}g$。
定义 3 道路类
给定拓扑空间 $X$。如果两条道路：$f, g:I\rightarrow X$ 满足 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$（即有相同的起点和终点），并且 $f\dot{\cong}g$，那么将它们归入同一个等价类。这样划分出的等价类，称为 $X$ 上的道路类（path class），记为 $[f]$，其中 $f$ 是 $[f]$ 中任意一条道路。
显然，如果两条道路轨迹相同，那么它们一定是在同一个道路类里的，这就解决了结合性的问题。
定义 4 道路类的积
给定拓扑空间 $X$ 和其上的两个道路类 $[f]$ 和 $[g]$。记 $[f]$ 和 $[g]$ 之间的积为 $[f]*[g]=[f*g]$。为了方便，通常也记 $[f]*[g]=[f][g]$。
要注意的是，道路类的积可以省略运算符号 $*$，但是道路的积不可以。因为道路本身还是一种映射，映射之间除了道路积，还有复合等运算；尽管道路之间通常没法复合，但是为了尽可能避免歧义，就不省略道路的积中的 $*$ 了。
基点和回路类
道路类的运算仍然有缺陷，那就是并非任意道路类之间都可以作积，必须是首尾相连的道路才行。解决这个问题很简单，就是选定一个基点，只研究同时以这个基点为起点和终点的道路类就可以了。起点和终点重合的道路，称作回路或者闭路（closed path）。如果一条回路或者回路类以 $x_0$ 为起点和终点，那么也称 $x_0$ 是该回路或者回路类的基点。
两条回路如果是保起点和终点路径同伦的，那么也可以称它们是的保基点同伦。
由道路连通分支的性质可知，选定基点以后，经过这个基点的回路都逃不出基点所在的道路连通分支。因此同伦论中研究的通常是道路连通的空间。
定义 5 回路类的集合
给定道路连通空间 $X$ 及一个基点 $x_0\in X$。记 $\Omega(X, x_0)$ 为所有以 $x_0$ 为基点的回路类的集合。
2. 基本群的定义
习题 2 基本群
给定道路连通空间 $X$ 及一个基点 $x_0\in X$。给 $\Omega(X, x_0)$ 赋予道路类的积作为运算。证明这个运算满足群的四条公理。
因此，$\Omega(X, x_0)$ 配合该运算构成一个群，记为 $\pi_1(X, x_0)$，称为 $X$ 上关于基点 $x_0$ 的基本群（fundamental group）。
习题 2 的提示：封闭性和结合性，在构造道路类的积时已经满足了——道路类的积这个概念的引入就是为了满足这两条性质的。基本群的单位元是回路类 $[e_{x_0}]$，其中 $e_{x_0}: I\rightarrow\{x_0\}$，就是随着 $t$ 变化却恒映射为 $x_0$ 的回路；回路类 $[f(t)]$ 的逆元为 $[f(t)]^{-1}=[f(1-t)]$。
注意，严格的证明需要构造出 $e_{x_0}$ 到 $f*f^{-1}$ 的同伦 $H$。
3. 基本群的例子
定理 1
一个拓扑空间是单连通空间当且仅当它基本群是平凡群。
比如欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$，球面 $S^N$（$N \geq 2$）。
定理 2
如果两个拓扑空间是同伦等价的，那么它们的基本群同构。
未完成：我们可以构造出这个同构
因为同胚比同伦更强，我们有以下推论。
推论 1
如果两个拓扑空间是同胚的，那么它们的基本群同构。
例 1 带一个孔洞的空间
考虑 $\mathbb{R}^2$ 上挖去一个点的空间 $A_1=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$，那么对于任何基点 $x_0\in A_1$，基本群 $\pi_1(A_1, x_0) \cong \mathbb{Z}$。其中正整数 $n$ 对应的回路类，是顺时针绕 $(0,0)$ 圈数为 $n$ 的回路集合，$-n$ 对应的就是逆时针绕了 $n$ 圈的回路类，$0$ 对应的就是没有绕 $(0,0)$ 的回路类。当然，也可以反过来定义 $n$ 对应逆时针绕转、$-n$ 对应顺时针绕转；
在 $\mathbb{R}^2$ 上挖去一个点 $(0, 0)$ 和挖去一个闭球（圆）$\{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ 是同胚的，因此挖去闭球的 $\mathbb{R}^2$ 的基本群也同构于 $\mathbb{Z}$；
$S^1$ 和 $A_1$ 不是同胚的，但它们是同伦等价的，因此 $S^1$ 的基本群也同构于 $\mathbb{Z}$。
例 2 带多个孔洞的空间
$\mathbb{R}^2$ 上挖去 $2$ 个孔洞，那么考虑回路类时就要区分是绕转了哪个孔洞。这样一来，挖去两个孔洞后的空间的基本群就是自由群$\langle\{x_1, x_2\}\rangle$。一般地，挖去 $k$ 个孔洞以后的空间的基本群是自由群 $\langle\{x_i|i=1, 2, \cdots, k\}\rangle$。
4. 基点的选择
在前面的论述中，我们总是说 “任意基点”，而论述的内容和具体选择哪个基点无关。事实上，在道路连通空间中讨论基本群时，确实和基点无关。
定理 3 基点的选取不影响基本群的结构
给定道路连通空间 $X$ 和两个基点 $x_0, y_0\in X$，则基本群 $\pi_1(X, x_0)$ 和 $\pi_1(X, y_0)$ 是同构的。
证明：
取 $x_0$ 到 $y_0$ 的任意道路 $h$，则以 $y_0$ 为基点的回路类 $[g]$，可以对应到以 $x_0$ 为基点的回路类 $[h][g][h]^{-1}$。记这样的对应为 $T_h: \{\text{以} y_0 \text{为基点的回路类}\}\rightarrow\{\text{以} x_0 \text{为基点的回路类}\}$，其中 $T_h([g])=[h][g][h]^{-1}$。由同伦定义可知 $T_h$ 是一个双射。
对于 $y_0$ 为基点的回路类 $[f]$ 和 $[g]$，$$T_h([f][g])=[h][f][g][h^{-1}]=[h][f][h]^{-1}[h][g][h]^{-1}=T_h([f])T_h([g])~.$$
也就是说，回路积和映射可互换顺序，意味着 $T_h$ 是一个群同态。
双射的群同态是群同构。
证毕。
既然道路连通空间中，基点的不同并不会导致基本群结构的不同，因此我们可以忽视基点的存在，而简单地称任何基点上构造的基本群都是同一个。在这种语境下，我们可以把道路连通空间的基本群记为 $\pi_1(X)$。