贡献者： JierPeter
1. 收缩核映射
首先我们要引入三个依次增强的概念。第一个是保核收缩映射，就是将拓扑空间映射到自身的子集（称为核）上，同时还保证核的元素都是映射的不动点；第二个是形变收缩映射，它是一种保核收缩映射，但是多了一个条件，要求拓扑空间中各点都连续地移动到核中；第三个是强形变收缩映射，它是一种形变收缩映射，同样多了一个条件，要求移动过程中时时刻刻保持核中的元素是不动点。
下面，我们严格描述这三个概念。
定义 1 保核收缩映射
设拓扑空间 $X$ 及其子集 $A$。如果存在一个连续映射 $f:X\rightarrow X$，使得 $f(X)=A$，并且 $\forall a\in A, f(a)=a$，那么称 $f$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个保核收缩映射，同时称 $A$ 是 $f$ 的收缩核。保核收缩映射也可以简称保核收缩。
定义 2 形变收缩映射
设拓扑空间 $X$ 及其子集 $A$。如果 $f$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个保核收缩，且 $f\cong i_X$，其中 $i_X$ 是 $X\rightarrow X$ 的恒等映射，那么称 $f$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个形变收缩映射，也可简称形变收缩。称 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核。
从映射的同伦和空间的同伦词条的习题 1 可知，同伦意味着映射的每个点都画出一条道路，或者说连续移动。因此，如果 $X$ 有一个到 $A$ 的形变收缩，那么 $X$ 中的所有点都可以同时、连续地移动到 $A$ 当中。
形变收缩是比保核收缩更强的概念，这就意味着存在某个映射，它是保核收缩，但不是形变收缩。
例 1
设 $X$ 是由平面上的一个开圆盘 $A$ 和一个与 $A$ 不相交的开圆环 $B$ 取并集而得的。简单粗暴地设映射 $f:X\rightarrow X$ 满足 $\forall a\in A, b\in B$，存在一个 $a_0\in A$，使得 $f(a)=a, f(b)=a_0$。那么 $f$ 是一个保核收缩，但不是形变收缩——很明显，$B$ 中的点无法通过一条道路连续地移动到 $a_0\in A$ 上。
定义 3 强形变收缩映射
设拓扑空间 $X$ 及其子集 $A$。如果 $f$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个形变收缩，$H:X\times I\rightarrow X$ 是从 $i_X$ 到 $f$ 的同伦，且满足 $\forall t\in I, a\in A$，有 $H(a, t)=a$，那么称 $f$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个强形变收缩映射，简称强形变收缩。称 $A$ 是 $X$ 的强形变收缩核。
强形变收缩要求在 $X$ 的各点连续移动到 $A$ 中时，$A$ 中的点本身保持不动。
从定义可以看出来，形变收缩还意味着 $X$ 和 $A$ 是同伦的空间。这启发我们对同伦的认识：同伦的空间是能够通过连续变化而变成彼此的。和同胚不同的是，同伦只要求了连续变化，并不要求双射，这就使得我们可以将多个点映射到同一个点，甚至将拓扑空间降维。弦论中，形变收缩的性质对弦的世界环性质有重要意义。
2. 可缩空间
可缩空间这一名称很直白，就是指可以被连续压缩为一个点的空间。
定义 4 零伦和可缩空间
设拓扑空间 $X$ 及其上一点 $x_0$。如果存在一个从 $X$ 到 $x_0$ 的形变收缩 $f$，那么称 $X$ 是一个可缩空间，称 $f$ 是一个零伦的映射。
例 2 锥空间
锥空间 $\widetilde{C}X$ 的定义见商拓扑的 “锥空间” 小节。对于任意的拓扑空间 $X$，其锥空间 $\widetilde{C}X$ 都是可缩的。事实上，我们可以直接写出这个收缩 $H:CX\times I\rightarrow\overline{(x, 0)}$ 如下：
$\forall x\in X, t_n\in I, $ 有 $H(\overline{(x, t_1)}, t_2)=\overline{(x, t_1t_2)}$。
也可以想象成，锥空间逐渐向顶点压缩。