单连通性

贡献者： Giacomo

预备知识　道路连通性，同伦

定义 1　单连通空间

　　一个拓扑空间 $X$ 被称为单连通空间（simply connected space）如果 $X$ 上任意一条闭合路径 $p : S^{1} \to X$ 都同伦于某一个常函数路径 $p (t) = x_{0} \in X$ 。

　　等价的，我们可以考虑保起点和终点路径同伦的回路定义 2 。

定理 1　

　　单连通空间是道路连通的。

例 1　

　　考虑二维欧几里得空间 $R^{2}$ ，它是一个单连通空间，它上面的所有回路之间都是保起点和终点路径同伦的，因此关于任何基点的回路都保基点同伦，特别的，和常函数路径同伦。

　　任意维的欧几里得空间 $R^{N}$ 都是单连通的；当 $N \geq 2$ 时，球面 $S^{N}$ 也都是单连通的。

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