覆叠空间

贡献者： JierPeter

　　 覆叠空间是一种常见的简化空间描述的方式，可以更轻松地描述许多复杂空间的性质。覆叠的思想在微分几何中极为重要，而在理论物理中也偶尔会使用该方法。

1. 覆叠的概念

　　 覆叠映射 $p$ 的逆把典范邻域 $U_x$ 映射为若干个和 $U_x$ 同胚的开集，这也可以表示为存在一个离散空间$F_x$ 使得 $p^{-1}(U_x)\approx U_x\times F_x$。

　　 需要注意的是，覆叠空间并不保证任何邻域都是典范邻域，即不是任何开集 $U$ 的逆映射 $p^{-1}(U)$ 都同构于 $U\times F$。

　　 如果 $X$ 是一个连通空间的话，我们还可以得知对于任何典范邻域 $U_x$ 对应的离散空间 $F_x$，其基数 $ \left\lvert F_x \right\rvert $ 都是一样的。这由以下定理严格描述：

　　 定理 1 意味着如果 $X$ 连通，那么其覆叠映射把它同构到 $ \left\lvert F_x \right\rvert $ 个自身的拷贝上去了，其中 $F_x$ 是任意点 $x\in X$ 的典范邻域对应的离散空间。

2. 覆叠映射的例子

例 1　

　　 取实度量空间 $\mathbb{R}$ 和复平面上的单位圆 $S^1=\{e^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}$。建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$，其中 $p(t)=e^{2\pi \mathrm{i} t}$，则 $p$ 是一个覆叠映射，$\mathbb{R}$ 是 $S^1$ 的覆叠空间。

图 1：$\mathbb{R}$ 到 $S^1$ 的覆叠映射示意图。绿色段分别表示 $S^1$ 上的一个典范邻域和它关于覆叠映射 $p$ 的原像。对整数 $n$，$p$ 都把 $(n, n+1/4)$ 映射到如图所示的四分之一圆弧上，且 $p(n)=1$，$p(n+1/4)= \mathrm{i} $。