贡献者： addis
1. 光电子动量谱
本文使用原子单位制。在计算类氢原子光电离时，当外场消失后，每个能量本征态（散射态）的概率就固定不变了。然而动量的本征态系数还是会变（除非时间无穷大）。要得到时间无穷大时电子的三维动量分布，我们可以直接将波函数投影到库仑波函数（渐进平面波）上。事实上这样的动量谱通常被称为 angular resolved energy spectrum（毕竟是能量的本征态），为了方便我们还是直接叫做动量谱。
\begin{equation}
P( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left\lvert f( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \right\rvert ^2 = \left\lvert \langle{\Psi^{(-)}_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}|{\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}\rangle \right\rvert ^2~.
\end{equation}
归一化条件为
\begin{equation}
\int P( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \,\mathrm{d}^{3}{k} = \iint P( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) k^2 \,\mathrm{d}{\Omega} \,\mathrm{d}{k} = 1~.
\end{equation}
氢原子的波函数在球坐标系中表示为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} \psi_{l,m}(r, t) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
那么
式 1 中内积的具体计算方法见
式 15 。
被电离的光电子（PE 或 photo-electron） 的能量谱如何计算呢？先看 $k$ 绝对值的概率分布 $P(k)$，其归一化为
\begin{equation}
\int_0^\infty P(k) \,\mathrm{d}{k} = 1~.
\end{equation}
对比
式 2 和
式 4 得
\begin{equation}
P(k) = k^2 \int P( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} ~.
\end{equation}
要得到能谱，使用 “
随机变量的变换” 中的方法，
\begin{equation}
P(k) \,\mathrm{d}{k} = P(E) \,\mathrm{d}{E} = P(E) \,\mathrm{d}{k^2/2} = P(E)k \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
P(E) = \frac{1}{k}P(k)~.
\end{equation}
把式 15 代入式 1 再代入式 5 得
\begin{equation}
P(k) = \sum_{l,m} \left\lvert f_{l,m}(k) \right\rvert ^2 = \frac{2}{\pi} \sum_{l,m} \left\lvert \int F_l(k, r) \psi_{l,m}(r) \,\mathrm{d}{r} \right\rvert ^2~,
\end{equation}
其中 $f_{l,m}(k) = \left\langle C_{l,m}(k) \middle| \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rangle $ 是总波函数在归一化库仑球面波上的投影。虽然这个公式看起来只包括了径向动能，但实际上也有角向的动能，体现在 $l$ 量子数里面
1。
2. 额外任意势能的平均能量
球坐标中的额外势能如果表示为式 26
\begin{equation}
V'( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} V'_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
那么对应的能量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
E' &= \left\langle \Psi \middle| V'( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \middle| \Psi \right\rangle \\
&= \sum_{l_1,m_1}\sum_{l_2,m_2}\sum_{l,m} \left\langle Y_{l_1,m_1} \middle| Y_{l,m} \middle| Y_{l_2,m_2} \right\rangle \int \psi_{l_1,m_1}^*(r) V'_{l,m}(r) \psi_{l_2,m_2}(r) \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 想一下库仑函数的微分方程中 $l$ 是如何决定角向动能的？注意与 $m$ 无关。