Gamma 函数 2
贡献者： addis
1. 极限定义
1定义复数域 $\mathbb C$ 中的 $\Gamma$ 函数为
\begin{equation}
\Gamma(z) \equiv \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n)}n^z \qquad (z \ne 0, -1, -2,\dots)~,
\end{equation}
该定义包括了 $\Gamma$ 函数的整个定义域。
2. 积分定义
Gamma 函数的积分定义式 2 也可以轻易拓展到复数域上，但同样不包含整个定义域
\begin{equation}
z! \equiv \Gamma (z + 1) = \int_0^{+\infty} t^z \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad ( \operatorname{Re} [z] > -1)~.
\end{equation}
在 $ \operatorname{Re} [z] \leqslant -1$ 的区域，积分不收敛。
3. Weierstrass 定义
预备知识 3 Euler-Mascheroni 常数
\begin{equation}
\frac{1}{\Gamma(z)} \equiv z \mathrm{e} ^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n} \right) \mathrm{e} ^{-z/n}~,
\end{equation}
其中 $\gamma = 0.57722\dots$ 是 Euler-Mascheroni 常数
。
1. ^ 参考 [1] 相关章节。
[1] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed