Gamma 函数 2

贡献者： addis

预备知识 1　Gamma 函数

1. 极限定义

　　¹定义复数域 $C$ 中的 $Γ$ 函数为

\begin{matrix} (1) & Γ (z) \equiv lim_{n \to \infty} \frac{n!}{z (z + 1) \dots (z + n)} n^{z} (z \neq 0, - 1, - 2, \dots), \end{matrix}

该定义包括了

Γ

函数的整个定义域。

预备知识 2　复变函数的积分

　　 Gamma 函数的积分定义式 2 也可以轻易拓展到复数域上，但同样不包含整个定义域

\begin{matrix} (2) & z! \equiv Γ (z + 1) = \int_{0}^{+ \infty} t^{z} e^{- t} d t (Re [z] > - 1) . \end{matrix}

在

Re [z] ⩽ - 1

的区域，积分不收敛。

预备知识 3　Euler-Mascheroni 常数

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{Γ (z)} \equiv z e^{γ z} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{z}{n}) e^{- z / n}, \end{matrix}

其中

γ = 0.57722 \dots

1. ^ 参考 [1] 相关章节。

[1] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed