充分必要条件

例 1　

　　 命题 $A$：四边形 $ABCD$ 是一个正方形。

　　 命题 $B$：四边形 $ABCD$ 的四条边相等。

　　 首先我们考虑 $A$ 对 $B$ 的关系。显然，由 $A$ 可以推出 $B$，说明 $A$ 中有充分的信息能得到 $B$，所以叫做 $B$ 的充分条件。$A$ 中包括得到 $B$ 所必要的信息，还可能包括一些其他信息，例如由命题 $A$ 可以得出四边形任意两条临边垂直。这些多出来的信息并不一定是得到 $B$ 所必须的，因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形。

　　 那如何判断 $A$ 中有没有多余的信息呢？我们可以反过来试图用 $B$ 推导命题 $A$，若原则上得不出 $A$（而不是因为我们逻辑水平不够），则证明 $A$ 中有多余的条件。这时我们说 $A$ 不是 $B$ 的必要条件，因为 $A$ 中的一些信息是多余的，也就是没有必要的。综上，$A$ 是 $B$ 的充分非必要条件。

　　 现在我们从 $B$ 的角度考虑。虽然由条件 $B$ 不能推导出条件 $A$，但是 $B$ 是 $A$ 中信息的一部分，$B$ 必须要成立才有可能使 $A$ 成立，也就是说如果 $B$ 不成立 $A$ 就不可能成立（四条边不全相等的四边形一定不是正方形）。所以说 $B$ 是 $A$ 的必要条件。另外，由 $B$ 中的少量信息不能得到 $A$，所以 $B$ 不是 $A$ 的充分条件。综上，$B$ 是 $A$ 的必要非充分条件。

例 2　

　　 命题 $A$：三角形 $X$ 的其中两内个角分别为 $90^\circ$ 和 $45^\circ$。

　　 命题 $B$：三角形 $X$ 有两个 $45^\circ$ 的内角。

　　 利用三角形三个内角和为 $180^\circ$ 的事实，可以从 $A$ 推出 $B$，说明 $A$ 是 $B$ 的充分条件，$B$ 是 $A$ 的必要条件。但也可以从 $B$ 推出 $A$，说明 $B$ 是 $A$ 的充分条件，$A$ 是 $B$ 的必要条件。所以 $A$ 和 $B$ 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件。所以我们说 $A$ 和 $B$ 互为充分必要条件。若 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件，$B$ 一定也是 $A$ 的充分必要条件。因为两种表述都意味着 $A$， $B$ 命题等效，所提供的信息都是一样的，两者都没有任何多余的或者缺失的信息。