贡献者： ACertainUser; Giacomo; addis
1尽管实际中极限的求解往往交给电脑解决，但求解极限还是高数考试中的重要环节。本文简要介绍求解极限的一些基本方法与思路。
要强调的是，极限问题千变万化，没有什么题目能只用一种方法就能解决，也没有什么能简单机械地解决任意问题的 “万能套路”。你往往需要多次运用各种方法才能得到最终的答案。解决问题的关键最终在于你的积累与灵性（多做题），而不是单纯地 “背诵方法”。
1. 基础知识
这里列举一些关于极限计算的基本知识。你需要熟悉这些内容。
- 极限的四则运算法则
- 极限与函数连续性：连续函数的极限值就是它在该点处的函数值
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \qquad \text{如果} f(x) \text{连续}~,
$$
极限运算可以 “通过” 连续函数
$$
\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) \qquad \text{如果} f(x) \text{连续}~.
$$
- 极限的有理运算性质：
可先提取极限存在且非零的乘数
$$\lim_{x\to x_0} f(x)g(x) = f(x_0)\lim_{x\to x_0} g(x)~.$$
也可先提取极限存在的加数
$$\lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) = f(x_0)+\lim_{x\to x_0} g(x)~.$$
这能帮助简化计算(为了方便展示，这里假定 $f(x)$ 连续，但这个条件其实是非必须的)。
- 导数的极限定义：有时，解决极限的办法是通过导数的定义，将其凑成某个函数的导数
- 三角函数的相关公式
- 有界函数*无穷小=0
- 洛必达法则：用来处理 $\frac{0}{0}$，$\frac{\infty}{\infty}$ 等不定式时很方便。洛必达虽好，可不要贪杯哦
- 泰勒展开：将一点处的函数换成他在该点处的泰勒展开式，从而将复杂函数化为多项式。
- 等价无穷小：也是用于将复杂的函数代换成简单的函数
- 几个常用的等式：
$$\lim_{x\to0} \frac{ \sin\left(x\right) }{x}=1~.$$
$$\lim_{x\to0} (1+x)^{1/x}=e~.$$
$$\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) =0~.$$
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...}=\frac{a_n}{b_n}~.$$
你可以使用非常简单的方法从容地 “证明” 这些等式，不过最好有个大致印象。
2. 拼凑与代换
有借有还，再借不难. 拼凑与代换的核心思路是变形待求的极限式，以配凑出容易解决的形式。当然，为了运用拼凑与代换，你先得有个目标、知道 “我想凑出什么样的形式”。这需要你知晓各种常用形式。（常用的等式、等价无穷小。。。）
拼凑与代换的基本方法包括：
- 加一项再减去相同的一项
- 乘一项再除以相同的一项
- 提取一个公因式
- 代换自变量
- ...
例 1
求解 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(3x\right) }{x}$。假设我们对等价无穷小、洛必达、泰勒等等等一无所知，我们能用的只有拼凑与代换法。
我们知道一个基本结论 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(x\right) }{x}=1$，因此我们想配凑出类似的形式。因此，我们令 $t=3x, x=t/3$，那么原式化为 $\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t/3}=3\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t}=3$.
例 2
由于很多结论都适用于 $x\to0$ 的情况，因此常通过代换变量，令自变量趋于 0. 有时这种变形会给你一些启发。
例如，若 $x\to+\infty$，则令 $t=1/x$，那么 $t\to0+$;
若 $x\to-\infty$，则令 $t=-1/x$，那么 $t\to0+$。（我们不喜欢负数，特别当他在根式中时）
3. $\infty+\infty$ 型不定式
如果两个加数均为不定式（$\infty+\infty$），将他们通分，并化为一个分式。
4. $0\cdot\infty$ 型不定式
把趋于 0 的因子移动到分母,将整体化为分式 $\frac{\infty}{\infty}$
例 3
求解 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) $
将 x 移动至分母，化为 1/x. 即 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) =\lim_{x\to0+} \frac{ \ln\left(x\right) }{1/x}$
随后运用洛必达，即有 $-\lim_{x\to0+} \frac{1/x}{1/x^2}=-\lim_{x\to0+} x=0~.$
5. 分式与根式
- 有理化。常用于出现根式相加减的情况。
- 上下同除以最高次的项
6. 幂指函数
若待求极限含有幂指函数，则可以运用指数与对数改写式子 $f(x)^{g(x)}= \mathrm{e} ^{g(x) \ln\left(f(x)\right) }$
例 4
求解 $\lim (1+f(x))^{g(x)}$，其中 $f(x)\to0$,$g(x)\to\infty$.(即 $1^\infty$ 型不定式)
这是一个幂指函数，取对数再取指数。原式化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) \ln\left(1+f(x)\right) }~.$$，运用等价无穷小，再化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}~.$$。即只要 $\lim g(x) f(x)$ 存在，原式的极限就存在，且即为 $ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}$。
有些考研教材将 $$\lim (1+f(x))^{g(x)} = \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x) } \qquad f(x) \to 0, g(x)\to\infty,\lim g(x) f(x)\text{存在}~$$作为一个基本结论。
当然，你也可以从常见等式 $e=\lim_{x\to0} (1+x)^{1/x}$ 出发，运用拼凑与代换解决问题，不过这会让问题变得过于繁琐。
7. 形式相近的项、变上限积分
若极限式中出现变上限积分，则可以运用积分中值定理。
若极限式中出现相似的结构，可以构造函数并运用 Lagrange 中值定理
例 5
求解 $$\lim_{x\to0} \frac{\int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} }{x}~.$$
一种思路是直接运用洛必达法则，即$$\lim_{x\to0} \cos\left(x\right) = 1~.$$
另一种思路是运用积分中值定理。根据中值定理，$$\exists \xi \in (0,x), \int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} = \cos\left(\xi\right) (x-0)~$$，因此原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{ \cos\left(\xi\right) x}{x} = \lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) ~$$。由于 $\xi \in (0,x)$，当 $x\to0$ 时，$\xi$别无选择，只能也趋向 0(这是可运用中值定理的重要特征；如果 $\xi$ 不趋于一个常数，这道题就无法由中值定理求解)。因此，$$\lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) =1~.$$
尽管在这里微分中值定理看起来更为繁琐，但这是因为这道题太简单了。在另一些问题中，微分中值定理比洛必达更为优雅。
例 6
求解 $$\lim_{x\to0} \frac{e^{x^2}-e^x}{x}~.$$
注意到分子的两项都是 $e^x$ 式结构，因此设 $f(x)=e^x$，原式化为$$\lim_{x\to0} \frac{f(x^2)-f(x)}{x}~.$$
根据 Lagrange 中值定理，$$\exists \xi \in (x^2,x), f(x^2)-f(x) = f'(\xi)(x^2-x)~.$$
所以原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{f'(\xi)(x^2-x)}{x}~.$$
即$$\lim_{x\to0} e^\xi(x-1)=-\lim_{x\to0} e^\xi=-1~.$$
1. ^ 本文参考了 [1]，[2] 与武忠祥的《考研高数》课程。部分例题来自练习册
[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed