贡献者： ACertainUser; addis
- 本文存在未完成的内容。
需要添加 A 的边界条件；补充相应的证明
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在解决场与势在电、磁介质边界的问题时，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用，但积分形式的麦克斯韦方程组仍然适用。（边界处的场可以是不连续的）
本文中，$\sigma_f$ 指自由面电荷密度，$\sigma$ 指总面电荷密度，即包括所有自由电荷与因介质极化而产生的感应电荷。在计算时，使用势的边界条件计算，往往比使用场更为简便。
1. 电场
E 场
\begin{equation}
E^\perp_{above} - E^\perp_{below} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\epsilon_{above}E^\perp_{above} - \epsilon_{below}E^\perp_{below} = \sigma_f~,
\end{equation}
\begin{equation}
E^\parallel_{above} - E^\parallel_{below} = 0~.
\end{equation}
D 场
\begin{equation}
D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f~,
\end{equation}
将 $D_{above}=\epsilon_{above} E, D_{below}=\epsilon_{below} E$ 代入该式，即可推导出
式 2 。
电势 $\varphi$
\begin{equation}
\varphi_{above}-\varphi_{below}=0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\epsilon_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \epsilon_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\sigma_f~.
\end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi$ 分别代入
式 1 式 2 ，即可得
式 6 式 7 。
例 1
初步说明 式 4 。
在两介质的边界处（图中所示平面）绘制一个高斯面（图中所示正方形），对其运用麦克斯韦方程组（介质）的积分形式 $\oint \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = q_f$。
当高度 $d\rightarrow0$ 时，D 场的垂直分量只存在于上下表面，即 $D^\perp_{above} A- D^\perp_{below} A= q_f$ (二者符号不同是因为积分时总是取曲面向外为面法向量的正方向)。两边同除以 A，得 $D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f$
例 2
初步说明 式 3 。
图 2：边界处的环路
在介质边界处绘制一环路。根据静电场环路性质，我们有
$$ \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l = 0~.$$
令环路的 $h\to0$，那么电场在环路垂直边上的积分就为 $0$。此时环路积分的结果只与上下边有关：
$$ E_{above}^\parallel d-E_{below}^\parallel d = 0~,$$
即
$$ E_{above}^\parallel-E_{below}^\parallel = 0~.$$
2. 磁场
B 场
\begin{equation}
B^\perp_{above} - B^\perp_{below} = 0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{K}} \times \hat n ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{\mu_{above}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \frac{1}{\mu_{below}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n ~.
\end{equation}
K: 面电流密度
H 场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n~.
\end{equation}
式 10 是他的推论。
磁标势 $\varphi$ (如果有定义)
\begin{equation}
\varphi_{above}-\varphi_{below}=0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mu_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \mu_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = 0~.
\end{equation}
1. ^ 本文参考自 [1] 与周磊教授的讲义。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
