Wigner 基本定理

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　量子力学的基本原理（量子力学）

　　 Wigner 基本定理是说，量子态的对称变换一定能表示成希尔伯特空间中的对称算子或反对称算子。在 Weinberg 的量子场论第一卷 [1] 中也将其称为 “对称表示定理（symmetry representation theorem）”。

1. 定理描述

　　 量子力学认为量子态构成一个希尔伯特空间，其中互为倍数的量子态是等价的（定义 3 ）。为了方便，我们可以限定只讨论模为 $1$ 的那些量子态，也可以说我们讨论的不是矢量，而是射线（ray）。当然，如果觉得射线的语言不好理解，也可以只考虑归一化的态矢，不影响对定理的理解和表述。

　　 希尔伯特空间 $H$ 中的射线构成 $H$ 的一个商集1$\mathbb{P}H$，定义为 ${\displaystyle \mathbb {P} H=H\setminus \{0\}/{\approx }}$。其中等价关系 $\approx$ 就是量子态等价的定义，即 $ \left\lvert s_1 \right\rangle \approx \left\lvert s_2 \right\rangle \iff \exists c\in\mathbb{C}, \left\lvert s_1 \right\rangle =c \left\lvert s_2 \right\rangle $。

　　 量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 所在的射线，或者说能表示这一量子态的所有右矢的集合，记为 $ \left\lvert \bar{s} \right\rangle $2。射线的 “内积” 由归一化矢量定义：

\begin{equation} \left\langle \bar{s}_1 \middle| \bar{s}_2 \right\rangle = \frac{ \left\langle s_1 \middle| s_2 \right\rangle }{\sqrt{ \left\langle s_1 \middle| s_1 \right\rangle \left\langle s_2 \middle| s_2 \right\rangle }}~. \end{equation}

　　 有了上述概念，就可以定义对称变换：

定义 1　对称变换

　　 给定希尔伯特空间 $H$ 及其射线空间 $\mathbb{P}H$，如果映射 $f:\mathbb{P}H\to\mathbb{P}H$ 满足：对于任意 $ \left\lvert \bar{s}_i \right\rangle \in\mathbb{P}H$，都有

\begin{equation} \left\lvert \left\langle \bar{s}_1 \middle| \bar{s}_2 \right\rangle \right\rvert ^2 = \left\lvert \left\langle f(\bar{s}_1) \middle| f(\bar{s}_2) \right\rangle \right\rvert ^2~, \end{equation}
那么称 $f$ 是一个对称变换（symmetry transformation）。

　　 注意对称变换的名称，“对称” 是一个名词，而非形容词。

　　 显然，对称变换是保跃迁概率的，因为两个态之间的跃迁振幅定义正是其内积，而概率是振幅的模方。

定义 2　

　　 设有希尔伯特空间 $H_i$，取映射 $f:\mathbb{P}H_1\to\mathbb{P}H_2$。如果对于任意 $ \left\lvert s \right\rangle \in H_1$，映射 $\mathcal{Q}:H_1\to H_2$ 都满足

\begin{equation} \mathcal{Q}( \left\lvert s \right\rangle )\in f( \left\lvert \bar{s} \right\rangle )~, \end{equation}
那么称 $\mathcal{Q}$ 与 $f$相容（compatible）。

定理 1　Wigner 基本定理

　　 任何对称变换 $f:\mathbb{P}H\to\mathbb{P}H$，存在物理态 Hilbert 空间上的算符 $\mathcal{Q}:H\to H$，使 $\mathcal{Q}$ 与 $f$ 相容，且该算符满足下列条件之一：

　　 $\mathcal{Q}$ 是线性且幺正的：

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{Q}(\xi \left\lvert a \right\rangle +\eta \left\lvert b \right\rangle ) &= \xi\mathcal{Q} \left\lvert a \right\rangle +\eta\mathcal{Q} \left\lvert b \right\rangle \\ \left\langle a \right\rvert \mathcal{Q}^\dagger\mathcal{Q} \left\lvert b \right\rangle &= \left\langle a \middle| b \right\rangle ~, \end{aligned} \end{equation}
或 $\mathcal{Q}$ 是共轭线性且反幺正的：
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{Q}(\xi \left\lvert a \right\rangle +\eta \left\lvert b \right\rangle ) &= \xi^*\mathcal{Q} \left\lvert a \right\rangle +\eta^*\mathcal{Q} \left\lvert b \right\rangle \\ \left\langle a \right\rvert \mathcal{Q}^\dagger\mathcal{Q} \left\lvert b \right\rangle &= \left\langle a \middle| b \right\rangle ^*~, \end{aligned} \end{equation}

　　 但不可能同时存在一个满足式 4 的 $\mathcal{Q}_1$ 和一个满足式 5 的 $\mathcal{Q}_2$ 都和 $f$ 相容。

　　 由于 $f$ 只是射线间的映射，故与 $f$ 相容的右矢间的映射 $\mathcal{Q}$ 可能性很多，起码不一定是线性的。因此定理中说的是存在满足条件的 $\mathcal{Q}$。

2. 定理证明

　　 以下证明的思路基本与 [1] 第 2 章附录 A 一致，整理、优化了表述。

　　 另一证明可参见An algebraic approach to Wigner's unitary-antiunitary theorem。

正交完备集映射为正交完备集

　　 考虑态空间 $H$ 中的一个归一化正交完备集 $\{ \left\lvert s_\alpha \right\rangle \}$，即 $ \left\langle s_\alpha \middle| s_\alpha \right\rangle =1$，$ \left\langle s_\alpha \middle| s_\beta \right\rangle =\delta_{\alpha\beta}$，且任意态矢量都可以表示成 $\sum_\alpha c_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle $（离散情况）或 $\int c(\alpha) \left\lvert s_\alpha \right\rangle \,\mathrm{d}{\alpha} $（连续情况）的形式。

　　 以下证明中仅考虑离散情况，但连续情况是完全相同的，读者可自行将求和替换为积分来验证。

　　 设 $f:\mathbb{P}H\to\mathbb{P}H$ 是一个对称变换，记 $ \left\lvert s'_\alpha \right\rangle $ 是射线 $f( \left\lvert \bar{s}_\alpha \right\rangle )$ 中任意一个归一化右矢，那么由式 2 以及 “非零矢量和自己的内积恒为正实数” 得

\begin{equation} \left\langle s'_\alpha \middle| s'_\beta \right\rangle = \delta_{\alpha\beta}~. \end{equation}
式 6 同时意味着，任何非零矢量都不可能由 $f$ 变换为零矢量，从而 $f$ 是可逆映射。由定义 1 逻辑上的对称性易知，$f$ 的逆映射也是对称变换。

　　 易证，$\{ \left\lvert s'_\alpha \right\rangle \}$ 也构成一组归一化正交完备集3。于是，两个基下态右矢的内积规则是一致的，都是 “左矢取展开系数的共轭、右矢取展开系数，对应系数相乘后求和”。

　　 这就是说，任取两个右矢 $ \left\lvert a \right\rangle =\sum_\alpha A_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle $ 和 $ \left\lvert b \right\rangle =\sum_\alpha B_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle $，再取 $ \left\lvert a' \right\rangle =f( \left\lvert a \right\rangle ) = \sum_\alpha A'_\alpha f( \left\lvert s_\alpha) \right\rangle $ 和 $ \left\lvert b' \right\rangle f( \left\lvert b \right\rangle ) = \sum_\alpha B'_\alpha f( \left\lvert s_\alpha) \right\rangle $。则内积计算规则相同：$ \left\langle a \middle| b \right\rangle =\sum_\alpha A^*_\alpha B_\alpha$ 和 $ \left\langle a' \middle| b' \right\rangle =\sum_\alpha A'^*_\alpha B'_\alpha$。

映射后，任选的两个展开系数的比值或相等或共轭

　　 考虑任意态右矢 $ \left\lvert s \right\rangle =\sum_{\alpha}C_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle $。设进行 $f$ 映射后的展开为

\begin{equation} \left\lvert s' \right\rangle = f( \left\lvert s \right\rangle ) = \sum_\alpha C'_\alpha \left\lvert s'_\alpha \right\rangle ~. \end{equation}
由于 $ \left\lvert \left\langle s \middle| s_\alpha \right\rangle \right\rvert ^2= \left\lvert \left\langle s' \middle| s'_\alpha \right\rangle \right\rvert ^2$，因此
\begin{equation} \left\lvert C_\alpha \right\rvert ^2 = \left\lvert C'_\alpha \right\rvert ^2~. \end{equation}
又因为 $ \left\lvert \left\langle s \right\rvert \left( \left\lvert s_\alpha \right\rangle + \left\lvert s_\beta \right\rangle \right) \right\rvert ^2 = \left\lvert \left\langle s' \right\rvert \left( \left\lvert s'_\alpha \right\rangle + \left\lvert s'_\beta \right\rangle \right) \right\rvert ^2$，因此
\begin{equation} \left\lvert C_\alpha+C_\beta \right\rvert ^2 = \left\lvert C'_\alpha+C'_\beta \right\rvert ^2~. \end{equation}
由式 8 和式 9 除以式 8 得4
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \left\lvert \frac{C_\alpha}{C_\beta} \right\rvert ^2 &= \left\lvert \frac{C'_\alpha}{C'_\beta} \right\rvert ^2\\ \left\lvert 1+\frac{C_\alpha}{C_\beta} \right\rvert ^2 &= \left\lvert 1+\frac{C'_\alpha}{C'_\beta} \right\rvert ^2 \end{aligned}\right. ~, \end{equation}

　　 于是由复数的几何性质（见图 1 ）得

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \operatorname {Re}\frac{C_\alpha}{C_\beta} &= \operatorname {Re}\frac{C'_\alpha}{C'_\beta}\\ \operatorname {Im}\frac{C_\alpha}{C_\beta} &= \pm \operatorname {Im}\frac{C'_\alpha}{C'_\beta} \end{aligned}\right. ~. \end{equation}

图
图 1：式 11 的几何推导。图中显示了 $1$ 和 $1+\frac{C_\alpha}{C_\beta}$ 两个点，红圈的圆心在 $0$ 处，绿圈的圆心在 $1$ 处，而 $1+\frac{C_\alpha}{C_\beta}$ 在这两个圆的交点上。式 10 的两条等式分别表示 $1+\frac{C'_\alpha}{C'_\beta}$ 在绿圈和红圈上，从而可推得式 11 。

　　 于是对于选定的 $C_\alpha$ 和 $C_\beta$，要么有 $C_\alpha/C_\beta=C'_\alpha/C'_\beta$，要么有 $C_\alpha/C_\beta=(C'_\alpha/C'_\beta)^*$。

映射后，任意展开系数的比值要么都相等、要么都共轭

　　 任取三个基右矢 $ \left\lvert s_1 \right\rangle $、$ \left\lvert s_2 \right\rangle $ 和 $ \left\lvert s_3 \right\rangle $，构造态右矢 $ \left\lvert s \right\rangle = \sum_{i=1, 2, 3}C_i \left\lvert s_i \right\rangle $。按式 7 定义映射后的展开系数 $C'_i$。

　　 于是由 $ \left\lvert \left\langle s' \middle| s'_i \right\rangle \right\rvert ^2= \left\lvert \left\langle s \middle| s_i \right\rangle \right\rvert ^2$ 除以式 8 得

\begin{equation} \left\lvert 1+\frac{C'_2}{C'_1}+\frac{C'_3}{C'_1} \right\rvert ^2 = \left\lvert 1+\frac{C_2}{C_1}+\frac{C_3}{C_1} \right\rvert ^2~. \end{equation}
类比图 1 的逻辑可得，$\frac{C'_2}{C'_1}+\frac{C'_3}{C'_1}$ 和 $\frac{C_2}{C_1}+\frac{C_3}{C_1}$ 要么相等、要么共轭。结合之前的结论式 11 ，可知要么 $\frac{C'_2}{C'_1}=\frac{C_2}{C_1}$ 且 $\frac{C'_3}{C'_1}=\frac{C_3}{C_1}$，要么 $\frac{C'_2}{C'_1}= \left(\frac{C_2}{C_1} \right) ^*$ 且 $\frac{C'_3}{C'_1}= \left(\frac{C_3}{C_1} \right) ^*$。

　　 由于三个基右矢是任取的，故可知映射 $f$ 作用后，要么任意一对系数之比都相等，要么都变为共轭。

　　 于是只需要任取其中一个基向量 $ \left\lvert s_i \right\rangle $，知道 $\mathcal{Q}(C_i \left\lvert s_i \right\rangle )=C'_i \left\lvert s'_i \right\rangle $ 中的比值（或者说相位差）$\frac{C'_i}{C_i}$ 后，即可算出所有的 $C'_\alpha$。

系数比值相等的情况

　　 当系数比值相等时，能够定义 $\mathcal{Q}(\sum_\alpha C_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle )=\sum_\alpha C_\alpha \left\lvert s'_\alpha \right\rangle $。

　　 按此定义，式 4 第一条的线性性天然满足。

　　 由 $ \left\lvert s'_\alpha \right\rangle $ 的定义5，可知

\begin{equation} \begin{aligned} \left(\sum_\alpha A^*_\alpha \left\langle s'_\alpha \right\rvert \right) \left(\sum_\beta B_\beta \left\lvert s'_\beta \right\rangle \right) &= \sum_{\alpha}A^*_\alpha B_\alpha \\ &= \left(\sum_\alpha A^*_\alpha \left\langle s_\alpha \right\rvert \right) \left(\sum_\beta B_\beta \left\lvert s_\beta \right\rangle \right) ~, \end{aligned} \end{equation}
即式 4 第二条的幺正性。

　　 但是，不可能定义满足共轭线性的 $\mathcal{Q}$，否则存在 $\mathcal{Q}( \left\lvert s_1 \right\rangle + \mathrm{i} \left\lvert s_2 \right\rangle ) = \left\lvert s'_1 \right\rangle - \mathrm{i} \left\lvert s'_2 \right\rangle $ 的情况，违反了 “系数比值相等” 的假设。

系数比值共轭的情况

　　 当系数比值共轭时，能够定义 $\mathcal{Q}(\sum_\alpha C_\alpha \left\lvert s_\alpha \right\rangle )=\sum_\alpha C^*_\alpha \left\lvert s'_\alpha \right\rangle $。

　　 按此定义，式 5 第一条的共轭线性性天然满足。，且

\begin{equation} \begin{aligned} \left(\sum_\alpha A^*_\alpha \left\langle s'_\alpha \right\rvert \right) \left(\sum_\beta B_\beta \left\lvert s'_\beta \right\rangle \right) &= \sum_{\alpha}A_\alpha ^*B_\alpha \\ &= \left[ \left(\sum_\alpha A_\alpha \left\langle s_\alpha \right\rvert \right) \left(\sum_\beta B^*_\beta \left\lvert s_\beta \right\rangle \right) \right] ^*~, \end{aligned} \end{equation}
即式 5 第二条的反幺正性。

　　 但是，不可能定义满足线性性的 $\mathcal{Q}$，否则存在 $\mathcal{Q}( \left\lvert s_1 \right\rangle + \mathrm{i} \left\lvert s_2 \right\rangle ) = \left\lvert s'_1 \right\rangle + \mathrm{i} \left\lvert s'_2 \right\rangle $ 的情况，违反了 “系数比值共轭” 的假设。

1. ^ 见子节 4 中的 “商集” 概念。
2. ^ Wikipedia 的Wigner 基本定理 文章中，用波函数 $\Psi$ 来表示一个右矢（笔者建议不要有这个坏习惯，波函数和右矢不等价。可以用 $ \left\lvert \Psi \right\rangle $ 表示波函数 $\Psi$ 对应的右矢，二者的关系为 $\Psi= \left\langle x \middle| \Psi \right\rangle $，其中 $ \left\lvert x \right\rangle $ 是位置算符的本征右矢。），而把 $\Psi$ 所在的射线记为 $\underline{\Psi}$。
3. ^ 否则可以用这组矢量无法组合出来的矢量构造一个 $ \left\lvert s' \right\rangle $，使 $ \left\langle s' \middle| s'_\alpha \right\rangle =0$ 恒成立，但这就产生矛盾了：$ \left\langle s' \middle| s'_\alpha \right\rangle = \left\langle s \middle| s_\alpha \right\rangle \neq 0$，其中 $ \left\lvert s \right\rangle =f^{-1}( \left\lvert s' \right\rangle )$。
4. ^ 这里式 8 的下标用 $\beta$。
5. ^ 在证明的一开始定义的，为免于读者翻找，这里复述一遍：$ \left\lvert s'_\alpha \right\rangle $ 是射线 $f( \left\lvert \bar{s}_\alpha \right\rangle )$ 中任意一个归一化右矢。注意，已知 $f$ 是一个对称变换。

[1] ^ Steven L. Weinberg. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations, Cambridge University Press; 1st Edition (May 9, 2005). ISBN-10: 0521670535; ISBN-13: 978-0521670531.

                     

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