贡献者： addis
预备知识 麦克斯韦方程组（介质）
，
矢量算符运算法则，
平面波
真空中，由麦克斯韦方程组 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\epsilon_0\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
根据
式 11 化简得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = 0~,
\end{equation}
这就是电场的波动方程。所以电场的各个分量分别满足三维波动方程（链接未完成）。它的解为平面波
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) ~,
\end{equation}
其中 $\omega = c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert = ck$。而通解是这些平面波的任意线性组合。注意如果 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 中存在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的分量，那么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \ne 0$，所以二者必须垂直，即 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$。电场的通解可表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int \boldsymbol{\mathbf{E}} _0( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega k t\right) \,\mathrm{d}^{3}{k} ~.
\end{equation}
根据 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $，可求出式 3 伴随的磁场为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _0$ 的模长为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \right\rvert /c$，于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 垂直，方向满足 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{E}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $。可见
电磁波是横波。
1. 介质中
非线性光学中一般认为介质具有 $\mu = \mu_0$，且假设 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ 仍然成立
介质中没有自由电荷或自由电流。
类似真空情况的推导过程，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} )
= -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} ~.
\end{equation}
把电位移矢量的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 代入上式，化简为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} )
= -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} ~.
\end{equation}