电场波动方程

                     

贡献者: addis; 白玫瑰

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预备知识 麦克斯韦方程组(介质)矢量算符运算法则平面波

   从麦克斯韦方程组出发,我们证明电磁场传播具有波动性。

   麦克斯韦方程组为:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ~. \end{aligned} \end{equation}

   将 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 转化为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon} ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}) ~. \end{aligned} \end{equation}

   讨论在无限大各向同性均匀介质中的情况,此时 $\epsilon$ 和 $\mu$ 均为常数,并且在远离辐射源的地方,不存在自由电荷和传导电流,即 $\rho = 0$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0$,此时方程组化为:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0 ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \epsilon \mu\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~. \end{aligned} \end{equation}

   取第 3 式的旋度,并将第 4 式代入:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = \boldsymbol{\nabla} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\epsilon \mu \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

   整理得:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t^2} = 0 ~. \end{equation}

   令:

\begin{equation} v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} ~. \end{equation}

   所以我们得到:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = 0 ~. \end{equation}

   这就是电场的波动方程。同理我们可以得到磁场的波动方程。将两式列出,我们得到了波动方程

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = 0 ~, \\ & \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = 0 ~. \end{aligned} \end{equation}

   电场的各个分量分别满足三维波动方程。

   它的解为平面波

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) ~, \end{equation}
其中 $\omega = c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert = ck$。而通解是这些平面波的任意线性组合。注意如果 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 中存在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的分量,那么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \ne 0$,所以二者必须垂直,即 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$。电场的通解可表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int \boldsymbol{\mathbf{E}} _0( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega k t\right) \,\mathrm{d}^{3}{k} ~. \end{equation}

   根据 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $,可求出式 9 伴随的磁场为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) ~. \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _0$ 的模长为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \right\rvert /c$,于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 垂直,方向满足 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{E}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $。可见电磁波是横波

1. 介质中

   非线性光学中一般认为介质具有 $\mu = \mu_0$,且假设 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ 仍然成立

   介质中没有自由电荷或自由电流。

   类似真空情况的推导过程,有

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} ) = -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} ~. \end{equation}

   把电位移矢量的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 代入上式,化简为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} ) = -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} ~. \end{equation}

                     

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