贡献者： addis
如果需要求导的函数可以看做若干个已知导函数的函数（如基本初等函数）经过四则运算或复合得到的，那么我们可以直接使用一系列求导法则对其求导
四则运算
\begin{equation}
[ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
[ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}~.
\end{equation}
复合函数
\begin{equation}
f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)~.
\end{equation}
详见 “
一元复合函数求导（链式法则）”
反函数
\begin{equation}
[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} ~,
\end{equation}
详见 “
反函数求导”。
1. 线性
我们先来证明式 1 。对求导而言，线性是指若干函数线性组合（即把若干个函数分别乘以常数再相加）1的求导等于对这些函数先分别求导再进行同样的线性组合。由于函数加减法属于函数线性组合的两种简单情况，这里只需要证明求导是一种线性运算 即可。 令若干常数为 $c_i$，若干可导函数为 $f_i(x)$，根据导数的定义，这些函数线性组合的导数为
\begin{equation} \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sum_i c_i f_i(x) &= \lim_{h\to 0} \left[\sum_i c_i f_i(x+h) - \sum_i c_i f_i(x) \right] /h\\
& = \sum_i c_i \lim_{h\to 0} [f_i(x+h) - f_i(x)]/h\\
& = \sum_i c_i f_i'(x)~,
\end{aligned} \end{equation}
证毕。
例 1 对函数 $f(x) = 5\sin x + 3x^2$ 求导
这里的 $f(x)$ 可以看做三角函数 $\sin x$ 函数和幂函数 $x^2$ 的线性组合，二者都是基本初等函数，导数分别为 $\cos x$ 和 $2x$，由于求导是线性运算，我们只需要对两个函数各自的导函数进行同样的线性组合即可
\begin{equation}
f'(x) = 5 \sin' x + 3(x^2)' = 5 \cos x + 3(2x) = 5\cos x + 6x~.
\end{equation}
2. 乘积法则
现在证明式 2 ，令两函数分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$，现在求 $f(x) g(x)$ 的导函数。由导数的定义得
\begin{equation}
[f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}~.
\end{equation}
图 1：乘积法则的几何理解
从几何上来看（图 1 ），我们可以把 $f(x), g(x)$ 看做一个矩形的两条边长，它们的乘积 $f(x)g(x)$ 就是矩形的面积，而 $f(x+h)g(x+h)$ 不妨看做是另一个矩形的面积。当 $x$ 增加 $h$ 后，令 $f$ 和 $g$ 分别增加 $\Delta f$ 和 $\Delta g$（图中假设他们大于零，其他情况同理），那么矩形面积的增量可以分解为三部分
\begin{equation}
f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \Delta f g + f \Delta g + \Delta f\Delta g~,
\end{equation}
代入
式 8 得
\begin{equation}
[f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{h} g + f \lim_{h\to 0} \frac{\Delta g}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{\Delta f\Delta g}{h}~.
\end{equation}
容易看出前两项中的两个极限分别是 $f,g$ 的导数，而第三个极限中，两个增量的乘积变小的速度远比前两个极限中要快（我们把它叫做二阶无穷小），所以第三个极限为零。从几何上来看，这是因为随着 $h$ 变小，右上角小矩形的面积 $\Delta f\Delta g$ 比起两条长矩形的面积可以忽略不计。
3. 商法则
要证明式 3 ，我们可以把 $f(x)/g(x)$ 看成 $f(x)$ 乘以 $1/g(x)$，这样就可以直接使用乘积法则了。但是如何对 $1/g(x)$ 求导呢？我们可以将其看做 $h(x) = 1/x$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $h[g(x)]$。其中 $h'(x) = -1/x^2$（式 1 ）。根据式 4 ，有
\begin{equation}
\left[\frac{1}{g(x)} \right] ' = h'[g(x)]g'(x) = -\frac{g'(x)}{g^2(x)}~.
\end{equation}
最后使用乘积法则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left[f(x) \frac{1}{g(x)} \right] ' &= f'(x) \frac{1}{g(x)} - f(x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\
&= \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}~,
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
1. ^ 线性组合是线性代数中的概念，线性代数中，线性空间都可以做线性组合，例如几何矢量（式 14 ）。特定函数的集合可以看作线性空间（例 2 ）。
