求导法则（简明微积分）

贡献者： addis

预备知识　基本初等函数的导数

　　如果需要求导的函数可以看做若干个已知导函数的函数（如基本初等函数）经过四则运算或复合得到的，那么我们可以直接使用一系列求导法则对其求导

四则运算

\begin{matrix} (1) & [f (x) \pm g (x)]^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & [f (x) g (x)]^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & {[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{g (x)^{2}} . \end{matrix}

复合函数

\begin{matrix} (4) & f [g (x)]^{'} = f^{'} [g (x)] g^{'} (x) . \end{matrix}

详见 “一元复合函数求导（链式法则）”

反函数

\begin{matrix} (5) & [f^{- 1} (x)]^{'} = \frac{1}{f^{'} [f^{- 1} (x)]}, \end{matrix}

详见 “反函数求导”。

1. 线性

　　我们先来证明式 1 。对求导而言，线性是指若干函数线性组合（即把若干个函数分别乘以常数再相加）¹的求导等于对这些函数先分别求导再进行同样的线性组合。由于函数加减法属于函数线性组合的两种简单情况，这里只需要证明求导是一种线性运算 即可。令若干常数为 $c_{i}$ ，若干可导函数为 $f_{i} (x)$ ，根据导数的定义，这些函数线性组合的导数为

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \frac{d}{d x} \sum_{i} c_{i} f_{i} (x) & = lim_{h \to 0} [\sum_{i} c_{i} f_{i} (x + h) - \sum_{i} c_{i} f_{i} (x)] / h \\ = \sum_{i} c_{i} lim_{h \to 0} [f_{i} (x + h) - f_{i} (x)] / h \\ = \sum_{i} c_{i} f_{i}^{'} (x), \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

例 1　对函数 $f (x) = 5 \sin x + 3 x^{2}$ 求导

　　这里的 $f (x)$ 可以看做三角函数 $\sin x$ 函数和幂函数 $x^{2}$ 的线性组合，二者都是基本初等函数，导数分别为 $\cos x$ 和 $2 x$ ，由于求导是线性运算，我们只需要对两个函数各自的导函数进行同样的线性组合即可

\begin{matrix} (7) & f^{'} (x) = 5 \sin^{'} x + 3 (x^{2})^{'} = 5 \cos x + 3 (2 x) = 5 \cos x + 6 x . \end{matrix}

2. 乘积法则

　　现在证明式 2 ，令两函数分别为 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，现在求 $f (x) g (x)$ 的导函数。由导数的定义得

\begin{matrix} (8) & [f (x) g (x)]^{'} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} . \end{matrix}

图 1：乘积法则的几何理解

　　从几何上来看（图 1 ），我们可以把 $f (x), g (x)$ 看做一个矩形的两条边长，它们的乘积 $f (x) g (x)$ 就是矩形的面积，而 $f (x + h) g (x + h)$ 不妨看做是另一个矩形的面积。当 $x$ 增加 $h$ 后，令 $f$ 和 $g$ 分别增加 $Δ f$ 和 $Δ g$ （图中假设他们大于零，其他情况同理），那么矩形面积的增量可以分解为三部分

\begin{matrix} (9) & f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x) = Δ f g + f Δ g + Δ f Δ g, \end{matrix}

代入式 8 得

\begin{matrix} (10) & [f (x) g (x)]^{'} = lim_{h \to 0} \frac{Δ f}{h} g + f lim_{h \to 0} \frac{Δ g}{h} + lim_{h \to 0} \frac{Δ f Δ g}{h} . \end{matrix}

容易看出前两项中的两个极限分别是

f, g

的导数，而第三个极限中，两个增量的乘积变小的速度远比前两个极限中要快（我们把它叫做二阶无穷小），所以第三个极限为零。从几何上来看，这是因为随着

h

变小，右上角小矩形的面积

Δ f Δ g

比起两条长矩形的面积可以忽略不计。

3. 商法则

　　要证明式 3 ，我们可以把 $f (x) / g (x)$ 看成 $f (x)$ 乘以 $1 / g (x)$ ，这样就可以直接使用乘积法则了。但是如何对 $1 / g (x)$ 求导呢？我们可以将其看做 $h (x) = 1 / x$ 和 $g (x)$ 的复合函数 $h [g (x)]$ 。其中 $h^{'} (x) = - 1 / x^{2}$ （式 1 ）。根据式 4 ，有

\begin{matrix} (11) & {[\frac{1}{g (x)}]}^{'} = h^{'} [g (x)] g^{'} (x) = - \frac{g^{'} (x)}{g^{2} (x)} . \end{matrix}

最后使用乘积法则

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} {[f (x) \frac{1}{g (x)}]}^{'} & = f^{'} (x) \frac{1}{g (x)} - f (x) \frac{g^{'} (x)}{g^{2} (x)} \\ = {[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{g (x)^{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

1. ^ 线性组合是线性代数中的概念，线性代数中，线性空间都可以做线性组合，例如几何矢量（式 14 ）。特定函数的集合可以看作线性空间（例 2 ）。