贡献者： JierPeter; addis
1. Lebesgue 积分的概念
我们熟知的 Riemann 积分是对函数定义域进行分划，也就是将函数图像转化为若干柱子，每个柱子的底是一个区间，高度是这个区间里某个函数值。Riemann 定积分的结果，就是用柱子的总面积来逼近的。
如果柱子的高度都选成最高点（函数值上确界），那么柱子总面积一定大于等于真正的积分值；柱子的高度都选成最低点（函数值下确界），那么柱子总面积一定小于等于真正的积分值。当柱子划分得越来越细，这两种选择高度的策略所计算出来的面积差有可能会趋于 $0$，此时我们就根据两边夹的原则，认为两种计算结果的共同极限就是真正的积分值；但对于一些奇怪的函数，两种策略计算出来的面积差无法趋于 $0$，那么就无法定义真正的积分值，比如下列 Dirichlet 函数的例子：
例 1 Dirichlet 函数
定义函数 $f(x)$ 如下：
\begin{equation}
f(x)=
\left\{
\begin{aligned}
&{} 1, x\in \mathbb{Q}; \\
&{} 0, x\not\in\mathbb{Q}.
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
则由于有理数和无理数的稠密性，无论如何分划定义域，每个柱子内总是既有高度为 $1$ 又有高度为 $0$ 的点，无法定义 Riemann 积分。
Riemann 积分之所以要将定义域划分为区间，是因为这样方便定义柱子的 “底边长”，即区间的长度。但代价是，柱子的高度如果像 Dirichlet 函数一样总是反复横跳，就无法定义积分了。这限制了我们做积分的范围。
Lebesgue 积分的解决了柱子高度的问题，直接对函数的值域进行分划，以相应值域的逆映射作为 “柱底”。也就是说，选择值域上的某个区间，看看定义域上哪些点的函数值在这个区间里，把这些点构成的集合当作柱底。
但这么一来，柱的底通常就不是简单的区间了。因此我们需要讨论除了区间以外，哪些区间可以定义 “长度”，以及该如何定义。
看起来，我们是牺牲底边长的简洁性换取了高度的简洁性，似乎不赚不亏，但实际上这样将 “不一定有极限” 的问题转化为 “不一定能定义底边长” 的问题了，后者更容易解决，或者说 Lebesgue 积分能处理的范围比 Riemann 积分更广。
2. 可测集的分划
我们从 “将可测集划分为两两不交的可测子集” 入手，先研究这种分划的性质。
定义 1 可测分划
设 $E\in\mathbb{R}^n$ 是可测集。如果有限族$\{E_1, E_2, \cdots, E_n\}$ 中各 $E_i$ 两两不交、都是 $E$ 的子集、可测，且 $E=\bigcup^n_{i=1}E_i$，那么称集族 $\{E_i\}_{i=1}^n$ 为可测集 $E$ 的一个分划，或者可测分划。
如果 $A=\{E_i\}_{i=1}^n$ 和 $B=\{F_i\}_{i=1}^m$ 都是 $E$ 的分划，那么易证 $C=\{E_i\cap F_j|E_i\in A, F_j\in B\}$ 也是 $E$ 的分划。称 $C$ 是分划 $A$ 和 $B$ 的合并。
容易看到，$C$ 中存在每一个 $E_i$ 的分划 $\{E_i\cap F_j\}_{j=1}^m$，类似地也存在每一个 $F_j$ 的分划，像是更细一层地进行分划。因此，如果分划 $C$ 是 $A$ 和另一个分划的合并，我们就称 $C$ 是比 $A$ 更细的分划，反过来 $A$ 比 $C$ 更粗。
定义 2 上和与下和
设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，$D=\{E_i\}_{i=1}^n$ 是 $E$ 的一个可测分划。定义 $a_i=\inf_{x\in E_i}f(x)$，$A_i=\sup_{x\in E_i}f(x)$，则称
\begin{equation}
s_D=\sum_{i=1}^n a_i \operatorname {m}E_i~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的
下和，而称
\begin{equation}
S_D=\sum_{i=1}^n A_i \operatorname {m}E_i~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的
上和。
如果 $A\subseteq B\subseteq E$，那么显然 $f$ 在 $A$ 上的上确界要小于等于在 $B$ 上的上确界，在 $A$ 上的下确界要大于等于在 $B$ 上的下确界，因此容易得出以下引理：
引理 1
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$A$ 和 $B$ 是 $E$ 的可测分划，且 $A$ 比 $B$ 更细。那么
\begin{equation}
s_B\leq s_A\leq S_A\leq S_B~.
\end{equation}
由此可得一个有用的推论：
推论 1
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$D_1$ 和 $D_2$ 是 $E$ 的可测分划。那么
\begin{equation}
s_{D_i}\leq S_{D_j}~
\end{equation}
对任意 $i, j\in\{1, 2\}$ 成立。
就是说，不管怎么求分划，任意两个分划之间，上和一定大于等于下和，不会出现一个分划的下和大于另一个分划的上和这种情况。
3. 积分
上积分与下积分
有了分划和上下和的概念，我们描述起积分就方便多了。
定义 3
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$\Lambda$ 是 $E$ 的一切可能的分划之集合。那么称
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\inf_{D\in \lambda} \{S_D\}~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的
上积分，称
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\sup_{D\in \lambda} \{s_D\}~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的
下积分，
简而言之，上积分就是上和的下确界，下积分就是下和的上确界。
显然，简单函数的上积分和下积分总是相等，也就是可测函数的结构中式 1 所定义的简单函数的 Lebesgue 积分。
函数的上下积分有以下重要的性质：
定理 1
设 $f$、$g$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划。
- 若 $f\leq g$ 几乎处处成立，则有
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 若 $\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划，则
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\overline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 恒有
\begin{equation}
\underline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
1。太过显然，在此从略1。
2. 为方便，记 $A$ 为对 $E$ 进行任意分划后求上和的结果的集合；$A'$ 为先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后，再分别对这两个 $E_i$ 作分划后求上和，将两个上和相加后，所得值的集合。这样，按定义，式 10 的左边就是 $A$ 的下确界，右边就是 $A'$ 的下确界。
式 10 左边是对 $E$ 作分划，右边则是先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后，再分别对这两个 $E_i$ 作分划，因此可知 $A'\subseteq A$，故必有2
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
另一方面，由引理 1 ，可知任取 $A$ 中一个数字 $a$，都必有 $A'$ 中的数字 $a'$，使得 $a'\leq a$。因此又有
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
综合式 13 和式 14 即得式 10 。
由上下和与上下积分定义的对偶性，可直接推得式 9 。由此得证。
3. 只需证明式 11 即可，之后可由对偶性直接推知式 12 .
考虑任意可测集 $E_i\subseteq E$ 上的 $f$ 和 $g$，则由加法和下确界的定义直接可得 “$f$ 的下确界加 $g$ 的下确界小于等于$f+g$ 的下确界”。
于是，对于 $E$ 的任意分划 $D$，总存在两个分划 $D_1$ 和 $D_2$3，使得 “$f$ 对于 $D_1$ 计算出来的下和加上 $g$ 对于 $D_2$ 计算出来的下和”，大于等于“$f+g$ 对于 $D$ 计算出来的下和”。因此，前者的上确界大于等于后者的下确界，也即式 11 .
证毕。
测度有限的可测集上，非负有界函数的积分
定理 1 所描述的性质是非常符合直觉的。类比 Riemann 积分的定义过程，我们也希望上下积分相等，从而成为新的积分定义。事实上，可测函数就具有这样优良的性质。
定理 2
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 是其上非负有界函数，那么
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} = \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
的
充要条件是 $f$ 为
可测函数。
证明：
充分性：
设 $f$ 是非负有界的可测函数。
由推论 1 ，必有
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
因此，接下来只需要证明：对于任意 $\epsilon>0$，总存在一个分划 $D$，使得 $s_D\geq S_D-\epsilon$。
设 $ \operatorname {m}E=c$，由题设知 $c<+\infty$。又因为 $f$ 非负有界，不妨设 $f(x)\in [0, s)$。
将 $[0, s)$ 拆分为一系列区间 $A_{k, i}=[\frac{i}{k}s, \frac{i+1}{k}s)$ 的不交并，其中 $k$ 是任意给定的正整数，$i$ 是取值范围为 $[0, k)$ 的整数。
利用区间 $A_{k, i}$ 来对 $E$ 进行分划：$E_{k, i}=\{x\in E|f(x)\in A_{k, i}\}$。显然，固定 $k$ 时，各 $E_{k, i}$ 构成 $E$ 的一组分划。
对于任意固定的 $k$，在每个 $E_{k, i}$ 上，$f$ 的上确界和下确界之差小于等于$s/k$，而各 $E_{k, i}$ 的外测度之和为 $c$。因此，该固定的 $k$ 按上述方式决定的分划下，$f$ 在 $E$ 上的上和与下和之差小于等于$sc/k$。
因此，只需要取 $k>sc/\epsilon$，所得分划就是所要的 $D$。
必要性：
设 $f$非负有界，且式 15 式成立。
未完成：笔者不明白这里为什么需要必要性。按理说只有可测函数才能定义上和与下和、进而有上下极限的概念啊？没有可测条件谈什么
式 15 的存在性？更不用说成立了。
证毕。
定理 2 告诉我们，对于测度有限的 $E$ 上的非负可测函数 $f$，其上下积分是相等的，于是我们就可以把它们统一称为 “积分”，记为
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
进一步，由
式 11 和
式 12 可知，对于可测函数 $f$，有
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} =\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
测度有限的可测集上，任意非负可测函数的积分
定理 2 讨论的是 “有界” 的可测函数，颇有限制。任意的非负函数有没有类似的性质呢？我们没法套用定理 2 的证明方式，因为失去了有界性就无法用同样的方法对 $E$ 进行有限划分了。不过，回想一下定理 1 是怎么证明的，你会发现我们可以用同样的思路来从有界推广到无界。
设 $f$ 是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数。对于任意正整数 $k$，定义一个 $E$ 上的新函数 $f_k$ 如下：$f_k(x)=\min \{k, f(x)\}$。直观来说，$f_k$ 就像是用一根长棍子去 “压”$f$，把 $k$ 以上的部分全都压平到 $k$ 的高度。这样，每个 $f_k$ 都是非负有界的可测函数，它们都是有积分的了。于是，我们可以定义 $f$ 的积分为：
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
上述非负可测函数的积分具有积分应有的性质，我们写为以下习题：
习题 1
设 $f$、$g$ 都是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划。证明以下性质：
- 当 $f(x)\leq g(x)$ 时，有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
任意可测集上，任意非负可测函数的积分
到此为止，我们已经讨论清楚了测度有限可测集 $E$ 上任意非负可测函数的积分了。接下来讨论的是 $ \operatorname {m}E=+\infty$、或者说任意可测集 $E$ 的情况。
定义 4 任意可测集上任意非负可测函数的积分
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数。
对于任意正整数 $k$，定义 $E_k=E\cap [-k, k]$。那么 $f$ 在各 $E_k$ 上都有上述定义的积分。于是可以定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty}\int_{E_k} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
利用极限的知识，结合习题 1 ，我们很容易得到以下推论：
推论 2
设 $f$、$g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划。证明以下性质：
- 当 $f(x)\leq g(x)$ 时，有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
另外，由于 Lebesgue 积分是基于测度定义的，而 “零测” 在测度论意义下相当于不存在，因此也容易得到以下定理：
定理 3
如果 $f$ 和 $g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数，且彼此几乎处处相等，那么
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
Lebesgue 积分
本节讨论的全部都是非负函数的情况，但结论很容易推广到任意函数上。
定义 5 正部与负部
考虑可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数 $f$，定义如下两个新函数：
\begin{equation}
f^+(x) = \max\{f(x), 0\}~,
\end{equation}
\begin{equation}
f^-(x) = -\max\{f(x), 0\}~.
\end{equation}
称 $f^+$ 为 $f$ 的
正部，$f^-$ 为 $f$ 的
负部。
注意定义中式 29 右边的负号。可测函数的正部与负部都是非负可测函数，这有些像复数的实部与虚部都是实数一样的逻辑。因此，我们之前讨论的 “非负可测函数的积分” 可以完全适用于任意可测函数的正部与负部。
再考虑到任意可测集上恒等于 $0$ 的简单函数的积分都是 $0$，我们就可以得到任意可测函数的 Lebesgue 积分了：
定义 6 Lebesgue 积分
设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部。如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的，则可定义其 Lebesgue 积分为：
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
4. Lebesgue 积分的几何直观
回忆定义 4 所述，$G(E; f)$ 是函数 $f$ 在可测集 $E$ 上的下方图形。在简明的微积分课程中，常把（Riemann）积分解释为 “求函数图像下方图形的面积”。实际上，这一点也适用于我们现在讨论的 Lebesgue 积分。
习题 2
证明以下命题：
- 由定理 1 ，可测集 $E$ 上的任意非负可测函数 $f$ 都可以表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限，则必有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_{E} f_x(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 同上，设可测集 $E$ 上的非负可测函数 $f$ 表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限，则必有
\begin{equation}
\operatorname {m}G(E; f)=\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}G(E; f_k)~.
\end{equation}
- 若 $g$ 是 $E$ 上的简单函数，则
\begin{equation}
\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; g)~.
\end{equation}
如果前两条的证明有困难，可以从 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况入手，也可以干脆弱化命题，只证明 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况。弱化的命题不影响接下来的讨论。
有了习题 2 的结论，我们就可以得到一个非常符合直觉的定理：
定理 4
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，则
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; f)~.
\end{equation}
定理 4 有力地说明 Lebesgue 积分定义的合理性，并且可以用于推论出，当函数 Riemann 可积时，其 Riemann 积分和 Lebesgue 积分相等。由此可知，Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广。
1. ^ 若不是那么显然，可留言，笔者视情况补充证明细节。
2. ^ 子集的下确界大于等于母集的下确界。
3. ^ 直接取 $D_1=D_2=D$ 就行，更细当然更好。