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预备知识 速度的参考系变换
，圆周运动的速度
，三维旋转矩阵
1. 有相对转动
对于任意两个坐标系，他们之间的相对运动除了平移可能还有转动，即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 之间的关系可能随时间变化。这时式 1 是否仍然成立呢？
要回答这个问题我们首先要修改 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 的定义。按照上一节的定义，如果坐标系间存在相对转动，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 将与固定点的位置有关。若定义某时刻点 $P$ 在 $S'$ 中的坐标为 $(x_p', y_p', z_p')$，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以定义为 $S'$ 系中的固定点 $(x_p', y_p', z_p')$ 相对于 $S$ 系的瞬时速度。这时仍有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r~.
\end{equation}
证明见下文。再次强调，这三个矢量也表示几何矢量。若要记为坐标的形式需要使用同一坐标系。
例 1
令 $S'$ 系 $t = 0$ 时与 $S$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针以恒定角速度 $\omega$ 相对 $S$ 转动，又令点 $P$ 的运动方程为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} '$，验证式 1 。
首先将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 基底表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~.
\end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 视为常矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \alpha (\cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )
+ \alpha\omega t (-\sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~.
\end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 视为常矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S'$ 系的速度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') = \alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~.
\end{equation}
最后，$t$ 时刻两坐标系在点 $P$ 处的相对速度（见
式 5 ）为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _r &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = (\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ') \boldsymbol\times (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') \\
&= \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \alpha\omega t(-\sin \omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~.
\end{aligned}\end{equation}
将以上三式代入
式 1 可验证其成立。注意以上我们将所有的矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 基底，同理我们也可以将所有矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 基底展开。
一般情况下，相对速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以拆分成 $S'$ 的原点 $O'$ 在 $S$ 中的速度，以及 $S'$ 相对 $S$ 旋转产生的速度（式 5 ）两部分，根据式 1 有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} '~.
\end{equation}
：可以先在 $O'$ 处建立一个相对 $S$ 只平动不转动的坐标系 $S''$，然后考虑 $S'$ 中的固定点相对 $S''$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 旋转即可。证毕。
所以式 1 也可以进一步写成
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} '~.
\end{equation}
证明
现在用旋转变换矩阵在 $S$ 系中证明式 1 即式 7 。
令 $S'$ 中坐标到 $S$ 坐标的旋转变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，即对任意几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_{S'}~, \qquad
( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_S
\end{equation}
那么令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'}$ 为 $S$ 的原点指向 $S'$ 的原点的几何矢量，令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别为质点在两参考系中的位置矢量，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{r}} '~.
\end{equation}
用 $S$ 中的坐标来表示，就是
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{r}} )_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'}~.
\end{equation}
两边对时间求导得（未完成：引用矩阵乘法的求导法则）
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \boldsymbol{\mathbf{v}} )_S &= ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{O'})_S + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_{S'}\\
&= ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{O'})_S + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_S~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中第二项为（详见 “旋转矩阵的导数
”）
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S~,
\end{equation}
代入得
式 7 ，证毕。