速度的坐标系变换

贡献者：待更新

预备知识　速度的参考系变换，圆周运动的速度，三维旋转矩阵

1. 有相对转动

　　对于任意两个坐标系，他们之间的相对运动除了平移可能还有转动，即 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 和 ${\hat{x}}^{'}, {\hat{y}}^{'}, {\hat{z}}^{'}$ 之间的关系可能随时间变化。这时式 1 是否仍然成立呢？

　　要回答这个问题我们首先要修改 $v_{r}$ 的定义。按照上一节的定义，如果坐标系间存在相对转动， $v_{r}$ 将与固定点的位置有关。若定义某时刻点 $P$ 在 $S^{'}$ 中的坐标为 $(x_{p}^{'}, y_{p}^{'}, z_{p}^{'})$ ，则 $v_{r}$ 可以定义为 $S^{'}$ 系中的固定点 $(x_{p}^{'}, y_{p}^{'}, z_{p}^{'})$ 相对于 $S$ 系的瞬时速度。这时仍有

\begin{matrix} (1) & v = v^{'} + v_{r} . \end{matrix}

证明见下文。再次强调，这三个矢量也表示几何矢量。若要记为坐标的形式需要使用同一坐标系。

例 1　

　　令 $S^{'}$ 系 $t = 0$ 时与 $S$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针以恒定角速度 $ω$ 相对 $S$ 转动，又令点 $P$ 的运动方程为 $r (t) = α t {\hat{x}}^{'}$ ，验证式 1 。

　　首先将 $r (t)$ 用 $\hat{x}, \hat{y}$ 基底表示为

\begin{matrix} (2) & r (t) = α t (\cos ω t \hat{x} + \sin ω t \hat{y}) . \end{matrix}

将

\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}

视为常矢量，

r (t)

关于时间求导得点

P

相对于

S

系的速度

\begin{matrix} (3) & v = α (\cos ω t \hat{x} + \sin ω t \hat{y}) + α ω t (- \sin ω t \hat{x} + \cos ω t \hat{y}) . \end{matrix}

将

{\hat{x}}^{'}, {\hat{y}}^{'}, {\hat{z}}^{'}

视为常矢量，

r (t)

关于时间求导得点

P

相对于

S^{'}

系的速度

\begin{matrix} (4) & v^{'} = \frac{d}{d t} (α t {\hat{x}}^{'}) = α {\hat{x}}^{'} = α (\cos ω t \hat{x} + \sin ω t \hat{y}) . \end{matrix}

最后，

t

时刻两坐标系在点

P

处的相对速度（见式 5 ）为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} v_{r} & = ω \times r = (ω {\hat{z}}^{'}) \times (α t {\hat{x}}^{'}) \\ = α ω t {\hat{z}}^{'} \times {\hat{x}}^{'} = α ω t {\hat{y}}^{'} = α ω t (- \sin ω t \hat{x} + \cos ω t \hat{y}) . \end{aligned} \end{matrix}

将以上三式代入式 1 可验证其成立。注意以上我们将所有的矢量用

\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}

基底，同理我们也可以将所有矢量用

{\hat{x}}^{'}, {\hat{y}}^{'}, {\hat{z}}^{'}

基底展开。

　　一般情况下，相对速度 $v_{r}$ 可以拆分成 $S^{'}$ 的原点 $O^{'}$ 在 $S$ 中的速度，以及 $S^{'}$ 相对 $S$ 旋转产生的速度（式 5 ）两部分，根据式 1 有

\begin{matrix} (6) & v_{r} = v_{O^{'}} + ω \times r^{'} . \end{matrix}

证明：可以先在

O^{'}

处建立一个相对

S

只平动不转动的坐标系

S^{″}

，然后考虑

S^{'}

中的固定点相对

S^{″}

以速度

ω \times r^{'}

旋转即可。证毕。

　　所以式 1 也可以进一步写成

\begin{matrix} (7) & v = v_{O^{'}} + ω \times r^{'} + v^{'} . \end{matrix}

证明

　　现在用旋转变换矩阵在 $S$ 系中证明式 1 即式 7 。

　　令 $S^{'}$ 中坐标到 $S$ 坐标的旋转变换矩阵为 $R$ ，即对任意几何矢量 $A$ 有

\begin{matrix} (8) & (A)_{S} = R (A)_{S^{'}}, (A)_{S^{'}} = R^{T} (A)_{S} \end{matrix}

那么令

r_{O^{'}}

为

S

的原点指向

S^{'}

的原点的几何矢量，令

r, r^{'}

分别为质点在两参考系中的位置矢量，有

\begin{matrix} (9) & r = r_{O^{'}} + r^{'} . \end{matrix}

用

S

中的坐标来表示，就是

\begin{matrix} (10) & (r)_{S} = (r_{O^{'}})_{S} + (r^{'})_{S} = (r_{O^{'}})_{S} + R (r^{'})_{S^{'}} . \end{matrix}

两边对时间求导得（未完成：引用矩阵乘法的求导法则）

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} (v)_{S} & = (v_{O^{'}})_{S} + \dot{R} (r^{'})_{S^{'}} + R (v^{'})_{S^{'}} \\ = (v_{O^{'}})_{S} + \dot{R} (r^{'})_{S^{'}} + (v^{'})_{S} . \end{aligned} \end{matrix}

其中第二项为（详见 “旋转矩阵的导数”）

\begin{matrix} (12) & \dot{R} (r^{'})_{S^{'}} = \dot{R} R^{T} (r^{'})_{S} = Ω (r^{'})_{S} = (ω \times r^{'})_{S}, \end{matrix}

代入得式 7 ，证毕。