线性势能的定态薛定谔方程

贡献者： addis

预备知识　定态薛定谔方程，艾里函数

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) + a x ψ (x) = E ψ (x) . \end{matrix}

变形为

\begin{matrix} (2) & ψ^{″} (x) - 2 m (a x - E) ψ (x) = 0 . \end{matrix}

根据式 17 ，方程的通解为

\begin{matrix} (3) & ψ (x) = C_{1} Ai (\frac{α x + β}{{| α |}^{2 / 3}}) + C_{2} Bi (\frac{α x + β}{{| α |}^{2 / 3}}) . \end{matrix}

其中

α = 2 m a

，

β = - 2 m E

。

　　容易证明，若把势能改为 $V (x) = a (x - x_{0})$ ，即向右平移 $x_{0}$ ，那么把波函数也平移 $x_{0}$ 变为 $ψ (x - x_{0})$ 即可。

　　包络线为（未完成：引用 Ai 相关性质）（符合 WKB 近似）

\begin{matrix} (4) & ψ (x) \to \frac{1 - 1 / e}{[2 m (E - a x)]^{1 / 4}} e^{i f (x)} . \end{matrix}