WKB 近似

贡献者：零穹; addis

预备知识　线性势能的定态薛定谔方程

　　¹在某些定态问题中，WKB 近似方法可以比较容易地求解一维定态薛定谔方程。该方法基于将波函数按 $ℏ$ 作幂级数展开，就其本身而言，有两个基本问题：1。在远离转折点处的近似解；2。在转折点处的连接条件。并通过这两个问题求解定态薛定谔方程。

　　 WKB 近似适用于势能 $V$ 相比于波长变化十分缓慢的情形，其一级近似公式为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} u (x) & = \frac{A}{\sqrt{k (x)}} e^{\pm i \int^{x} k (y) d y}, \\ k (x) & \equiv {\begin{aligned} {[\frac{2 m}{ℏ^{2}} (E - V (x))]}^{1 / 2} & when E > V (x) \\ - i κ (x) \equiv - i {[\frac{2 m}{ℏ^{2}} (V (x) - E)]}^{1 / 2} & when E < V (x) . \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}

其中，

u (x)

为定态薛定谔方程的解。

　　在二者的转折点 $a$ 处，连接函数为艾里函数 $Ai$ ，详见 “线性势能的定态薛定谔方程”。在转折点处的连接公式为

\begin{matrix} (2) & u (x) = {\begin{aligned} \frac{D}{\sqrt{κ (x)}} e^{\pm \int_{a}^{x} κ (y) d y} & (E < V, 视积分结果取衰减项) \\ \frac{2 D}{\sqrt{k (x)}} \sin (\int_{a}^{x} k (y) d y + \frac{π}{4}) & (E > V) . \end{aligned} \end{matrix}

1. 证明

WKB 近似解

　　薛定谔方程

\begin{matrix} (3) & i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + V (r) ψ \end{matrix}

的解一般总能写成如下形式

\begin{matrix} (4) & ψ (r, t) = A e^{i W (r, t) / ℏ} . \end{matrix}

式 4 代入式 3 得到

W

满足的方程

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial W}{\partial t} + \frac{1}{2 m} (\nabla W)^{2} + V - \frac{i ℏ}{2 m} Δ W = 0 . \end{matrix}

在经典极限（

ℏ \to 0

）下，式 5 等同

W

(称为主函数)的哈密顿方程

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial W}{\partial t} + \frac{1}{2 m} (\nabla W)^{2} + V = 0 . \end{matrix}

如果

ψ

是能量本征函数

u (r) e^{- i E t / ℏ}

，则

W

可写成

\begin{matrix} (7) & W (r, t) = S (r) - E t . \end{matrix}

在这种情况下，我们有

\begin{matrix} (8) & u (r) = A e^{i S (r)}, \end{matrix}

且

\begin{matrix} (9) & \frac{1}{2 m} (\nabla S)^{2} - [E - V (r)] - \frac{i ℏ}{2 m} Δ S = 0 . \end{matrix}

　　在一维情况下，WKB 方法得到 $S$ 的按 $ℏ$ 幂展开式的头两项可以清楚的给出。下面以一维定态为例。

　　一维薛定谔方程可写为 [1]

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \frac{d^{2} u}{d x^{2}} + {[k (x)]}^{2} u = 0, \\ k (x) \equiv {\begin{aligned} {[\frac{2 m}{ℏ^{2}} (E - V (x))]}^{1 / 2} & when E > V (x) \\ - i κ (x) \equiv - i {[\frac{2 m}{ℏ^{2}} (V (x) - E)]}^{1 / 2} & when E < V (x) . \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}

　　我们寻求式 10 如下形式的解

\begin{matrix} (11) & u (x) = A e^{i S (x) / ℏ} . \end{matrix}

将上式代入式 10 ，得

\begin{matrix} (12) & i ℏ S^{″} - S^{' 2} + ℏ^{2} {[k (x)]}^{2} = 0 . \end{matrix}

其中，撇号表示对

x

求导。将

S (x)

按

ℏ

之幂作级数展开

\begin{matrix} (13) & S (x) = \sum_{n = 0} ℏ^{n} S_{n} (x) . \end{matrix}

式 13 代入式 12 得

\begin{matrix} (14) & \sum_{n = 0} (i S_{n}^{″} - \sum_{i = 0}^{n + 1} S_{n + 1 - i}^{'} S_{i}^{'}) ℏ^{n + 1} + ℏ^{2} {[k (x)]}^{2} - S_{0}^{' 2} = 0 . \end{matrix}

按幂次将上式分解为多个全微分方程

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} - S_{0}^{' 2} + ℏ^{2} {[k (x)]}^{2} & = 0, \\ ℏ (i S_{0}^{″} - 2 S_{0}^{'} S_{1}^{'}) & = 0, \\ \dots \end{aligned} \end{matrix}

为求出一级近似解，通过比较系数，给出头两个方程

\begin{matrix} (16) & \begin{array}{r} - S_{0}^{' 2} + ℏ^{2} k^{2} = 0, \\ i S_{0}^{″} - 2 S_{0}^{'} S_{1}^{'} = 0 . \end{array} \end{matrix}

容易求得式 16 第一式的解为

\begin{matrix} (17) & S_{0} (x) = \pm ℏ \int^{x} k (y) d y . \end{matrix}

利用上式和式 16 第一式代入式 16 第二式可得

\begin{matrix} (18) & S_{1} (x) = \frac{i}{2} \ln k (x), \end{matrix}

式 17 和式 18 已经将任意常数略去了。将

S_{0}

和

S_{1}

的结果代入式 11 ，可得

u (x)

的一级近似解

\begin{matrix} (19) & u (x) = A e^{i (S_{0} + ℏ S_{1}) / ℏ} = \frac{A}{\sqrt{k (x)}} e^{\pm i \int^{x} k (y) d y} . \end{matrix}

解的渐进性质

　　欲使式 19 的解成立，显然必须要求展开式式 13 是合理的。为了保证一级近似解适用，应该要求

\begin{matrix} (20) & | \frac{ℏ (i S_{0}^{″} - 2 S_{0}^{'} S_{1}^{'})}{- S_{0}^{' 2} + ℏ^{2} k^{2}} | ≪ 1 . \end{matrix}

由式 17 和式 18

\begin{matrix} (21) & S_{0}^{'} = \pm ℏ k, S_{0}^{″} = \pm ℏ k^{'}, S_{1}^{'} = \frac{i k^{'}}{2 k} . \end{matrix}

式 21 代入式 20 ，得

\begin{matrix} (22) & | \frac{k^{'}}{k^{2}} | ≪ 1 . \end{matrix}

引入波长

λ = \frac{2 π}{| k |}

，则

\begin{matrix} (23) & \frac{λ}{2 π} | \frac{k^{'}}{k} | ≪ 1 . \end{matrix}

将式 10 代入式 23

\begin{matrix} (24) & \frac{λ}{2 π} | \frac{\frac{d V}{d x}}{2 (E - V)} | ≪ 1 . \end{matrix}

式 23 表明，在可以和

λ

相比的小距离中，“动量” 的相对变化

k^{'} / k

要十分小。为保证这一点，只要

V (x)

随

x

变化得十分缓慢，而粒子的 “动能”

(E - V)

又很大，使得

\frac{d V}{d x}

与 “动能” 相比要小得多，则式 23 和式 24 才成立。这表明，WKB 近似方法的适用有着它的适用范围。

　　显然，当 $E = V (x)$ 时（满足此式的式子称为转折点），式 20 不成立。由此 WKB 近似不适用，只有在离开最近的转折点几个波长的地方，WKB 近似解才可能是有效的。

　　以上的讨论完全适用于中心力场的径向方程，因为在中心力场径向方程中，只需要将 $r$ 代替 $x$ ，以 $V (r) + \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m + 2}$ 代替 $V (x)$ ，以 $u (r)$ 代替 $u (x)$ ，相应方程便与一维薛定谔方程完全类同。

连接公式

　　既然在转折点附近式 13 和式 19 的解不适用。因此需要寻找 WKB 波函数在转折点处的连接公式，这需要另辟蹊径。

图 1：转折点

x = a

附近的势能曲线

　　为方便讨论，不失一般性，通常假定在 $x = a$ 处有一转折点，即设

\begin{matrix} (25) & {\begin{aligned} E > V (x), x > a (经典允许区) \\ E = V (x), x = a \\ E < V (x), x < a (经典禁区) . \end{aligned} \end{matrix}

如图 1 所示。

　　建立连接公式基本思想是：首先在转折点附近求解薛定谔方程；其次给出该解在离开转折点 “较远处” 所具有的渐进形式；最后，将这渐进解形式与 WKB 解相比较，从而找出 WKB 波函数的连接公式。

　　 1.在转折点附近求解薛定谔方程

　　由于 $V (x)$ 随 $x$ 发生缓慢变化，因此可在点 a 处将 $V (x)$ 泰勒展开，并取线性部分，即

\begin{matrix} (26) & V (x) = V (a) + V^{'} (a) (x - a) = E + V^{'} (a) (x - a) . \end{matrix}

其中，

V^{'} (a) < 0

。于是在

a

点附近的薛定谔方程为

\begin{matrix} (27) & \frac{d^{2} u}{d x^{2}} - \frac{2 m V^{'} (a)}{ℏ^{2}} (x - a) u = 0 . \end{matrix}

令

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} α = {(\frac{2 m V^{'} (a)}{ℏ^{2}})}^{\frac{1}{3}}, \\ ξ = α (x - a) . \end{aligned} \end{matrix}

则式 27 式变为

\begin{matrix} (29) & \frac{d^{2} u}{d ξ^{2}} - ξ u = 0, \end{matrix}

这是艾里函数满足的微分方程式 1 。显然，

u

应是

Ai (ξ)

和

Bi (ξ)

的线性组合

\begin{matrix} (30) & u = c_{1} Ai (ξ) + c_{2} Bi (ξ) . \end{matrix}

　　在经典允许区（ $ξ < 0$ ）中， $Ai (ξ), Bi (ξ)$ 都是式 29 满足有限条件的解。在经典禁区（ $ξ > 0$ ），式 29 满足有限条件的解为 $Ai (ξ)$ 。为使得 $u$ 在 $ξ = 0$ 处连续，必有 $c_{2} = 0$ ，所以

\begin{matrix} (31) & u = c_{1} Ai (ξ) . \end{matrix}

　　 2.渐进形式

　　由 $Ai (x)$ 函数的渐进形式，得式 31 的渐进形式

\begin{matrix} (32) & \begin{aligned} c_{1} Ai (ξ) \overset{ξ \to + \infty}{⟶} \frac{c_{1}}{2 \sqrt{π} ξ^{1 / 4}} \exp (- \frac{2}{3} ξ^{3 / 2}), \\ c_{1} Ai (ξ) \overset{ξ \to - \infty}{⟶} \frac{c_{1}}{\sqrt{π} {| ξ |}^{1 / 4}} \sin (\frac{2}{3} {| ξ |}^{3 / 2} + \frac{π}{4}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 3。连接公式

　　我们的问题是要给出在 “远离” 转折点的 WKB 近似解的连接公式。为此，我们以例题得形式来证明连接公式

例 1　连接公式

　　如图 2 的势能曲线 $V (x)$ 。

图 2：具有两个转折点的势能曲线

　　试证明在 $a$ 点的连接公式为

\begin{matrix} (33) & u (x) = {\begin{aligned} \frac{c}{2 \sqrt{κ (x)}} e^{\int_{a}^{x} κ (y) d y} & (E < V) \\ \frac{c}{\sqrt{k (x)}} \sin (\int_{a}^{x} k (y) d y + \frac{π}{4}) & (E > V) . \end{aligned} \end{matrix}

证明： 在阱内

(a < x < b)

有

E < V (x)

，仍为经典允许区（注意，这里

ξ < 0

），按式 19 ，WKB 一级近似解可表示为

\begin{matrix} (34) & u (x) = \frac{c}{\sqrt{k (x)}} \sin (\int^{x} k (y) d y + δ) . \end{matrix}

其中，

δ

为待定相因子。

c

为常数。

　　在点 $a$ 附近

\begin{matrix} (35) & V (x) \approx E + V^{'} (a) (x - a) . \end{matrix}

从而

\begin{matrix} (36) & \begin{aligned} \int_{a}^{x} k (y) d y & = \frac{\sqrt{2 m}}{ℏ} \int_{a}^{x} \sqrt{E - V (y)} d y = \frac{2}{3} {| ξ |}^{3 / 2} \\ \sqrt{k (x)} & = {| ξ |}^{1 / 4} α^{1 / 2} \end{aligned} . \end{matrix}

将式 36 两式代入式 34 ，可得 WKB 近似解为

\begin{matrix} (37) & u = \frac{C}{{| ξ |}^{1 / 4}} \sin (\frac{2}{3} {| ξ |}^{3 / 2} + δ), \end{matrix}

其中，

C = c / α^{1 / 2} .

　　式 37 与式 32 第二式对比得

\begin{matrix} (38) & δ = \frac{π}{4}, C = \frac{c_{1}}{\sqrt{π}} . \end{matrix}

从而 WKB 一级近似波函数在

s = a

附近的阱内处的连接公式为

\begin{matrix} (39) & u (x) = \frac{c}{\sqrt{k (x)}} \sin (\int_{a}^{x} k (y) d y + \frac{π}{4}) . \end{matrix}

在阱外 a 点附近，有

E > V (x)

，为经典禁区（注意，这里

ξ > 0

）,按式 19 ，WKB 一级近似解可表示为

\begin{matrix} (40) & u (x) = \frac{c^{'}}{\sqrt{κ (x)}} e^{\int_{a}^{x} κ (y) d y}, \end{matrix}

而

\begin{matrix} (41) & \begin{aligned} \int_{a}^{x} κ (y) d y & = \frac{\sqrt{2 m}}{ℏ} \int_{a}^{x} \sqrt{V (y) - E} d y = \frac{2}{3} ξ^{3 / 2}, \\ \sqrt{κ (x)} & = α^{1 / 2} {| ξ |}^{1 / 4} . \end{aligned} \end{matrix}

故 WKB 一级近似解可表示为

\begin{matrix} (42) & u (x) = \frac{C^{'}}{ξ^{1 / 4}} e^{- \frac{2}{3} ξ^{3 / 2}} . \end{matrix}

其中，

C^{'} = c^{'} / α^{1 / 2} .

　　式 42 与式 32 第一式比较得

\begin{matrix} (43) & C^{'} = \frac{c_{1}}{2 \sqrt{π}} . \end{matrix}

式 43 与式 38 比较得

\begin{matrix} (44) & c = 2 c^{'} . \end{matrix}

从而在转折点

x = a

附近阱外连接公式为

\begin{matrix} (45) & u (x) = \frac{c}{2 \sqrt{κ (x)}} e^{\int_{a}^{x} κ (y) d y} . \end{matrix}

综上，在

a

点连接公式为

\begin{matrix} (46) & u (x) = {\begin{aligned} \frac{c}{2 \sqrt{κ (x)}} e^{\int_{a}^{x} κ (y) d y} & (E < V) \\ \frac{c}{\sqrt{k (x)}} \sin (\int_{a}^{x} k (y) d y + \frac{π}{4}) & (E > V) . \end{aligned} \end{matrix}

　　利用同样的方法，可讨论在 $b$ 点的连接公式。

　　这样，连接公式式 2 的成立将十分显然。

未完成：Griffiths 例题 Potential well with one vertical wall.

1. ^ 本文参考 [2]。