WKB 近似

贡献者：零穹; addis

预备知识　线性势能的定态薛定谔方程

　　¹在某些定态问题中，WKB 近似方法可以比较容易地求解一维定态薛定谔方程。该方法基于将波函数按 $\hbar$ 作幂级数展开，就其本身而言，有两个基本问题：1。在远离转折点处的近似解；2。在转折点处的连接条件。并通过这两个问题求解定态薛定谔方程。

　　 WKB 近似适用于势能 $V$ 相比于波长变化十分缓慢的情形，其一级近似公式为

\begin{equation} \begin{aligned} u(x)&=\frac{A}{\sqrt{k(x)}} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} }~,\\ k(x)&\equiv\left\{\begin{aligned} & \left[\frac{2m}{\hbar^2} \left(E-V(x) \right) \right] ^{1/2}\quad &\text{when}\; E>V(x)\\ &- \mathrm{i} \kappa(x)\equiv- \mathrm{i} \left[\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E) \right] ^{1/2}\quad &\text{when}\; E< V(x)~. \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}

其中，$u(x)$ 为定态薛定谔方程的解。

　　在二者的转折点 $a$ 处，连接函数为艾里函数 $ \operatorname {Ai}$，详见 “线性势能的定态薛定谔方程”。在转折点处的连接公式为

\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{D}{\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\pm\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } &&(E< V,\text{视积分结果取衰减项})\\ &\frac{2D}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) &&(E>V)~. \end{aligned}\right. \end{equation}

1. 证明

WKB 近似解

　　薛定谔方程

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi~ \end{equation}

的解一般总能写成如下形式

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} W( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)/\hbar}~. \end{equation}

式 4 代入式 3 得到 $W$ 满足的方程

\begin{equation} \frac{\partial W}{\partial t} +\frac{1}{2m}(\nabla W)^2+V-\frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m}\Delta W=0~. \end{equation}

在经典极限（$\hbar\rightarrow 0$）下，式 5 等同 $W$ (称为主函数)的哈密顿方程

\begin{equation} \frac{\partial W}{\partial t} +\frac{1}{2m}(\nabla W)^2+V=0~. \end{equation}

如果 $\psi$ 是能量本征函数 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et/\hbar}$，则 $W$ 可写成

\begin{equation} W( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )-Et~. \end{equation}

在这种情况下，我们有

\begin{equation} u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}~, \end{equation}

且

\begin{equation} \frac{1}{2m}(\nabla S)^2- \left[E-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right] -\frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m}\Delta S=0~. \end{equation}

　　在一维情况下，WKB 方法得到 $S$ 的按 $\hbar$ 幂展开式的头两项可以清楚的给出。下面以一维定态为例。

　　一维薛定谔方程可写为 [1]

\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \left[k(x) \right] ^2u=0~,\\ &k(x)\equiv\left\{\begin{aligned} & \left[\frac{2m}{\hbar^2} \left(E-V(x) \right) \right] ^{1/2}\quad &\text{when}\; E>V(x)\\ &- \mathrm{i} \kappa(x)\equiv- \mathrm{i} \left[\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E) \right] ^{1/2}\quad &\text{when}\; E< V(x)~. \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}

　　我们寻求式 10 如下形式的解

\begin{equation} u(x)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} S(x)/\hbar}~. \end{equation}

将上式代入式 10 ，得

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar S''-S'^2+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2=0~. \end{equation}

其中，撇号表示对 $x$ 求导。将 $S(x)$ 按 $\hbar$ 之幂作级数展开

\begin{equation} S(x)=\sum_{n=0}\hbar^nS_n(x)~. \end{equation}

式 13 代入式 12 得

\begin{equation} \sum_{n=0} \left( \mathrm{i} S_n''-\sum_{i=0}^{n+1}S_{n+1-i}'S_i' \right) \hbar^{n+1}+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2-S_0'^2=0~. \end{equation}

按幂次将上式分解为多个全微分方程

\begin{equation} \begin{aligned} -S_0'^2+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2&=0~,\\ \hbar \left( \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1' \right) &=0~,\\ \cdots \end{aligned}~ \end{equation}

为求出一级近似解，通过比较系数，给出头两个方程

\begin{equation} \begin{aligned} -S_0'^2+\hbar^2k^2=0~,\\ \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1'=0~. \end{aligned} \end{equation}

容易求得式 16 第一式的解为

\begin{equation} S_0(x)=\pm\hbar\int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} ~. \end{equation}

利用上式和式 16 第一式代入式 16 第二式可得

\begin{equation} S_1(x)=\frac{ \mathrm{i} }{2}\ln k(x)~, \end{equation}

式 17 和式 18 已经将任意常数略去了。将 $S_0$ 和 $S_1$ 的结果代入式 11 ，可得 $u(x)$ 的一级近似解

\begin{equation} u(x)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (S_0+\hbar S_1)/\hbar}=\frac{A}{\sqrt{k(x)}} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} }~. \end{equation}

解的渐进性质

　　欲使式 19 的解成立，显然必须要求展开式式 13 是合理的。为了保证一级近似解适用，应该要求

\begin{equation} \left\lvert \frac{\hbar( \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1')}{-S_0'^2+\hbar^2k^2} \right\rvert \ll1~. \end{equation}

由式 17 和式 18

\begin{equation} S_0'=\pm\hbar k,\quad S_0''=\pm\hbar k',\quad S_1'=\frac{ \mathrm{i} k'}{2k}~. \end{equation}

式 21 代入式 20 ，得

\begin{equation} \left\lvert \frac{k'}{k^2} \right\rvert \ll1~. \end{equation}

引入波长 $\lambda=\frac{2\pi}{ \left\lvert k \right\rvert }$，则

\begin{equation} \frac{\lambda}{2\pi} \left\lvert \frac{k'}{k} \right\rvert \ll1~. \end{equation}

将式 10 代入式 23

\begin{equation} \frac{\lambda}{2\pi} \left\lvert \frac{ \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{x}} }{2(E-V)} \right\rvert \ll1~. \end{equation}

式 23 表明，在可以和 $\lambda$ 相比的小距离中，“动量” 的相对变化 $k'/k$ 要十分小。为保证这一点，只要 $V(x)$ 随 $x$ 变化得十分缓慢，而粒子的 “动能” $(E-V)$ 又很大，使得 $ \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{x}} $ 与 “动能” 相比要小得多，则式 23 和式 24 才成立。这表明，WKB 近似方法的适用有着它的适用范围。

　　显然，当 $E=V(x)$ 时（满足此式的式子称为转折点），式 20 不成立。由此 WKB 近似不适用，只有在离开最近的转折点几个波长的地方，WKB 近似解才可能是有效的。

　　以上的讨论完全适用于中心力场的径向方程，因为在中心力场径向方程中，只需要将 $r$ 代替 $x$，以 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2m+2}$ 代替 $V(x)$，以 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 代替 $u(x)$，相应方程便与一维薛定谔方程完全类同。

连接公式

　　既然在转折点附近式 13 和式 19 的解不适用。因此需要寻找 WKB 波函数在转折点处的连接公式，这需要另辟蹊径。

图 1：转折点 $x=a$ 附近的势能曲线

　　为方便讨论，不失一般性，通常假定在 $x=a$ 处有一转折点，即设

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &E>V(x),\quad x>a(\text{经典允许区})\\ &E=V(x),\quad x=a\\ &E< V(x),\quad x< a(\text{经典禁区})~. \end{aligned}\right. \end{equation}

如图 1 所示。

　　建立连接公式基本思想是：首先在转折点附近求解薛定谔方程；其次给出该解在离开转折点 “较远处” 所具有的渐进形式；最后，将这渐进解形式与 WKB 解相比较，从而找出 WKB 波函数的连接公式。

　　 1.在转折点附近求解薛定谔方程

　　由于 $V(x)$ 随 $x$ 发生缓慢变化，因此可在点 a 处将 $V(x)$ 泰勒展开，并取线性部分，即

\begin{equation} V(x)=V(a)+V'(a)(x-a)=E+V'(a)(x-a)~. \end{equation}

其中，$V'(a)<0$。于是在 $a$ 点附近的薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} -\frac{2mV'(a)}{\hbar^2}(x-a)u=0~. \end{equation}

令

\begin{equation} \begin{aligned} &\alpha= \left(\frac{2mV'(a)}{\hbar^2} \right) ^{\frac{1}{3}}~,\\ &\xi=\alpha(x-a)~. \end{aligned} \end{equation}

则式 27 式变为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\xi}^{2}} -\xi u=0~, \end{equation}

这是艾里函数满足的微分方程式 1 。显然，$u$ 应是 $\mathrm{Ai}(\xi)$ 和 $\mathrm{Bi}(\xi)$ 的线性组合

\begin{equation} u=c_1 \mathrm{Ai}(\xi)+c_2 \mathrm{Bi}(\xi)~. \end{equation}

　　在经典允许区（$\xi<0$）中，$\mathrm{Ai}(\xi),\mathrm{Bi}(\xi)$ 都是式 29 满足有限条件的解。在经典禁区（$\xi>0$），式 29 满足有限条件的解为 $\mathrm{Ai}(\xi)$。为使得 $u$ 在 $\xi=0$ 处连续，必有 $c_2=0$，所以

\begin{equation} u=c_1\mathrm{Ai}(\xi)~. \end{equation}

　　 2.渐进形式

　　由 $\mathrm{Ai(x)}$ 函数的渐进形式，得式 31 的渐进形式

\begin{equation} \begin{aligned} &c_1 \operatorname {Ai}(\xi) \overset{\xi \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{c_1}{2\sqrt{\pi} \xi^{1/4}} \exp\left(-\frac{2}{3}\xi^{3/2}\right) ~,\\ &c_1 \operatorname {Ai}(\xi) \overset{\xi \to -\infty}{\longrightarrow} \frac{c_1}{\sqrt{\pi} \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}} \sin\left(\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2}+\frac{\pi}{4}\right) ~.\\ \end{aligned} \end{equation}

　　 3。连接公式

　　我们的问题是要给出在 “远离” 转折点的 WKB 近似解的连接公式。为此，我们以例题得形式来证明连接公式

例 1　连接公式

　　如图 2 的势能曲线 $V(x)$。

图 2：具有两个转折点的势能曲线

　　试证明在 $a$ 点的连接公式为

\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } \quad &(E< V)\\ &\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) \quad &(E>V)~. \end{aligned}\right. \end{equation}

证明： 在阱内 $(a< x< b)$ 有 $E< V(x)$，仍为经典允许区（注意，这里 $\xi<0$），按式 19 ，WKB 一级近似解可表示为

\begin{equation} u(x)=\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\delta\right) ~. \end{equation}

其中，$\delta$ 为待定相因子。$c$ 为常数。

　　在点 $a$ 附近

\begin{equation} V(x)\approx E+V'(a)(x-a)~. \end{equation}

从而

\begin{equation} \begin{aligned} \int_a^xk(y) \,\mathrm{d}{y} &= \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^x\sqrt{E-V(y)} \,\mathrm{d}{y} =\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2} \\ \sqrt{k(x)} &= \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}\alpha^{1/2} \end{aligned}~. \end{equation}

将式 36 两式代入式 34 ，可得 WKB 近似解为

\begin{equation} u= \frac{C}{ \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}} \sin\left({\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2}+\delta}\right) ~, \end{equation}

其中，$C=c/\alpha^{1/2}~.$

　　式 37 与式 32 第二式对比得

\begin{equation} \delta=\frac{\pi}{4}~,\qquad C=\frac{c_1}{\sqrt{\pi}}~. \end{equation}

从而 WKB 一级近似波函数在 $s=a$ 附近的阱内处的连接公式为

\begin{equation} u(x)=\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) ~. \end{equation}

在阱外 a 点附近，有 $E>V(x)$，为经典禁区（注意，这里 $\xi>0$）,按式 19 ，WKB 一级近似解可表示为

\begin{equation} u(x)=\frac{c'}{\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} }~, \end{equation}

而

\begin{equation} \begin{aligned} \int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} &= \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^x\sqrt{V(y)-E} \,\mathrm{d}{y} =\frac{2}{3}\xi^{3/2}~, \\ \sqrt{\kappa(x)} &= \alpha^{1/2} \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}~. \end{aligned} \end{equation}

故 WKB 一级近似解可表示为

\begin{equation} u(x)=\frac{C'}{\xi^{1/4}} \mathrm{e} ^{-\frac{2}{3}\xi^{3/2}}~. \end{equation}

其中，$C'=c'/\alpha^{1/2}~.$

　　式 42 与式 32 第一式比较得

\begin{equation} C'=\frac{c_1}{2\sqrt{\pi}}~. \end{equation}

式 43 与式 38 比较得

\begin{equation} c=2c'~. \end{equation}

从而在转折点 $x=a$ 附近阱外连接公式为

\begin{equation} u(x)=\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} }~. \end{equation}

综上，在 $a$ 点连接公式为

\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } &\quad(E< V)\\ &\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) &\quad(E>V)~. \end{aligned}\right. \end{equation}

　　利用同样的方法，可讨论在 $b$ 点的连接公式。

　　这样，连接公式式 2 的成立将十分显然。

未完成：Griffiths 例题 Potential well with one vertical wall.

1. ^ 本文参考 [2]。